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Selbstähnlichkeit Selbstähnlich ist ein System das seinen Elementen ähnelt Diese Eigenschaft wird unter anderem von der

Selbstähnlichkeit

Selbstähnlich ist ein System, das seinen Elementen ähnelt. Diese Eigenschaft wird unter anderem von der fraktalen Geometrie untersucht, da fraktale Objekte eine hohe Selbstähnlichkeit aufweisen.

Ein Ausschnitt aus der Mandelbrot-Menge

Im weiteren Sinne wird der Begriff auch in der Philosophie sowie den Sozial- und Naturwissenschaften verwendet, um grundsätzlich wiederkehrende, in sich selbst verschachtelte Strukturen zu bezeichnen.

Beispiele

Selbstähnlichkeit am Beispiel des Sierpinski-Dreiecks
Selbstähnlichkeit am Beispiel der Koch-Kurve

Bei Fraktalen ist von exakter (oder strikter) Selbstähnlichkeit die Rede, wenn bei unendlicher Vergrößerung des untersuchten Objekts immer wieder die ursprüngliche Struktur erhalten wird, ohne jemals eine elementare Feinstruktur zu erhalten. Exakte Selbstähnlichkeit ist praktisch nur bei mathematisch – z. B. durch ein iteriertes Funktionen-System – erzeugten Objekten zu finden. Beispiele dafür sind das Sierpinski-Dreieck, die Koch-Kurve, die Cantor-Menge oder trivialerweise ein Punkt und eine Gerade.

In den nachfolgenden zwölf weiteren Beispielen sind für verschiedene jeweils die ersten verkleinerten Versionen der Ausgangsfigur dargestellt, die im Englischen auch als Reptiles (Abkürzung für replicating tiles) bezeichnet werden. Die zusammengesetzte Figur wird rep--Figur genannt.

Die Mandelbrot-Menge und die Julia-Mengen sind selbstähnlich, nicht jedoch strikt selbstähnlich. Strikte Selbstähnlichkeit impliziert Skaleninvarianz und lässt sich unter anderem mit Hilfe der charakteristischen Exponenten des zugrundeliegenden Potenzgesetzes (Skalengesetzes) quantifizieren.

Ähnlichkeits-Dimension

Berechnung

Für selbstähnliche Mengen, die aus um den Faktor verkleinerten Versionen ihrer selbst bestehen, ist die Ähnlichkeitsdimension

definiert. Man beachte, dass man hier keinen Grenzwert braucht.

Beispiele

Ein Quadrat besteht aus 4 Quadraten () der halben () Seitenlänge und hat damit die Ähnlichkeitsdimension .

Das Sierpinski-Dreieck besteht aus um den Faktor verkleinerten Kopien seiner selbst. Seine Ähnlichkeits-Dimension ist .

Die Koch-Kurve besteht aus um den Faktor verkleinerten Kopien ihrer selbst. Ihre Ähnlichkeits-Dimension ist .

Aber schon ein Kreis besteht nicht aus verkleinerten Kreisen, und die Ähnlichkeitsdimension ist nicht definiert. Die fraktale Dimension vieler bekannter Fraktale lässt sich aber damit bestimmen. Aufgrund der fehlenden Grenzwertbildung ist die Ähnlichkeitsdimension besonders einfach und ist deshalb oft die einzige für Laien verständliche fraktale Dimension. Diese Methode der Dimensionsberechnung drängt sich insbesondere auch bei IFS-Fraktalen auf.

Natur

Blütenstand des Romanesco mit fraktalen Strukturen und Fibonacci-Spiralen

Real existierende Beispiele wären z. B. die Verästelung von Blutgefäßen, Farnblättern oder Teile eines Blumenkohls (das wird bei der Sorte Romanesco sehr deutlich), die in einfacher Vergrößerung dem Blumenkohlkopf sehr ähnlich sind. Bei realen Beispielen lässt sich die Vergrößerung nicht bis ins Unendliche fortsetzen, wie es bei idealen Objekten der Fall ist.

