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Klassischer Wiener Raum Der klassische Wiener Raum bezeichnet in der Stochastik den Raum auf dem Norbert Wiener sein Wie

Klassischer Wiener-Raum

Der klassische Wiener-Raum bezeichnet in der Stochastik den Raum, auf dem Norbert Wiener sein Wiener-Maß im Jahre 1923 konstruiert hat. Wiener selbst nannte diesen Raum Differentialraum (englisch Differential-Space). Er konstruierte das Wiener-Maß als ein Gaußsches Maß auf einer unendlichdimensionalen Sphäre im Funktionenraum der stetigen Funktionen auf dem Interval .

Den Wiener-Raum nennt man klassisch zur Unterscheidung zwischen dem von Wiener betrachteten Raum und der von Leonard Gross verallgemeinerten Konstruktion des abstrakten Wiener-Raumes.

Der klassische Wiener-Raum Bearbeiten

Die Wiener-Sphäre Bearbeiten

Wiener betrachtete Differentiale eines Pfades der brownschen Bewegung. Dass die brownsche Bewegung eigentlich nirgends-differenzierbar ist (außer im distributionalen Sinne), bewies er erst rund 10 Jahre später. Informell berechnete er die -Norm von unter Verwendung der Eigenschaft

und somit .

Inspiriert durch Diskussionen mit Paul Lévy sah Wiener auf der unendlichdimensionalen Sphäre mit Radius und interpretierte die Normalverteilung als die Gleichverteilung auf der Sphäre. Diese Vorstellung geht zurück auf Henri Poincaré. Poincaré bemerkte, dass wenn ein Zufallsvektor der Gleichverteilung auf oder äquivalent unter Skalierung auf folgt, dann gilt für den Grenzwert fixierter Punkte in der unendlichdimensionalen Sphäre

Sei nun ein Beispielpfad der eindimensionalen Standard-Brownschen-Bewegung und eine Orthonormalbasis von , dann induziert die Abbildung

definiert durch

einen Isomorphismus zwischen der brownschen Bewegung und dem Raum mit der Grenzwert-Verteilung von Poincaré

Herleitung des Wiener-Raumes Bearbeiten

Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum.

Es gibt unterschiedliche Wege einen stochastischen Prozess zu sehen. Die klassische Interpretation ist, dass ein stochastischer Prozess eine Familie von Zufallsvariablen mit der Index-Menge ist, induziert durch Ein stochastischer Prozess ist aber auch eine Familie von Zufallsfunktionen (englisch random functions) für jedes induziert durch

Die Zufallsfunktionen sind Punkte im Funktionenraum aller Funktionen von nach . Es ist bekannt, dass man den Raum mit dem Produktraum identifizieren kann und wir betrachten somit eine Abbildung Möchten wir nun einen -dimensionalen reellen Prozess definieren und wählen , so werden wir in Probleme der Messbarkeit laufen. Deshalb definieren wir die Koordinaten-Abbildungen durch

welche einen stochastischen Prozess bilden und definieren deren kleinste σ-Algebra . Die Zufallsvariable nennt man auch kanonische Version von oder Koordinaten-Funktional (). Weiter existiert eine Abbildung definiert durch

Ein stochastischer Prozess ist somit genau dann ein stochastischer Prozess, wenn er -messbar ist.

Für ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf können wir nun eine Familie von endlichdimensionalen Verteilungen für durch

definieren, wobei die Menge

Zylindermenge genannt wird und die kleinste σ-Algebra aller Zylindermengen in bezeichnet. Umgekehrt gilt nach dem Erweiterungssatz von Daniell-Kolmogorov, dass für jede konsistente Familie ein Wahrscheinlichkeitsmaß existiert, so dass

gilt. Dies führt zur Konstruktion des Wiener-Maßes der brownschen Bewegung.

Satz von Wiener Bearbeiten

Es existiert ein eindeutiges Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem Raum der -dimensionalen reellen Funktionen, die stetig auf sind und Null auf Null abbilden,

so dass der Koordinaten-Prozess die brownsche Bewegung ist. Dieses Maß nennt man Wiener-Maß.

heißt klassischer Wiener-Raum. In der Literatur wird manchmal auch das Tripel als klassischer Wiener-Raum bezeichnet, wobei die kleinste σ-Algebra der Koordinaten-Abbildungen ist und mit der borelschen σ-Algebra übereinstimmt.

