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Satz von Girsanow Der ist ein Satz aus der Stochastik der zeigt wie man aus einem lokalen Martingal bezüglich eines Wahr

Satz von Girsanow

Der Satz von Girsanow ist ein Satz aus der Stochastik, der zeigt, wie man aus einem lokalen Martingal bezüglich eines Wahrscheinlichkeitsmaßes ein neues lokales Martingal bezüglich eines Wahrscheinlichkeitsmaßes kreiert.

Der Satz hat eine besondere Bedeutung in der Finanzmathematik, da unter dem äquivalenten Martingalmaß die diskontierten Preise eines Underlying, wie einer Aktie, Martingale sind. Im Bereich stochastischer Prozesse ist der Maßwechsel wichtig, da dann folgende Aussage getroffen werden kann: Wenn Q ein bezüglich P absolut stetiges Wahrscheinlichkeitsmaß ist, dann ist jedes P-Semimartingal ein Q-Semimartingal.

Geschichte Bearbeiten

Der Satz wurde 1945 zuerst von Cameron und Martin und danach 1960 von Igor Wladimirowitsch Girsanow bewiesen. Der Satz wurde durch Lenglart 1977 verallgemeinert.

Satz Bearbeiten

Sei ein messbarer Raum und zwei Wahrscheinlichkeitsmaße darauf. Weiter definieren wir eine Filtration die -vollständig und rechtsstetig ist, d. h. die üblichen Bedingungen gelten.

Aussage Bearbeiten

Sei ein stetiger Prozess, so dass für die zwei Wahrscheinlichkeitsmaße

auf gilt. Dann gilt für jedes stetige lokale -Martingal , dass

ein lokales -Martingal ist.

Spezialfall: Wiener-Prozess Bearbeiten

Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum, versehen mit der natürlichen Filtrierung des standardisierten Wiener-Prozesses . Sei ein adaptierter Prozess, so dass gilt P-fast-sicher und der Prozess definiert durch

sei ein Martingal.

Dann gilt unter dem Wahrscheinlichkeitsmaß mit der Dichte bezüglich , dass der Prozess definiert durch ein standardisierter Wiener-Prozess ist.

Bemerkungen Bearbeiten

Der Prozess ist das stochastische Exponential des Prozesses mit , das heißt, er löst die stochastische Differentialgleichung , . Er ist stets ein nichtnegatives lokales Martingal, also auch ein Supermartingal. Der im Allgemeinen schwierigste Teil in der Anwendung des obigen Satzes ist die Voraussetzung, dass tatsächlich ein Martingal ist. Eine hinreichende Bedingung, so dass ein Martingal ist, lautet:

Diese Bedingung nennt man auch die Novikov-Bedingung.