Auch beliebige Abbildungen der realen Welt weisen Selbstähnlichkeiten auf, die z. B. bei der fraktalen Bildkompression oder der fraktalen Tonkompression genutzt werden.

Die Rekurrenzen bezeichnen den Aufruf oder die Definition einer Funktion durch sich selbst, die demzufolge selbstähnlich sind.

Die Selbstähnlichkeit ist ein Phänomen, das oft in der Natur auftritt. Eine kennzeichnende Zahl für die immer wiederkehrende Selbstähnlichkeit ist der Goldene Schnitt.

Auch die Trajektorien eines Wiener-Prozesses sowie der gebrochenen Brownschen Bewegung sind selbstähnlich.

Literatur

  • Henning Fernau: Iterierte Funktionen, Sprachen und Fraktale. B. I. Wissenschaftsverlag, Mannheim – Wien – Zürich 1994, ISBN 3-411-17011-5.

Weblinks

Einzelnachweise

  1. Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik - 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin Heidelberg 2015, ISBN 978-3-662-45460-2, Seiten 51 bis 54
  2. George E. Martin: Polyominoes: A Guide to Puzzles and Problems in Tiling, AMS/MAA, Washington 1991
  3. Wolfram MathWorld: Sierpiński Sieve
  4. Wolfram MathWorld: Koch Snowflake
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Selbstahnlich ist ein System das seinen Elementen ahnelt Diese Eigenschaft wird unter anderem von der fraktalen Geometrie untersucht da fraktale Objekte eine hohe Selbstahnlichkeit aufweisen Ein Ausschnitt aus der Mandelbrot MengeIm weiteren Sinne wird der Begriff auch in der Philosophie sowie den Sozial und Naturwissenschaften verwendet um grundsatzlich wiederkehrende in sich selbst verschachtelte Strukturen zu bezeichnen Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele 2 Ahnlichkeits Dimension 2 1 Berechnung 2 2 Beispiele 3 Natur 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseBeispiele Bearbeiten Selbstahnlichkeit am Beispiel des Sierpinski Dreiecks Selbstahnlichkeit am Beispiel der Koch KurveBei Fraktalen ist von exakter oder strikter Selbstahnlichkeit die Rede wenn bei unendlicher Vergrosserung des untersuchten Objekts immer wieder die ursprungliche Struktur erhalten wird ohne jemals eine elementare Feinstruktur zu erhalten Exakte Selbstahnlichkeit ist praktisch nur bei mathematisch z B durch ein iteriertes Funktionen System erzeugten Objekten zu finden Beispiele dafur sind das Sierpinski Dreieck die Koch Kurve die Cantor Menge oder trivialerweise ein Punkt und eine Gerade In den nachfolgenden zwolf weiteren Beispielen sind fur verschiedene N N jeweils die ersten N N verkleinerten Versionen der Ausgangsfigur dargestellt die im Englischen auch als Reptiles Abkurzung fur replicating tiles bezeichnet werden Die zusammengesetzte Figur wird rep N N Figur genannt 1 2 Figur 1 Allgemeines Dreieck Figur 2 Allgemeines Dreieck Figur 3 gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck Figur 4 Dreieck mit den Innenwinkeln 30 60 und 90 Figur 5 Rechtwinkliges Dreieck bei dem eine Kathete die doppelte Lange der anderen hat Figur 6 Gleichschenkliges Trapez Figur 7 Gleichschenkliges Trapez Figur 8 Sphinx tiling Figur 9 Sphinx tiling Figur 10 L Tromino Figur 11 L Tetromino Figur 12 T TetrominoDie Mandelbrot Menge und die Julia Mengen sind selbstahnlich nicht jedoch strikt selbstahnlich Strikte Selbstahnlichkeit impliziert Skaleninvarianz und lasst sich unter anderem mit Hilfe der charakteristischen Exponenten des zugrundeliegenden