Als Martingalkonvergenzsatz oder Doobscher Martingalkonvergenzsatz benannt nach Joseph L Doob werden in der Wahrscheinlichkeitstheorie bestimmte Aussagen uber die Konvergenz von Martingalen bezeichnet Ein Martingal ist ein spezieller stochastischer Prozess der als Formalisierung und Verallgemeinerung eines fairen Glucksspiels angesehen werden kann Unter Zusatzvoraussetzungen an die Beschranktheit des Prozesses lasst sich dessen Konvergenz folgern Dabei unterscheiden sich die verschiedenen Versionen des Satzes hinsichtlich der Art der Beschranktheit und der Art der Konvergenz Wesentliches Hilfsmittel bei dem Beweis ist die Aufkreuzungsungleichung Analoge Konvergenzsatze existieren auch fur Ruckwartsmartingale Inhaltsverzeichnis 1 Voraussetzungen 2 Versionen des Martingalkonvergenzsatzes 2 1 Fast sichere Konvergenz 2 1 1 Beweis 2 2 Konvergenz in p ten Mittel 2 3 Konvergenz bei gleichgradiger Integrierbarkeit 3 Beispiel 4 LiteraturVoraussetzungen BearbeitenAuf einem Wahrscheinlichkeitsraum W A P displaystyle Omega mathcal A P nbsp mit einer Filtrierung F n n N 0 displaystyle mathcal F n n in mathbb N 0 nbsp und F s n 0 F n displaystyle textstyle mathcal F infty sigma left bigcup n 0 infty mathcal F n right nbsp sei eine Folge X n n N 0 displaystyle X n n in mathbb N 0 nbsp reeller Zufallsvariablen gegeben die an die Filtrierung adaptiert ist und integrierbar ist Das bedeutet dass fur alle n N 0 displaystyle n in mathbb N 0 nbsp die Zufallsvariable X n displaystyle X n nbsp messbar bezuglich F n displaystyle mathcal F n nbsp ist und E X n lt displaystyle E X n lt infty nbsp erfullt Der Prozess X n n N 0 displaystyle X n n in mathbb N 0 nbsp heisst Martingal wenn fur alle n N 0 displaystyle n in mathbb N 0 nbsp die Gleichung E X n 1 F n X n displaystyle mathbb E X n 1 mid mathcal F n X n nbsp gilt Gilt stattdessen E X n 1 F n X n displaystyle mathbb E X n 1 mid mathcal F n geq X n nbsp fur alle n N 0 displaystyle n in mathbb N 0 nbsp dann wird der Prozess ein Submartingal genannt Im Fall E X n 1 F n X n displaystyle mathbb E X n 1 mid mathcal F n leq X n nbsp fur alle n N 0 displaystyle n in mathbb N 0 nbsp heisst der Prozess Supermartingal Jedes Martingal ist ein Sub und ein Supermartingal Ein Prozess X n n N 0 displaystyle X n n in mathbb N 0 nbsp ist genau dann ein Supermartingal wenn X n n N 0 displaystyle X n n in mathbb N 0 nbsp ein Submartingal ist Versionen des Martingalkonvergenzsatzes BearbeitenFast sichere Konvergenz Bearbeiten Es sei X n n N 0 displaystyle X n n in mathbb N 0 nbsp ein Submartingal und es gebe eine Konstante M gt 0 displaystyle M gt 0 nbsp mit E X n M displaystyle mathbb E X n leq M nbsp fur alle n N 0 displaystyle n in mathbb N 0 nbsp das heisst der Erwartungswert der Positivteile X n max X n 0 displaystyle X n max X n 0 nbsp ist beschrankt Dann existiert eine F displaystyle mathcal F infty nbsp messbare Zufallsvariable X L 1 displaystyle X infty in mathcal L 1 nbsp mit X n n X displaystyle X n xrightarrow n to infty X infty nbsp fast sicher Beweis Bearbeiten Fur den Beweis ist das sog Aufkreuzungslemma von entscheidender Bedeutung Dieses sagt aus dass fur zwei reelle Zahlen b gt a displaystyle b gt a nbsp die zwei Stoppzeiten s t displaystyle sigma tau nbsp mit s 0 0 displaystyle sigma 0 equiv 0 nbsp und t k inf n s k 1 X n a displaystyle tau k inf n geq sigma k 1 mid X n leq a nbsp s k inf n t k X n b displaystyle sigma k inf n geq tau k mid X n geq b nbsp und die Zufallsvariable U n a b sup k N s k n displaystyle U n a b sup k in mathbb N mid sigma k leq n nbsp der Anzahl der Aufkreuzungen die Ungleichung E U n a b E X n a E X 0 a b a displaystyle mathbb E U n a b leq frac mathbb E X n a mathbb E X 0 a b a nbsp erfullt Aus dieser kann mittels der Ungleichung E X n a a E X n displaystyle mathbb E X n a leq a mathbb E X n nbsp aus der vorausgesetzten gleichmassigen Beschranktheit der E X n displaystyle mathbb E X n nbsp gefolgert werden dass E U n a b displaystyle mathbb E U n a b nbsp ebenfalls gleichmassig beschrankt ist Der monotone Limes U a b lim n U n a b displaystyle U a b lim n to infty U n a b nbsp existiert jedoch