Quellen Bearbeiten

  • C. Dellacherie, P.-A. Meyer: Probabilités et potentiel – Théorie des Martingales. Kapitel VII, Hermann, 1980.
  • Damien Lamberton, Bernard Lapeyre: Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance. Kapitel IV, S. 66, Chapman & Hall, 2000, ISBN 0-412-71800-6.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. A. I. Yashin: An Extension of the Cameron-Martin Result, Journal of Applied Probability (1993), Band 30, Nummer 1, Seiten 247–251
  2. Olav Kallenberg: Foundations of Modern Probability. Hrsg.: Springer. 2021, S. 433, doi:10.1007/978-3-030-61871-1.
  3. Rose-Anna Dana, Monique Jeanblanc: Financial Market in Continuous Time. Springer, Berlin 2003, ISBN 978-3-540-43403-0 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Der Satz von Girsanow ist ein Satz aus der Stochastik der zeigt wie man aus einem lokalen Martingal bezuglich eines Wahrscheinlichkeitsmasses P displaystyle P ein neues lokales Martingal bezuglich eines Wahrscheinlichkeitsmasses Q displaystyle Q kreiert Der Satz hat eine besondere Bedeutung in der Finanzmathematik da unter dem aquivalenten Martingalmass die diskontierten Preise eines Underlying wie einer Aktie Martingale sind Im Bereich stochastischer Prozesse ist der Masswechsel wichtig da dann folgende Aussage getroffen werden kann Wenn Q ein bezuglich P absolut stetiges Wahrscheinlichkeitsmass ist dann ist jedes P Semimartingal ein Q Semimartingal Inhaltsverzeichnis 1 Geschichte 2 Satz 2 1 Aussage 2 2 Spezialfall Wiener Prozess 3 Bemerkungen 4 Quellen 5 Einzelnachweise 6 WeblinksGeschichte BearbeitenDer Satz wurde 1945 zuerst von Cameron und Martin 1 und danach 1960 von Igor Wladimirowitsch Girsanow bewiesen Der Satz wurde durch Lenglart 1977 verallgemeinert Satz BearbeitenSei W F displaystyle Omega mathcal F nbsp ein messbarer Raum und Q P displaystyle Q P nbsp zwei Wahrscheinlichkeitsmasse darauf Weiter definieren wir eine Filtration F F t displaystyle mathbb F mathcal F t nbsp die P displaystyle P nbsp vollstandig und rechtsstetig ist d h die ublichen Bedingungen gelten Aussage Bearbeiten Sei Z displaystyle Z nbsp ein stetiger Prozess so dass fur die zwei Wahrscheinlichkeitsmasse Q Z t P displaystyle Q Z t P nbsp auf F t t 0 displaystyle mathcal F t t geq 0 nbsp gilt Dann gilt fur jedes stetige lokale P displaystyle P nbsp Martingal M displaystyle M nbsp dass M M Z 1 M Z displaystyle widetilde M M Z 1 M Z nbsp ein lokales Q displaystyle Q nbsp Martingal ist 2 Spezialfall Wiener Prozess Bearbeiten Sei W F P F t 0 t T displaystyle Omega mathcal F P mathcal F t 0 leq t leq T nbsp ein Wahrscheinlichkeitsraum versehen mit der naturlichen Filtrierung des standardisierten Wiener Prozesses B t 0 t T displaystyle B t 0 leq t leq T nbsp Sei 8 t 0 t T displaystyle theta t 0 leq t leq T nbsp ein adaptierter Prozess so dass gilt 0 T 8 s 2 d s lt displaystyle int 0 T theta s 2 mathrm d s lt infty nbsp P fast sicher und der Prozess L t 0 t T displaystyle L t 0 leq t leq T nbsp definiert durch L t exp 0 t 8 s d B s 1 2 0 t 8 s 2 d s displaystyle L t exp left int 0 t theta s mathrm d B s frac 1 2 int 0 t theta s 2 mathrm d s right nbsp sei ein Martingal Dann gilt unter dem Wahrscheinlichkeitsmass P L displaystyle P L nbsp mit der Dichte L T displaystyle L T nbsp bezuglich P displaystyle P nbsp dass der Prozess W t 0 t T displaystyle W t 0 leq t leq T nbsp definiert durch W t B t 0 t 8 s d s displaystyle W t B t int 0 t theta s mathrm d s nbsp ein standardisierter Wiener Prozess ist 3 Bemerkungen BearbeitenDer Prozess L t displaystyle L t nbsp ist das stochastische Exponential des Prozesses X t displaystyle X t nbsp mit d X t 8 t d B t displaystyle mathrm d X t theta t mathrm d B t nbsp das heisst er lost die stochastische Differentialgleichung d L t 8 t L t d B t displaystyle mathrm d L t theta t L t mathrm d B t nbsp L 0 1 displaystyle L 0 1 nbsp Er ist stets ein nichtnegatives lokales Martingal also auch ein Supermartingal Der im Allgemeinen schwierigste Teil in der Anwendung des obigen Satzes ist die Voraussetzung dass L t displaystyle L t nbsp tatsachlich ein Martingal ist Eine hinreichende Bedingung so dass L t 0 t T displaystyle L t 0 leq t leq T nbsp ein Martingal ist lautet E exp 1 2 0 T 8 t 2 d t lt displaystyle operatorname E left exp left frac 1 2 int 0 T theta t 2 mathrm d t right right lt infty nbsp Diese Bedingung nennt man auch die Novikov Bedingung Quellen BearbeitenC Dellacherie P A Meyer Probabilites et potentiel Theorie des Martingales Kapitel VII Hermann 1980 Damien Lamberton Bernard Lapeyre Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance Kapitel IV S 66 Chapman amp Hall 2000 ISBN 0 412 71800 6 Einzelnachweise Bearbeiten A I Yashin An Extension of the Cameron Martin Result Journal of Applied Probability 1993 Band 30 Nummer 1 Seiten 247 251 Olav Kallenberg Foundations of Modern Probability Hrsg Springer 2021 S 433 doi 10 1007 978 3 030 61871 1 Rose Anna Dana Monique Jeanblanc Financial Market in Continuous Time Springer Berlin 2003 ISBN 978 3 540 43403 0 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Weblinks BearbeitenNotes on Stochastic Calculus mit einem verkurzten Beweis PDF Datei 488 kB Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Girsanow amp oldid 230961443