Erläuterungen zur σ-Algebra Bearbeiten

Sei . Dann gilt , wobei hier mit die Borelsche σ-Algebra notiert ist.

Eigenschaften Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Daniel Revuz und Marc Yor: Continuous Martingales and Brownian Motion. In: Springer (Hrsg.): Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Band 293, 1999 (englisch, Kapitel 1 und 3).
  • Hui-Hsiung Kuo: Gaussian Measures in Banach Spaces. 1975.

Über die Wiener-Sphäre Bearbeiten

  • H. P. McKean: Geometry of Differential Space. In: Institute of Mathematical Statistics (Hrsg.): The Annals of Probability. Band 1, Nr. 2, 1973, S. 197–206, doi:10.1214/aop/1176996973 (projecteuclid.org).
  • Nigel Cutland und Siu-Ah Ng: The Wiener Sphere and Wiener Measure. In: Annals of Probability. Band 21, Nr. 1, Januar 1993, S. 1 - 13, doi:10.1214/aop/1176989390.
  • Nigel J. Cutland: Brownian motion on the Wiener sphere and the infinite–dimensional Ornstein–Uhlenbeck process. In: Stochastic Processes and their Applications. Band 79, Nr. 1, 1999, S. 95–107, doi:10.1016/S0304-4149(98)00072-6 (sciencedirect.com).
  • Nigel J. Cutland: 3. Stochastic Calculus of Variations. In: Loeb Measures in Practice: Recent Advances. In: Springer (Hrsg.): Lecture Notes in Mathematics. Band 1751. Berlin, Heidelberg 2000, doi:10.1007/978-3-540-44531-9_3.

