Die Wiener Chaos Zerlegung bezeichnet in der Stochastik die orthogonale Zerlegung des L2 Raumes eines gaussschen Wahrscheinlichkeitsraum Sie spielt eine wichtige Rolle im Malliavin Kalkul Die orthogonalen Raume der Hilbert Summe sind Eigenraume eines Differentialoperators und werden Wiener Chaos genannt Die Wiener Chaos Zerlegung tragt den Namen Norbert Wieners welcher 1938 eine solche Zerlegung fur den L2 Raum L 2 C 0 0 1 B C 0 m n 0 H n displaystyle L 2 C 0 0 1 mathcal B C 0 mu bigoplus n 0 infty mathcal H n fand wobei C 0 0 1 B C 0 m displaystyle C 0 0 1 mathcal B C 0 mu der klassische Wiener Raum ist 1 Im Falle eines gaussschen Raumes spielen verallgemeinerte hermitesche Polynome eine zentrale Rolle welche eine Orthogonalbasis bilden Solche Zerlegungen lassen sich aber auch fur allgemeinere Raume und Masse konstruieren und man spricht dann von polynomialen Chaos Wiener selbst nannte seine Zerlegung homogenes Chaos Itō Kiyoshi zeigte 1951 dass die Elemente des Wiener Chaos als multiple stochastische Integrale interpretiert werden konnen man spricht in diesem Fall von der Wiener Itō Chaos Zerlegung 2 Inhaltsverzeichnis 1 Wiener Chaos 1 1 Der ein dimensionale Fall 1 2 Der unendlich dimensionale Fall 1 3 Wiener Chaos Zerlegung 2 Literatur 3 EinzelnachweiseWiener Chaos BearbeitenSei H displaystyle H langle rangle nbsp ein separabler Hilbert Raum und T displaystyle T nbsp ein kompakter selbst adjungierter Operator darauf Nach dem Spektralsatz fur kompakte Operatoren existiert nun eine Hilbert Basis in Form von Eigenvektoren von T displaystyle T nbsp Fur H L 2 R Z B R Z d x displaystyle H L 2 mathbb R mathbb Z mathcal B mathbb R mathbb Z dx nbsp mit Lebesgue Mass d x displaystyle dx nbsp und den Laplace Operator D C c R Z L 2 R Z d x displaystyle Delta C c infty mathbb R mathbb Z to L 2 mathbb R mathbb Z dx nbsp ist eine solch Orthonormalbasis durch e 2 p i n x n Z displaystyle e 2 pi mathrm i nx n in mathbb Z nbsp mit Eigenwerten 2 p n 2 displaystyle 2 pi n 2 nbsp gegeben Die Kompaktheit von R Z displaystyle mathbb R mathbb Z nbsp ist entscheidend betrachten wir stattdessen L 2 R B R d x displaystyle L 2 mathbb R mathcal B mathbb R dx nbsp so sind die Eigenfunktionen des Laplace Operators nicht mehr integrierbar Eine Losung finden wir wenn wir vom Lebesgue Mass zum kanonischen Gauss Mass g 1 d x 1 2 p exp x 2 2 d x displaystyle gamma 1 dx frac 1 sqrt 2 pi exp left frac x 2 2 right dx nbsp wechseln dann existiert eine solche Spektral Zerlegung in die Eigenraume des infinitesimalen Generators des Ornstein Uhlenbeck Prozesses Der ein dimensionale Fall Bearbeiten Sei displaystyle partial nbsp der Ableitungsoperator auch Vernichtungsoperator und displaystyle partial nbsp der Erzeugungsoperator d d x d d x x displaystyle partial frac d dx quad partial frac d dx x nbsp Der Erzeugungsoperator ist der adjungierte Operator des Ableitungsoperators bezuglich des L 2 g 1 displaystyle L 2 gamma 1 nbsp Skalarproduktes f g L 2 g 1 f g L 2 g 1 displaystyle langle partial f g rangle L 2 gamma 1 langle f partial g rangle L 2 gamma 1 nbsp und es gilt die heisenbergsche Relation 1 displaystyle partial partial partial partial 1 nbsp Sei N displaystyle mathcal N partial partial nbsp der Besetzungszahloperator dies ist der Differentialoperator N d 2 d x 2 x d d x displaystyle mathcal N frac d 2 dx 2 x frac d dx nbsp Nun definieren wir die hermitschen Polynome H n n 0 displaystyle H n n 0 infty nbsp mit Hilfe dieser Operatoren und den Beziehungen H n H n 1 n 1 H n n H n 1 displaystyle begin aligned H n amp partial H n 1 partial n 1 partial H n amp nH n 1 end aligned nbsp das heisst H 0 x 1 H 2 x x H 3 x x 2 1 H 4 x x 3 3 x displaystyle H 0 x 1 H 2 x x H 3 x x 2 1 H 4 x