Ein abgeschlossenes Martingal ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie ein spezielles Martingal und somit ein stochastischer Prozess. Anschaulich sind diejenigen Martingale abgeschlossen, die ein letztes Element besitzen. Solche Martingale konvergieren schon aufgrund der ihnen über die Definition zukommenden Eigenschaften. Umgekehrt kann die Frage, ob ein Martingal abgeschlossen ist oder sich durch eine Zufallsvariable abschließen lässt, als Frage nach der Konvergenz des Martingals gedeutet werden.
Definition Bearbeiten
Gegeben sei ein Martingal bezüglich der Filtrierung
Dann heißt ein abgeschlossenes Martingal, wenn es ein und ein gibt, so dass für alle
gilt.
Ist ein Submartingal, so heißt analog dazu abgeschlossen, wenn es ein und ein gibt, so dass für alle
gilt.
Eigenschaften Bearbeiten
Jedes abgeschlossene Martingal ist immer ein Doob-Martingal, lässt sich also in der Form
für eine integrierbare Zufallsvariable darstellen. Dabei ist in diesem konkreten Fall , die Zufallsvariable also das letzte Element des Martingals.
Umgekehrt lässt sich auch jedes Doob-Martingal abschließen, indem man setzt sowie und , die σ-Algebra des zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeitsraumes.
Außerdem sind abgeschlossene Martingale sowie abgeschlossene, nichtnegative Submartingale immer gleichgradig integrierbar und konvergieren somit fast sicher sowie im ersten Mittel.
Umgekehrt existiert nach dem Martingalkonvergenzsatz zu jedem gleichgradig integrierbaren Martingal eine Zufallsvariable , die messbar bezüglich
ist, so dass und das Martingal abschließen. Dabei ist der Grenzwert im ersten Mittel und der fast sicheren Konvergenz.
Literatur Bearbeiten
- Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, S. 272–275, doi:10.1007/978-3-642-45387-8.