Allgemein historisches zu Wieners Konstruktion Bearbeiten

  • Arthur Genthon: The concept of velocity in the history of Brownian motion: From physics to mathematics and back. arxiv:2006.05399 (Geschichte zur Wieners Konstruktion).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Norbert Wiener: Differential-Space. In: Journal of Mathematics and Physics. Nr. 2, 1923, doi:10.1002/sapm192321131 (wiley.com).
  2. Paley, R.E.A.C., Wiener, N. & Zygmund: A. Notes on random functions. In: Math Z. Band 37, 1933, S. 647–668, doi:10.1007/BF01474606.
  3. N. J. Cutland: 3. Stochastic Calculus of Variations. In: Loeb Measures in Practice: Recent Advances. In: Springer (Hrsg.): Lecture Notes in Mathematics. Band 1751. Berlin, Heidelberg 2000, doi:10.1007/978-3-540-44531-9_3.
  4. H. P. McKean: Geometry of Differential Space. In: Institute of Mathematical Statistics (Hrsg.): The Annals of Probability. Band 1, Nr. 2, 1973, S. 197–206, doi:10.1214/aop/1176996973 (projecteuclid.org).
  5. Henri Poincaré: Calcul des probabilités. Hrsg.: Gauthier-Villars. Paris 1912 (bnf.fr).
  6. H. P. McKean: Geometry of Differential Space. In: Institute of Mathematical Statistics (Hrsg.): The Annals of Probability. Band 1, Nr. 2, 1973, S. 197–198, doi:10.1214/aop/1176996973 (projecteuclid.org).
  7. A. S. Üstünel: Analysis on Wiener Space and Applications. Hrsg.: arXiv. 2010, S. 1, doi:10.48550/ARXIV.1003.1649, arxiv:1003.1649 [abs].
  8. Daniel Revuz und Marc Yor: Continuous Martingales and Brownian Motion. In: Springer (Hrsg.): Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Band 293, 1999 (englisch, Kapitel 1 und 3).
  9. Ioannis Karatzas und Steven E. Shreve: Brownian Motion and Stochastic Calculus. Hrsg.: Springer Verlag. 1988, S. 49.
  10. Ioannis Karatzas und Steven E. Shreve: Brownian Motion and Stochastic Calculus. Hrsg.: Springer Verlag. 1988, S. 50.
  11. René L. Schilling und Lothar Partzsch: Brownian Motion: An Introduction to Stochastic Processes. Hrsg.: De Gruyter. 2012.
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Der klassische Wiener Raum bezeichnet in der Stochastik den Raum auf dem Norbert Wiener sein Wiener Mass im Jahre 1923 konstruiert hat Wiener selbst nannte diesen Raum Differentialraum englisch Differential Space 1 Er konstruierte das Wiener Mass als ein Gausssches Mass auf einer unendlichdimensionalen Sphare im Funktionenraum der stetigen Funktionen auf dem Interval 0 1 displaystyle 0 1 Den Wiener Raum nennt man klassisch zur Unterscheidung zwischen dem von Wiener betrachteten Raum und der von Leonard Gross verallgemeinerten Konstruktion des abstrakten Wiener Raumes Inhaltsverzeichnis 1 Der klassische Wiener Raum 1 1 Die Wiener Sphare 1 2 Herleitung des Wiener Raumes 1 2 1 Satz von Wiener 1 2 2 Erlauterungen zur s Algebra 1 3 Eigenschaften 2 Literatur 2 1 Uber die Wiener Sphare 2 1 1 Allgemein historisches zu Wieners Konstruktion 3 EinzelnachweiseDer klassische Wiener Raum BearbeitenDie Wiener Sphare Bearbeiten Wiener betrachtete Differentiale B t d B t d t displaystyle dot B t dB t dt nbsp eines Pfades der brownschen Bewegung Dass die brownsche Bewegung eigentlich nirgends differenzierbar ist ausser im distributionalen Sinne bewies er erst rund 10 Jahre spater 2 Informell berechnete er die L 2 0 1 displaystyle L 2 0 1 nbsp Norm von B t displaystyle dot B t nbsp unter Verwendung der Eigenschaft d B t 2 d t displaystyle dB t 2 dt nbsp 3 B t 2 0 1 B t 2 d t 0 1 1 d t d t 1 d t displaystyle dot B t 2 int 0 1 dot B t 2 mathrm d t int 0 1 1 mathrm d t mathrm d t 1 mathrm d t infty nbsp und somit B t displaystyle dot B t sqrt infty infty nbsp Inspiriert durch Diskussionen mit Paul Levy sah Wiener B t displaystyle dot B t nbsp auf der unendlichdimensionalen Sphare S displaystyle S infty sqrt infty nbsp mit Radius displaystyle infty nbsp und interpretierte die Normalverteilung als die Gleichverteilung auf der Sphare 4 Diese Vorstellung geht zuruck auf Henri Poincare 5 Poincare bemerkte dass wenn ein Zufallsvektor x x 1 x n T displaystyle x x 1 dots x n T nbsp der Gleichverteilung auf S n 1 n displaystyle S n 1 sqrt n nbsp oder aquivalent unter Skalierung auf S n 1 1 displaystyle S n 1 1 nbsp folgt dann gilt