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Austauschbare σ Algebra Die austauschbare σ Algebra ist ein spezielles Mengensystem in der Stochastik dessen Elemente in

Austauschbare σ-Algebra

Die austauschbare σ-Algebra ist ein spezielles Mengensystem in der Stochastik, dessen Elemente invariant unter gewissen Permutationen sind. Austauschbare σ-Algebren treten beispielsweise im Kontext von austauschbaren Familien von Zufallsvariablen oder dem 0-1-Gesetz von Hewitt-Savage auf.

Definition Bearbeiten

Gegeben sei ein stochastischer Prozess , wobei jedes Werte in habe. Sei

die Menge aller messbaren n-symmetrischen Abbildungen.

Definiere

die von diesen Funktionen erzeugte σ-Algebra. Dann ist

die σ-Algebra aller unter Permutationen der ersten Indizes des stochastischen Prozesses invarianten Ereignisse. Die austauschbare σ-Algebra ist dann definiert als

und somit die σ-Algebra aller unter Permutationen endlich vieler Indizes des stochastischen Prozesses invarianten Ereignisse.

Beziehung zur terminalen σ-Algebra Bearbeiten

Die terminale σ-Algebra ist stets in der austauschbaren σ-Algebra enthalten, denn mit der Darstellung für die terminale σ-Algebra

ist immer

und damit

Es lassen sich auch Beispiele konstruieren, bei denen die austauschbare σ-Algebra Mengen enthält, die nicht in der Terminalen σ-Algebra enthalten sind. Die austauschbare σ-Algebra ist dann echt größer als die terminale σ-Algebra.

Umgekehrt lässt sich zeigen, dass für eine austauschbare Familie von Zufallsvariablen zu jeder Menge ein terminales Ereignis existiert, so dass (der umgekehrte Schluss ist wegen trivial). Zu jeder Menge aus der austauschbaren σ-Algebra existiert also eine Menge in der terminalen σ-Algebra, so dass die Differenz eine Nullmenge wird.

Daraus lässt sich sofort das 0-1-Gesetz von Hewitt-Savage ableiten, nämlich dass die austauschbare σ-Algebra einer unabhängig identisch verteilten Folge von Zufallsvariablen eine P-triviale σ-Algebra ist. Nach dem kolmogorowschen Null-Eins-Gesetz ist dann nämlich die terminale σ-Algebra P-trivial und aufgrund des obigen Ergebnisses auch die austauschbare σ-Algebra.

Literatur Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Die austauschbare s Algebra ist ein spezielles Mengensystem in der Stochastik dessen Elemente invariant unter gewissen Permutationen sind Austauschbare s Algebren treten beispielsweise im Kontext von austauschbaren Familien von Zufallsvariablen oder dem 0 1 Gesetz von Hewitt Savage auf Definition BearbeitenGegeben sei ein stochastischer Prozess X X n n N displaystyle X X n n in mathbb N nbsp wobei jedes X n displaystyle X n nbsp Werte in E displaystyle E nbsp habe Sei F n f f E N R ist messbar und n symmetrisch displaystyle mathbf F n f f E mathbb N to mathbb R text ist messbar und n symmetrisch nbsp die Menge aller messbaren n symmetrischen Abbildungen Definiere S n s F n displaystyle mathcal S n sigma mathbf F n nbsp die von diesen Funktionen erzeugte s Algebra Dann ist E n X 1 S n displaystyle mathcal E n X 1 mathcal S n nbsp die s Algebra aller unter Permutationen der ersten n displaystyle n nbsp Indizes des stochastischen Prozesses invarianten Ereignisse Die austauschbare s Algebra ist dann definiert als E n 1 E n displaystyle mathcal E bigcap n 1 infty mathcal E n nbsp und somit die s Algebra aller unter Permutationen endlich vieler Indizes des stochastischen Prozesses invarianten Ereignisse Beziehung zur terminalen s Algebra BearbeitenDie terminale s Algebra ist stets in der austauschbaren s Algebra enthalten denn mit der Darstellung fur die terminale s Algebra T n N s X n 1 X n 2 displaystyle mathcal T bigcap n in mathbb N sigma X n 1 X n 2 dots nbsp ist immer s X n 1 X n 2 E n displaystyle sigma X n 1 X n 2 dots subset mathcal E n nbsp und damit T n N s X n 1 X n 2 n N E n E displaystyle mathcal T bigcap n in mathbb N sigma X n 1 X n 2 dots subset bigcap n in mathbb N mathcal E n mathcal E nbsp Es lassen sich auch Beispiele konstruieren bei denen die austauschbare s Algebra Mengen enthalt die nicht in der Terminalen s Algebra enthalten sind Die austauschbare s Algebra ist dann echt grosser als die terminale s Algebra Umgekehrt lasst sich zeigen dass fur eine austauschbare Familie von Zufallsvariablen X X 1 X 2 displaystyle X X 1 X 2 dots nbsp zu jeder Menge A E displaystyle A in mathcal E nbsp ein terminales Ereignis B T displaystyle B in mathcal T nbsp existiert so dass P A B 0 displaystyle P A triangle B 0 nbsp der umgekehrte Schluss ist wegen T E displaystyle mathcal T subset mathcal E nbsp trivial Zu jeder Menge aus der austauschbaren s Algebra existiert also eine Menge in der terminalen s Algebra so dass die Differenz eine Nullmenge wird Daraus lasst sich sofort das 0 1 Gesetz von Hewitt Savage ableiten namlich dass die austauschbare s Algebra einer unabhangig identisch verteilten Folge von Zufallsvariablen eine P triviale s Algebra ist Nach dem kolmogorowschen Null Eins Gesetz ist dann namlich die terminale s Algebra P trivial und aufgrund des obigen Ergebnisses auch die austauschbare s Algebra Literatur BearbeitenAchim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 36017 6 S 237 247 doi 10 1007 978 3 642 36018 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Austauschbare s Algebra amp oldid 225171230