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Rückwärtsmartingal Ein auch inverses Martingal 1 oder rückwärts gerichtetes Martingal 2 genannt ist ein stochastischer P

Rückwärtsmartingal

Ein Rückwärtsmartingal, auch inverses Martingal oder rückwärts gerichtetes Martingal genannt, ist ein stochastischer Prozess, der aus einem Martingal entsteht, indem man die Indexmenge umkehrt. Anschaulich handelt es sich also um ein Martingal, das „rückwärts abgespielt wird“. Ebenso wie für Martingale existieren auch für Rückwärtsmartingale Konvergenzsätze. Diese finden beispielsweise bei dem Beweis des Darstellungssatzes von de Finetti über die Struktur von austauschbaren Familien von Zufallsvariablen Verwendung.

Definition Bearbeiten

Gegeben sei eine Filtrierung und ein -Martingal. Dann heißt der Prozess

ein Rückwärtsmartingal.

Eigenschaften Bearbeiten

Man beachte, dass für die Filtrierung weiterhin für mit gilt. enthält somit alle relevanten Informationen des Prozesses.

Rückwärtsmartingale sind immer gleichgradig integrierbar, da sie aufgrund der Martingaleigenschaft immer die Darstellung

besitzen und Doob-Martingale immer gleichgradig integrierbar sind.

Konvergenzsatz für Rückwärtsmartingale Bearbeiten

Aussage Bearbeiten

Ist ein Martingal bezüglich , so existiert

im Mittel und fast sicher. Mit

gilt dann

Analog zum Martingalkonvergenzsatz folgt der Beweis mittels der Aufkreuzungsungleichung durch Betrachten der Aufkreuzungen zwischen und über .

Folgerung Bearbeiten

Eine für die Herleitung des Satzes von de Finetti wichtige Folgerung aus der obigen Aussage ist die folgende: Ist

und eine austauschbare Familie von Zufallsvariablen mit Werten in sowie die Permutation der Zufallsvariablen unter und

das symmetrisierte Mittel. Dann gilt im Mittel und fast sicher

Dabei bezeichnet die terminale σ-Algebra und die austauschbare σ-Algebra.

Literatur Bearbeiten

  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
  • Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, doi:10.1007/978-3-642-45387-8.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, S. 84, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.
  2. Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 267.
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Veröffentlichungsdatum:
Ein Ruckwartsmartingal auch inverses Martingal 1 oder ruckwarts gerichtetes Martingal 2 genannt ist ein stochastischer Prozess der aus einem Martingal entsteht indem man die Indexmenge umkehrt Anschaulich handelt es sich also um ein Martingal das ruckwarts abgespielt wird Ebenso wie fur Martingale existieren auch fur Ruckwartsmartingale Konvergenzsatze Diese finden beispielsweise bei dem Beweis des Darstellungssatzes von de Finetti uber die Struktur von austauschbaren Familien von Zufallsvariablen Verwendung Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Konvergenzsatz fur Ruckwartsmartingale 3 1 Aussage 3 2 Folgerung 4 Literatur 5 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenGegeben sei eine Filtrierung F F n n N displaystyle mathbb F mathcal F n n in mathbb N nbsp und X X n n N displaystyle X X n n in mathbb N nbsp ein F displaystyle mathbb F nbsp Martingal Dann heisst der Prozess X X n n N displaystyle X X n n in mathbb N nbsp ein Ruckwartsmartingal Eigenschaften BearbeitenMan beachte dass fur die Filtrierung weiterhin F s F t displaystyle mathcal F s subseteq mathcal F t nbsp fur s t N displaystyle s t in mathbb N nbsp mit s lt t displaystyle s lt t nbsp gilt F 0 displaystyle mathcal F 0 nbsp enthalt somit alle relevanten Informationen des Prozesses Ruckwartsmartingale sind immer gleichgradig integrierbar da sie aufgrund der Martingaleigenschaft immer die Darstellung X n E X 0 F n displaystyle X n operatorname E X 0 mathcal F n nbsp besitzen und Doob Martingale immer gleichgradig integrierbar sind Konvergenzsatz fur Ruckwartsmartingale BearbeitenAussage Bearbeiten Ist X X n n N displaystyle X X n n in mathbb N nbsp ein Martingal bezuglich F F n n N displaystyle mathbb F mathcal F n n in mathbb N nbsp so existiert lim n X n X displaystyle lim n to infty X n X infty nbsp im Mittel und fast sicher Mit F n 1 F n displaystyle mathcal F infty bigcap n 1 infty mathcal F n nbsp gilt dann X E X 0 F displaystyle X infty operatorname E X 0 mathcal F infty nbsp Analog zum Martingalkonvergenzsatz folgt der Beweis mittels der Aufkreuzungsungleichung durch Betrachten der Aufkreuzungen zwischen n displaystyle n nbsp und 0 displaystyle 0 nbsp uber a b displaystyle a b nbsp Folgerung Bearbeiten Eine fur die Herleitung des Satzes von de Finetti wichtige Folgerung aus der obigen Aussage ist die folgende Ist f E k R messbar E f X 1 X k lt displaystyle varphi colon E k to mathbb R text messbar operatorname E varphi X 1 dots X k lt infty nbsp und X n n N displaystyle X n n in mathbb N nbsp eine austauschbare Familie von Zufallsvariablen mit Werten in E displaystyle E nbsp sowie X 1 X n s displaystyle X 1 dots X n sigma nbsp die Permutation der Zufallsvariablen unter s displaystyle sigma nbsp und A n f 1 n s S n f X 1 X n s displaystyle A n varphi tfrac 1 n sum sigma in S n varphi X 1 dots X n sigma nbsp das symmetrisierte Mittel Dann gilt im Mittel und fast sicher E f X E E f X T lim n A n f displaystyle operatorname E varphi X mathcal E operatorname E varphi X mathcal T lim n to infty A n varphi nbsp Dabei bezeichnet T displaystyle mathcal T nbsp die terminale s Algebra und E displaystyle mathcal E nbsp die austauschbare s Algebra Literatur BearbeitenAchim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 36017 6 doi 10 1007 978 3 642 36018 3 Norbert Kusolitsch Mass und Wahrscheinlichkeitstheorie Eine Einfuhrung 2 uberarbeitete und erweiterte Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 45386 1 doi 10 1007 978 3 642 45387 8 Einzelnachweise Bearbeiten Ludger Ruschendorf Mathematische Statistik Springer Verlag Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 41996 6 S 84 doi 10 1007 978 3 642 41997 3 Kusolitsch Mass und Wahrscheinlichkeitstheorie 2014 S 267 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ruckwartsmartingal amp oldid 235035814