Die gebrochene Brownsche Bewegung oder auch fraktionale Brownsche Bewegung ist eine Klasse von zentrierten Gauß-Prozessen , welche durch die folgende Kovarianzfunktion charakterisiert sind:
wobei H eine reelle Zahl in (0, 1) ist. H wird häufig der Hurst-Parameter genannt. Für H=1/2 ist die gebrochene Brownsche Bewegung eine eindimensionale Brownsche Bewegung.
Eigenschaften Bearbeiten
Selbstähnlichkeit Bearbeiten
ist selbstähnlich. Genauer gilt, dass die Prozesse und für jedes feste c > 0 dieselbe Verteilung besitzen.
Stationäre Inkremente Bearbeiten
Aus der Darstellung der Kovarianzfunktion folgt direkt die Beziehung
Insbesondere sind die Inkremente also stationär. Außerdem gilt:
- falls H = 1/2, so hat der Prozess unabhängige Inkremente;
- falls H > 1/2, so sind die Inkremente positiv korreliert;
- falls H < 1/2, so sind die Inkremente negativ korreliert.
Pfadeigenschaften Bearbeiten
Die Pfade der gebrochenen Brownschen Bewegung mit Hurst-Parameter H sind Hölder-stetig mit Index für jedes .
Stochastische Integration Bearbeiten
Es ist möglich, stochastische Integrale bezüglich der gebrochenen Brownschen Bewegung zu definieren.
Siehe auch Bearbeiten
Weblinks Bearbeiten
Quellen Bearbeiten
- Francesca Biagini, Yaozhong Hu, Bernt Øksendal, Tusheng Zhang: Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion. Springer, London 2010, ISBN 1-84996-994-9 (Softcover reprint of hardcover 1st ed. 2008).