x 3 3x nbsp usw Die hermiteschen Polynome sind die Eigenfunktionen des Operators N displaystyle mathcal N nbsp Weiter gilt aus den oberen Beziehungen H s m 1 L 2 g 1 m H s 1 L 2 g 1 displaystyle langle H s partial m 1 rangle L 2 gamma 1 langle partial m H s 1 rangle L 2 gamma 1 nbsp und daraus folgt dass die normalisierten hermitschen Polynome n 1 2 H n n 0 displaystyle left n 1 2 H n right n 0 infty nbsp eine Orthonormalbasis von L 2 R B R g 1 d x displaystyle L 2 mathbb R mathcal B mathbb R gamma 1 dx nbsp bilden Sei nun F L 2 R B R g 1 displaystyle F in L 2 mathbb R mathcal B mathbb R gamma 1 nbsp und n F L 2 R B R g 1 displaystyle partial n F in L 2 mathbb R mathcal B mathbb R gamma 1 nbsp fur alle n 1 displaystyle n geq 1 nbsp dann gilt die Darstellung F i 0 1 n F H n L 2 g 1 i 0 1 n E g 1 n F H n displaystyle F sum limits i 0 infty frac 1 n langle F H n rangle L 2 gamma 1 sum limits i 0 infty frac 1 n mathbb E gamma 1 partial n F H n nbsp Weiter ist die erzeugende Funktion gegeben durch g x t exp t x t 2 2 i 0 t n n H n x displaystyle g x t exp left tx frac t 2 2 right sum limits i 0 infty frac t n n H n x nbsp 3 Der unendlich dimensionale Fall Bearbeiten Betrachte nun L 2 R N B R N g displaystyle L 2 mathbb R mathbb N mathcal B mathbb R mathbb N gamma infty nbsp wobei g i 1 g 1 d x i displaystyle gamma infty bigotimes i 1 infty gamma 1 dx i nbsp Beachte R N displaystyle mathbb R mathbb N nbsp ist zwar kein Banach Raum aber ein separabler Frechet Raum Sei e k k 1 displaystyle e k k 1 infty nbsp eine Standardbasis von R N displaystyle mathbb R mathbb N nbsp und fur ein x R N displaystyle x in mathbb R mathbb N nbsp sei e k x x k displaystyle e k x x k nbsp die Projektion auf die k displaystyle k nbsp te Komponente Definiere die Erzeugungs und Vernichtungsoperatoren in die entsprechende Richtung k f x lim e 0 e 1 f x e e k f x k f x k f x e k f x displaystyle partial k f x lim limits varepsilon to 0 varepsilon 1 left f x varepsilon e k right f x quad quad partial k f x partial k f x e k f x nbsp sowie den Ornstein Uhlenbeck Generator L k N N k k N k k displaystyle operatorname L sum limits k in mathbb N mathcal N k sum limits k in mathbb N partial k partial k nbsp Fur eine Abbildung p N N 0 displaystyle p mathbb N to mathbb N cup 0 nbsp definiere p n N p n displaystyle mathbf p sum limits n in mathbb N p n nbsp und p n N p n displaystyle mathbf p prod limits n in mathbb N p n nbsp sowie den Raum E p p lt displaystyle mathcal E p mathbf p lt infty nbsp Wir interpretieren p displaystyle p nbsp als Multiindex dann ist E displaystyle mathcal E nbsp der Raum der Multiindexe mit einer endlichen Anzahl von Null verschiedener Wert Fur ein p E displaystyle p in mathcal E nbsp definiere die verallgemeinerten hermitschen Polynome H p x n N H p n e n x x R N displaystyle mathbf H p x prod limits n in mathbb N H p n e n x quad x in mathbb R mathbb N nbsp es gilt wieder die Beziehung H p x n N n p n 1 displaystyle mathbf H p x prod n in mathbb N partial n p n 1 nbsp Die H p p E displaystyle left mathbf H p right p in mathcal E nbsp sind Eigenfunktionen des Ornstein Uhlenbeck Generators L displaystyle operatorname L nbsp es gilt L H p p H p p E displaystyle operatorname L mathbf H p mathbf p mathbf H p quad p in mathcal E nbsp Die p 1 2 H p p E displaystyle left mathbf p 1 2 mathbf H p right p in mathcal E nbsp bilden eine Orthonormalbasis von L 2 R N B R N g displaystyle L 2 mathbb R mathbb N mathcal B mathbb R mathbb N gamma infty nbsp und die lineare Hulle von p 1 2 H p p E displaystyle left mathbf p 1 2 mathbf H p right p in mathcal E nbsp ist eine dichte Menge in L r R N B R N g displaystyle L r mathbb R mathbb N mathcal B mathbb R mathbb N gamma