und es folgt P U a b lt 1 displaystyle P U a b lt infty 1 nbsp Fur beliebige reelle Zahlen b gt a displaystyle b gt a nbsp gilt aber lim inf n X n lt a lim sup n X n gt b U a b displaystyle left liminf n to infty X n lt a right cap left limsup n to infty X n gt b right subset left U a b infty right nbsp und damit folgt dass das Ereignis a b Q lim inf n X n lt a lim sup n X n gt b displaystyle bigcup a b in mathbb Q left liminf n to infty X n lt a right cap left limsup n to infty X n gt b right nbsp fast sicher nicht eintritt Also wird X n displaystyle X n nbsp fast sicher gegen ein X displaystyle X infty nbsp konvergieren Nach dem Lemma von Fatou ist einerseits E X sup E X n n 0 lt displaystyle mathbb E X infty leq sup mathbb E X n mid n geq 0 lt infty nbsp ahnlich wird E X lt displaystyle mathbb E X infty lt infty nbsp gefolgert Konvergenz in p ten Mittel Bearbeiten Sei p gt 1 displaystyle p gt 1 nbsp und es gebe eine Konstante M gt 0 displaystyle M gt 0 nbsp mit E X n p M displaystyle mathbb E X n p leq M nbsp fur alle n N 0 displaystyle n in mathbb N 0 nbsp das heisst die Folge X n n N 0 displaystyle X n n in mathbb N 0 nbsp ist beschrankt im Raum L p displaystyle mathcal L p nbsp Dann existiert eine F displaystyle mathcal F infty nbsp messbare Zufallsvariable X L p displaystyle X infty in mathcal L p nbsp mit X n n X displaystyle X n xrightarrow n to infty X infty nbsp fast sicher und in L p displaystyle mathcal L p nbsp Die Aussage ist fur p 1 displaystyle p 1 nbsp im Allgemeinen falsch Ein in L 1 displaystyle mathcal L 1 nbsp beschranktes Martingal muss nicht unbedingt in L 1 displaystyle mathcal L 1 nbsp konvergieren Konvergenz bei gleichgradiger Integrierbarkeit Bearbeiten Ist X n n N 0 displaystyle X n n in mathbb N 0 nbsp ein gleichgradig integrierbares Submartingal dann existiert eine F displaystyle mathcal F infty nbsp messbare Zufallsvariable X L 1 displaystyle X infty in mathcal L 1 nbsp mit X n n X displaystyle X n xrightarrow n to infty X infty nbsp fast sicher und in L 1 displaystyle mathcal L 1 nbsp Weiter gilt X n E X F n displaystyle X n leq mathbb E X infty mid mathcal F n nbsp und im Falle dass X n n N 0 displaystyle X n n in mathbb N 0 nbsp ein Martingal ist sogar X n E X F n displaystyle X n mathbb E X infty mid mathcal F n nbsp Man sagt das Martingal wird durch X displaystyle X infty nbsp abgeschlossen Beispiel BearbeitenDer einfache symmetrische Random Walk X n j 1 n Z j displaystyle X n sum j 1 n Z j nbsp mit unabhangigen identisch verteilten Z j displaystyle Z j nbsp und P Z j 1 P Z j 1 1 2 displaystyle P Z j 1 P Z j 1 frac 1 2 nbsp ist ein Martingal Wegen X n 1 X n 1 displaystyle X n 1 X n 1 nbsp ist kein Pfad konvergent Fur a N 1 2 displaystyle a in mathbb N 1 2 dotsc nbsp ist durch t inf n gt 0 X n a displaystyle tau inf n gt 0 X n a nbsp eine Stoppzeit gegeben und das gestoppte Martingal M n displaystyle M n nbsp mit M n X min n t displaystyle M n X min n tau nbsp ist ebenfalls ein Martingal Wegen M n a displaystyle M n leq a nbsp erfullt es die Voraussetzungen des Martingalkonvergenzsatzes fur fast sichere Konvergenz Der einzig mogliche Grenzwert ist a displaystyle a nbsp es gilt also M n n a displaystyle M n xrightarrow n to infty a nbsp fast sicher Insbesondere folgt dass P t lt 1 displaystyle P tau lt infty 1 nbsp gilt Wegen E M n E 2 M n M n 2 E M n E M n 2 a displaystyle mathbb E M n mathbb E 2M n M n 2 mathbb E M n mathbb E M n leq 2a nbsp ist das Martingal M n displaystyle M n nbsp in L 1 displaystyle mathcal L 1 nbsp beschrankt Es konvergiert jedoch nicht in L 1 displaystyle mathcal L 1 nbsp gegen a displaystyle a nbsp denn in diesem Fall musste auch E M n displaystyle E M n nbsp gegen a gt 0 displaystyle a gt 0 nbsp konvergieren im Widerspruch zu E M n E M 0 0 displaystyle mathbb E M n mathbb E M 0 0 nbsp fur alle n displaystyle n nbsp Literatur BearbeitenAchim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 2 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2008 ISBN 978 3 540 76317 8 Abschnitt 11 2 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Martingalkonvergenzsatz amp oldid 234750699
