Der Satz über die Doob-Zerlegung, benannt nach dem US-amerikanischen Mathematiker Joseph L. Doob, ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine Aussage über die Darstellung eines stochastischen Prozesses als Martingal. Er besagt, dass sich ein stochastischer Prozess in einen Martingalteil und einen vorhersagbaren Anteil zerlegen lässt. lässt sich als Drift des Prozesses interpretieren und als die aufaddierten (unsystematischen) Schwankungen um die Drift. Anwendung ist beispielsweise die Darstellung des quadratischen Variationsprozesses in diskreter Zeit.
Das Analogon in stetiger Zeit ist die Doob-Meyer-Zerlegung.
Aussage Bearbeiten
Seien ein Wahrscheinlichkeitsraum und eine Filtrierung. Jeder an adaptierte und integrierbare stochastische Prozess ist dann darstellbar als , wobei ein Martingal und vorhersagbar ist, d. h., es gilt: ist -messbar für alle . Mit der Festsetzung ist diese Zerlegung eindeutig. Weiter ist genau dann monoton wachsend, wenn ein Submartingal ist.
Beweis Bearbeiten
Definiert man für
- und
dann gilt . Die Martingaleigenschaft von und Vorhersagbarkeit von folgen direkt aus der Definition.
Die Eindeutigkeit folgt aus der Tatsache, dass für eine weitere derartige Zerlegung der Prozess sowohl vorhersagbar als auch ein Martingal ist. Dies ist aber nur möglich, wenn er konstant ist.
Falls ein Submartingal ist, dann sind alle Summanden von größer oder gleich 0, also ist ein monoton wachsender Prozess.
Literatur Bearbeiten
- J. L. Doob: Stochastic Processes. Wiley, 1953, ISBN 978-0471218135
- Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8
Einzelnachweise Bearbeiten
- Christoph Kühn: Vorlesungsskript Stochastische Finanzmathematik. S. 27 (uni-frankfurt.de [PDF]).