fur den Grenzwert m displaystyle m nbsp fixierter Punkte in der unendlichdimensionalen Sphare lim n P i 1 m x i a i b i a 1 b 1 e x 2 2 2 p d x a m b m e x 2 2 2 p d x displaystyle lim limits n to infty mathbb P left bigcap limits i 1 m x i in a i b i right int a 1 b 1 frac e tfrac x 2 2 sqrt 2 pi mathrm d x cdots int a m b m frac e tfrac x 2 2 sqrt 2 pi mathrm d x nbsp Sei nun w 0 R displaystyle omega 0 infty to mathbb R nbsp ein Beispielpfad der eindimensionalen Standard Brownschen Bewegung und e 1 e 2 displaystyle e 1 e 2 dots nbsp eine Orthonormalbasis von L 2 0 displaystyle L 2 0 infty nbsp dann induziert die Abbildung w t w 1 w 2 displaystyle omega t to omega 1 omega 2 dots nbsp definiert durch w n 0 e n t d w t displaystyle omega n int 0 infty e n t mathrm d omega t nbsp einen Isomorphismus zwischen der brownschen Bewegung und dem Raum R displaystyle mathbb R infty nbsp mit der Grenzwert Verteilung von Poincare lim n P i 1 m w t a i b i a 1 b 1 e x 2 2 2 p d x a m b m e x 2 2 2 p d x displaystyle lim limits n to infty mathbb P left bigcap limits i 1 m omega t in a i b i right int a 1 b 1 frac e tfrac x 2 2 sqrt 2 pi mathrm d x cdots int a m b m frac e tfrac x 2 2 sqrt 2 pi mathrm d x nbsp 6 Herleitung des Wiener Raumes Bearbeiten Sei W F P displaystyle Omega mathcal F mathbb P nbsp ein Wahrscheinlichkeitsraum Es gibt unterschiedliche Wege einen stochastischen Prozess zu sehen Die klassische Interpretation ist dass ein stochastischer Prozess eine Familie von Zufallsvariablen mit der Index Menge T displaystyle T nbsp ist induziert durch X t W Z t T displaystyle X t colon Omega to Z t in T nbsp Ein stochastischer Prozess ist aber auch eine Familie von Zufallsfunktionen englisch random functions fur jedes w W displaystyle omega in Omega nbsp induziert durch w t X t w displaystyle omega mapsto t mapsto X t omega nbsp Die Zufallsfunktionen sind Punkte im Funktionenraum F T E displaystyle mathcal F T E nbsp aller Funktionen von T displaystyle T nbsp nach E displaystyle E nbsp Es ist bekannt dass man den Raum F T E displaystyle mathcal F T E nbsp mit dem Produktraum E T displaystyle E T nbsp identifizieren kann und wir betrachten somit eine Abbildung W E T displaystyle Omega to E T nbsp Mochten wir nun einen d displaystyle d nbsp dimensionalen reellen Prozess definieren und wahlen E T R d 0 displaystyle E T mathbb R d 0 infty nbsp so werden wir in Probleme der Messbarkeit laufen Deshalb definieren wir die Koordinaten Abbildungen Y t E T E displaystyle Y t E T to E nbsp durch y y t w w t displaystyle y mapsto y t omega omega t nbsp welche einen stochastischen Prozess Y t displaystyle Y t nbsp bilden und definieren deren kleinste s Algebra E T s Y t t 0 displaystyle mathcal E T sigma Y t t geq 0 nbsp Die Zufallsvariable Y t displaystyle Y t nbsp nennt man auch kanonische Version von X t displaystyle X t nbsp oder Koordinaten Funktional 7 Weiter existiert eine Abbildung f displaystyle varphi nbsp definiert durch Y t f w f w t X t w displaystyle Y t varphi omega varphi omega t X t omega nbsp Ein stochastischer Prozess ist somit genau dann ein stochastischer Prozess wenn er E T displaystyle mathcal E T nbsp messbar ist 8 Fur ein Wahrscheinlichkeitsmass P displaystyle P nbsp auf E T displaystyle E T nbsp konnen wir nun eine Familie von endlichdimensionalen Verteilungen fur t t 1 t n T displaystyle t t 1 dots t n in T nbsp durch Q t A P w E T w t 1 w t n A A B E n displaystyle Q t A P omega in E T omega t 1 dots omega t n in A quad A in mathcal B E n nbsp definieren wobei die Menge w E T w t 1 w t n A displaystyle omega in E T omega t 1 dots omega t n in A nbsp Zylindermenge genannt wird und B E n displaystyle mathcal B E n nbsp die kleinste s Algebra aller Zylindermengen in E T displaystyle E T nbsp bezeichnet 9 Umgekehrt gilt nach dem Erweiterungssatz von Daniell Kolmogorov dass fur jede konsistente Familie Q t displaystyle Q t nbsp ein Wahrscheinlichkeitsmass P displaystyle P nbsp existiert so dass Q t A P w E T w t 1 w t n A displaystyle Q t A P omega in E T omega t 1 dots omega t n in A nbsp gilt 10 Dies fuhrt zur Konstruktion des Wiener Masses der brownschen Bewegung Satz von Wiener Bearbeiten Es existiert ein