infty nbsp fur r 1 displaystyle r in 1 infty nbsp Wir haben somit eine orthogonale Zerlegung L 2 R N B R N g n 0 H n displaystyle L 2 mathbb R mathbb N mathcal B mathbb R mathbb N gamma infty bigoplus n 0 infty mathcal H n nbsp wobei H n span H p p E p n displaystyle mathcal H n overline operatorname span H p p in mathcal E mathbf p n nbsp und H n H m displaystyle mathcal H n perp mathcal H m nbsp fur alle n m displaystyle n neq m nbsp Sei nun F L 2 R N B R N g displaystyle F in L 2 mathbb R mathbb N mathcal B mathbb R mathbb N gamma infty nbsp dann existiert eine Darstellung der Form F p E 1 p E n N n p n F H p displaystyle F sum limits p in mathcal E frac 1 mathbf p mathbb E left prod n in mathbb N partial n p n F right mathbf H p nbsp sofern die E n N n p n F displaystyle mathbb E left prod n in mathbb N partial n p n F right nbsp alle existieren 4 Wiener Chaos Zerlegung Bearbeiten Als letzter Schritt kann man nun eine solche Zerlegung fur allgemeine gausssche Wahrscheinlichkeitsraume herleiten Sei H displaystyle H nbsp ein separabler Hilbertraum W h h H displaystyle W h h in H nbsp ein isonormaler Gauss Prozess und W A P W H displaystyle Omega mathcal A P W H nbsp ein irreduzibler gaussscher Wahrscheinlichkeitsraum Weiter sei h n n 1 displaystyle h n n 1 infty nbsp eine Basis von H displaystyle H nbsp definiere fur p E displaystyle p in mathcal E nbsp die verallgemeinerten hermitschen Funktionen F p p 1 2 n N H p n W h n displaystyle Phi p mathbf p 1 2 prod limits n in mathbb N H p n W h n nbsp Die Menge F p p E p n displaystyle left Phi p p in mathcal E mathbf p n right nbsp bildet eine Orthonormalbasis des n displaystyle n nbsp ten Wiener Chaos C n displaystyle C n nbsp definiert durch C n span H n W h h H h H 1 displaystyle C n overline operatorname span H n W h h in H h H 1 quad nbsp fur n N displaystyle quad n in mathbb N nbsp und C 0 R displaystyle C 0 mathbb R nbsp Es gilt C n C m displaystyle C n perp C m nbsp fur n m displaystyle n neq m nbsp Es existiert nun die Wiener Chaos Zerlegung L 2 W A P n 0 C n displaystyle L 2 Omega mathcal A P bigoplus n 0 infty C n nbsp welche unabhangig von der Wahl der Basis h n n 1 displaystyle h n n 1 infty nbsp ist Die F p p E displaystyle left Phi p p in mathcal E right nbsp bilden eine Orthonormalbasis von L 2 W A P displaystyle L 2 Omega mathcal A P nbsp 5 6 Es lasst sich zeigen dass die verallgemeinerten hermiteschen Funktionen Eigenfunktionen des Generators einer stark stetige Halbgruppe von Kontraktionen genannt Ornstein Uhlenbeck Halbgruppe ist Literatur BearbeitenNorbert Wiener The Homogeneous Chaos In The Johns Hopkins University Press Hrsg American Journal of Mathematics Band 60 Nr 4 1938 S 897 936 doi 10 2307 2371268 Paul Malliavin Stochastic Analysis Hrsg Springer Berlin Heidelberg 1997 ISBN 3 540 57024 1 doi 10 1007 978 3 642 15074 6 Einzelnachweise Bearbeiten Norbert Wiener The Homogeneous Chaos In The Johns Hopkins University Press Hrsg American Journal of Mathematics Band 60 Nr 4 1938 S 897 936 doi 10 2307 2371268 Kiyoshi Ito Multiple Wiener integral In J Math Soc Japan Band 3 1951 S 157 169 Paul Malliavin Stochastic Analysis Hrsg Springer Berlin Heidelberg 1997 ISBN 3 540 57024 1 S 5 9 doi 10 1007 978 3 642 15074 6 Paul Malliavin Stochastic Analysis Hrsg Springer Berlin Heidelberg 1997 ISBN 3 540 57024 1 S 9 13 doi 10 1007 978 3 642 15074 6 Paul Malliavin Stochastic Analysis Hrsg Springer Berlin Heidelberg 1997 ISBN 3 540 57024 1 S 17 18 doi 10 1007 978 3 642 15074 6 David Nualart The Malliavin Calculus and Related Topics Hrsg Springer Berlin Heidelberg 2006 S 4 8 doi 10 1007 3 540 28329 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Wiener Chaos Zerlegung amp oldid 236534373
