Ein (quadratischer) Variationsprozess ist ein spezieller stochastischer Prozess in der Wahrscheinlichkeitstheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Er wird aus einem weiteren Prozess (einem Martingal oder einem lokalen Martingal) gewonnen und erlaubt im Falle diskreter Indexmengen beispielsweise äquivalente Formulierungen des Martingalkonvergenzsatzes. Im zeitstetigen Fall entsprechen die Pfade des quadratischen Variationsprozesses fast sicher der quadratischen Variation der Pfade des zugrundeliegenden Prozesses.
In der stochastischen Analysis treten quadratische Variationsprozesse als Integratoren im Ito-Integral auf.
Definition bei diskreter Indexmenge Bearbeiten
Gegeben sei eine Filtrierung und sei ein quadratintegrierbares Martingal.
Dann heißt derjenige vorhersagbare Prozess , durch den der stochastische Prozess
zu einem Martingal wird, der quadratische Variationsprozess von . Er ist eindeutig bestimmt.
Definition bei stetiger Indexmenge Bearbeiten
Stetige lokale Martingale Bearbeiten
Gegeben sei ein stetiges lokales Martingal . Dann heißt der stetige, monoton wachsende und adaptierte Prozess mit , mit dem der Prozess
zu einem stetigen lokalen Martingal wird, der (vorhersagbare) quadratische Variationsprozess von . Er ist eindeutig bestimmt.
Der Prozess wird auch Scharfe-Klammer-Prozess oder Winkelklammer-Prozess genannt.
Semimartingale Bearbeiten
Mit Hilfe des stochastischen Integrals kann die Definition der quadratischen Variation auf Semimartingale erweitert werden:
Für ein Semimartingal mit ist die optionale quadratische Variation definiert durch
wobei ist. Ist lokal integrierbar, dann ist die (vorhersagbare) quadratische Variation definiert als der Kompensator von .
Da die optionale quadratische Variation im Gegensatz zur vorhersagbaren quadratischen Variation immer existiert, wird bevorzugt ersteres verwendet.
Ist sogar ein stetiges lokales Martingal, dann ist ein stetiges lokales Martingal und folglich ist ein stetiges lokales Martingal und . Somit ist die Definition für Semimartingale konsistent mit der Definition für stetige lokale Martingale.
Adaptierte Càdlàg-Prozesse Bearbeiten
Für einen adaptierten Càdlàg-Prozess ist die quadratische Variation definiert als derjenige adaptierte càdlàg-Prozess , sofern er überhaupt existiert, der für jede Folge reeller Zahlen mit und für jede Folge von Partitionen des Intervalls mit erfüllt, dass
in Wahrscheinlichkeit.
Quadratische Kovariation Bearbeiten
Seien adaptierte Càdlàg-Prozesse, dann ist die quadratische Kovariation definiert über die Polarisationsformel
Insbesondere ist die quadratische Kovariation eine symmetrische Bilinearform.
Darstellung Bearbeiten
Aus der Doob-Zerlegung folgt direkt
woraus sich die Darstellung
herleiten lässt.
Beispiel Bearbeiten
Gegeben sei eine Folge von unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen mit und .
Dann ist
ein Martingal bezüglich der kanonischen Filtrierung und quadratintegrierbar.
Mittels der zweiten der beiden obigen Darstellungen und sowie folgt
nach den Rechenregeln für bedingte Erwartungswerte, da die nach Voraussetzung unabhängig sind. In diesem Fall ist der quadratische Variationsprozess rein deterministisch. Im Allgemeinen ist dies nicht der Fall.
Eigenschaften Bearbeiten
Diskrete Indexmenge Bearbeiten
Aus der zweiten der obigen beiden Darstellungen erhält man durch Bildung des Erwartungswertes direkt
Da aber nach dem Martingalkonvergenzsatz gilt, dass ein Martingal genau dann fast sicher und im quadratischen Mittel konvergiert, wenn es im quadratischen Mittel beschränkt ist, folgt die Aussage
Etwas schwächer gilt noch
Außerdem ist der quadratische Variationsprozess eines gestoppten Prozesses der gestoppte quadratische Variationsprozess, es gilt somit die Vertauschungsrelation
für Stoppzeiten .
Stetige Indexmenge Bearbeiten
Seien Semimartingale.
- ist adaptiert, monoton wachsend und càdlàg.
- ist vorhersagbar und von endlicher Variation. Dies folgt unmittelbar aus dem Satz von Rao.
- und , wobei die Strungestelle von im Punkt ist.
- Für jede Stoppzeit gilt .
- Es gilt die partielle Integration: .
- Falls lokale Martingale sind, ist ein lokales Martingal. Dies folgt unmittelbar aus der partiellen Integration.
- Für jede Folge reeller Zahlen mit und für jede Folge von Partitionen des Intervalls mit gilt in Wahrscheinlichkeit.
Die letzte Eigenschaft der quadratischen (Ko-)Variation für Semimartingale rechtfertigt die Definition der quadratischen Variation für allgemeine adaptierte Càdlàg-Prozesse.
Literatur Bearbeiten
- Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
- Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, doi:10.1007/978-3-642-45387-8.
Einzelnachweise Bearbeiten
- Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 210.
- Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 513.
- Philipp Protter: Stochastic Integration and Differential Equations A New Approach. 2. korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 1990, ISBN 978-3-662-02619-9, S. 58, 98, 106 (302 S.).
- Philipp Protter: Stochastic Integration and Differential Equations A New Approach. 2. korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 1990, ISBN 978-3-662-02619-9, S. 215 (302 S.).
- Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 275.
- Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 227.
- Philipp Protter: Stochastic Integration and Differential Equations A New Approach. 2. korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 1990, ISBN 978-3-662-02619-9, S. 59, 61, 97.