eindeutiges Wahrscheinlichkeitsmass m W displaystyle mu W nbsp auf dem Raum der d displaystyle d nbsp dimensionalen reellen Funktionen die stetig auf R displaystyle mathbb R nbsp sind und Null auf Null abbilden C 0 R R w w ist stetig auf R w 0 0 displaystyle C 0 mathbb R mathbb R omega omega text ist stetig auf mathbb R omega 0 0 nbsp so dass der Koordinaten Prozess die brownsche Bewegung ist Dieses Mass nennt man Wiener Mass C 0 R R displaystyle C 0 mathbb R mathbb R nbsp heisst klassischer Wiener Raum In der Literatur wird manchmal auch das Tripel C 0 R R B C 0 m W displaystyle C 0 mathbb R mathbb R mathcal B C 0 mu W nbsp als klassischer Wiener Raum bezeichnet wobei B C 0 displaystyle mathcal B C 0 nbsp die kleinste s Algebra der Koordinaten Abbildungen ist und mit der borelschen s Algebra ubereinstimmt Erlauterungen zur s Algebra Bearbeiten Sei Y t C 0 R R R displaystyle Y t C 0 mathbb R mathbb R to mathbb R nbsp Dann gilt B C 0 C 0 R R B 0 R s Y t t 0 displaystyle mathcal B C 0 C 0 mathbb R mathbb R cap mathcal B 0 infty mathbb R sigma left Y t t in 0 infty right nbsp wobei hier mit B displaystyle mathcal B nbsp die Borelsche s Algebra notiert ist 11 Eigenschaften Bearbeiten Der klassische Wiener Raum ist ein separabler Banach Raum Literatur BearbeitenDaniel Revuz und Marc Yor Continuous Martingales and Brownian Motion In Springer Hrsg Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Band 293 1999 englisch Kapitel 1 und 3 Hui Hsiung Kuo Gaussian Measures in Banach Spaces 1975 Uber die Wiener Sphare Bearbeiten H P McKean Geometry of Differential Space In Institute of Mathematical Statistics Hrsg The Annals of Probability Band 1 Nr 2 1973 S 197 206 doi 10 1214 aop 1176996973 projecteuclid org Nigel Cutland und Siu Ah Ng The Wiener Sphere and Wiener Measure In Annals of Probability Band 21 Nr 1 Januar 1993 S 1 13 doi 10 1214 aop 1176989390 Nigel J Cutland Brownian motion on the Wiener sphere and the infinite dimensional Ornstein Uhlenbeck process In Stochastic Processes and their Applications Band 79 Nr 1 1999 S 95 107 doi 10 1016 S0304 4149 98 00072 6 sciencedirect com Nigel J Cutland 3 Stochastic Calculus of Variations In Loeb Measures in Practice Recent Advances In Springer Hrsg Lecture Notes in Mathematics Band 1751 Berlin Heidelberg 2000 doi 10 1007 978 3 540 44531 9 3 Allgemein historisches zu Wieners Konstruktion Bearbeiten Arthur Genthon The concept of velocity in the history of Brownian motion From physics to mathematics and back arxiv 2006 05399 Geschichte zur Wieners Konstruktion Einzelnachweise Bearbeiten Norbert Wiener Differential Space In Journal of Mathematics and Physics Nr 2 1923 doi 10 1002 sapm192321131 wiley com Paley R E A C Wiener N amp Zygmund A Notes on random functions In Math Z Band 37 1933 S 647 668 doi 10 1007 BF01474606 N J Cutland 3 Stochastic Calculus of Variations In Loeb Measures in Practice Recent Advances In Springer Hrsg Lecture Notes in Mathematics Band 1751 Berlin Heidelberg 2000 doi 10 1007 978 3 540 44531 9 3 H P McKean Geometry of Differential Space In Institute of Mathematical Statistics Hrsg The Annals of Probability Band 1 Nr 2 1973 S 197 206 doi 10 1214 aop 1176996973 projecteuclid org Henri Poincare Calcul des probabilites Hrsg Gauthier Villars Paris 1912 bnf fr H P McKean Geometry of Differential Space In Institute of Mathematical Statistics Hrsg The Annals of Probability Band 1 Nr 2 1973 S 197 198 doi 10 1214 aop 1176996973 projecteuclid org A S Ustunel Analysis on Wiener Space and Applications Hrsg arXiv 2010 S 1 doi 10 48550 ARXIV 1003 1649 arxiv 1003 1649 abs Daniel Revuz und Marc Yor Continuous Martingales and Brownian Motion In Springer Hrsg Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Band 293 1999 englisch Kapitel 1 und 3 Ioannis Karatzas und Steven E Shreve Brownian Motion and Stochastic Calculus Hrsg Springer Verlag 1988 S 49 Ioannis Karatzas und Steven E Shreve Brownian Motion and Stochastic Calculus Hrsg Springer Verlag 1988 S 50 Rene L Schilling und Lothar Partzsch Brownian Motion An Introduction to Stochastic Processes Hrsg De Gruyter 2012 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Klassischer Wiener Raum amp oldid 239434629