Potenzgesetzes Skalengesetzes quantifizieren Ahnlichkeits Dimension BearbeitenBerechnung Bearbeiten Fur selbstahnliche Mengen die aus N N um den Faktor e lt 1 varepsilon lt 1 verkleinerten Versionen ihrer selbst bestehen ist die Ahnlichkeitsdimension D log N log e D frac log N log varepsilon definiert Man beachte dass man hier keinen Grenzwert braucht Beispiele Bearbeiten Ein Quadrat besteht aus 4 Quadraten N 4 N 4 der halben e 1 2 displaystyle varepsilon tfrac 1 2 Seitenlange und hat damit die Ahnlichkeitsdimension D log 4 log 1 2 log 2 2 log 2 1 2 log 2 log 2 2 displaystyle D frac log 4 log tfrac 1 2 frac log 2 2 log 2 1 frac 2 cdot log 2 log 2 2 Das Sierpinski Dreieck besteht aus N 3 N 3 um den Faktor e 1 2 displaystyle varepsilon tfrac 1 2 verkleinerten Kopien seiner selbst Seine Ahnlichkeits Dimension ist log 3 log 2 1 585 displaystyle frac log 3 log 2 approx 1 585 3 Die Koch Kurve besteht aus N 4 N 4 um den Faktor e 1 3 displaystyle varepsilon tfrac 1 3 verkleinerten Kopien ihrer selbst Ihre Ahnlichkeits Dimension ist log 4 log 3 1 262 displaystyle frac log 4 log 3 approx 1 262 4 Aber schon ein Kreis besteht nicht aus verkleinerten Kreisen und die Ahnlichkeitsdimension ist nicht definiert Die fraktale Dimension vieler bekannter Fraktale lasst sich aber damit bestimmen Aufgrund der fehlenden Grenzwertbildung ist die Ahnlichkeitsdimension besonders einfach und ist deshalb oft die einzige fur Laien verstandliche fraktale Dimension Diese Methode der Dimensionsberechnung drangt sich insbesondere auch bei IFS Fraktalen auf Natur Bearbeiten Blutenstand des Romanesco mit fraktalen Strukturen und Fibonacci SpiralenReal existierende Beispiele waren z B die Verastelung von Blutgefassen Farnblattern oder Teile eines Blumenkohls das wird bei der Sorte Romanesco sehr deutlich die in einfacher Vergrosserung dem Blumenkohlkopf sehr ahnlich sind Bei realen Beispielen lasst sich die Vergrosserung nicht bis ins Unendliche fortsetzen wie es bei idealen Objekten der Fall ist Auch beliebige Abbildungen der realen Welt weisen Selbstahnlichkeiten auf die z B bei der fraktalen Bildkompression oder der fraktalen Tonkompression genutzt werden Die Rekurrenzen bezeichnen den Aufruf oder die Definition einer Funktion durch sich selbst die demzufolge selbstahnlich sind Die Selbstahnlichkeit ist ein Phanomen das oft in der Natur auftritt Eine kennzeichnende Zahl fur die immer wiederkehrende Selbstahnlichkeit ist der Goldene Schnitt Auch die Trajektorien eines Wiener Prozesses sowie der gebrochenen Brownschen Bewegung sind selbstahnlich Literatur BearbeitenHenning Fernau Iterierte Funktionen Sprachen und Fraktale B I Wissenschaftsverlag Mannheim Wien Zurich 1994 ISBN 3 411 17011 5 Weblinks BearbeitenLandschaftsfotos zum Massstabsproblem Memento vom 20 Januar 2014 im Internet Archive Einzelnachweise Bearbeiten Claudi Alsina Roger B Nelsen Perlen der Mathematik 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte fur mathematische Erkundungsreisen Springer Spektrum Springer Verlag GmbH Berlin Heidelberg 2015 ISBN 978 3 662 45460 2 Seiten 51 bis 54 George E Martin Polyominoes A Guide to Puzzles and Problems in Tiling AMS MAA Washington 1991 Wolfram MathWorld Sierpinski Sieve Wolfram MathWorld Koch Snowflake Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Selbstahnlichkeit amp oldid 233272215