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Fokker Planck Gleichung Die FPG nach Adriaan Daniël Fokker 1887 1972 und Max Planck 1858 1947 ist eine partielle Differe

Fokker-Planck-Gleichung

Die Fokker-Planck-Gleichung (FPG, nach Adriaan Daniël Fokker (1887–1972) und Max Planck (1858–1947)) ist eine partielle Differentialgleichung. Sie beschreibt die zeitliche Entwicklung einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion unter der Wirkung von Drift und Diffusion . In ihrer eindimensionalen Form lautet die Gleichung:

Lösung der 1D Fokker-Planck-Gleichung mit Drift- und Diffusionsterm. Die Anfangsbedingung ist eine Deltafunktion bei , und die Verteilung driftet nach links.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist diese Gleichung auch bekannt als Kolmogorov-Vorwärtsgleichung und in diesem Fall nach dem Mathematiker Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow benannt. Sie ist eine lineare parabolische partielle Differentialgleichung, die sich nur für einige Spezialfälle (einfache Körpergeometrie; Linearität der Randbedingungen, des Drift- und des Diffusionskoeffizienten) analytisch exakt lösen lässt.

Für verschwindende Drift und konstante Diffusion geht die FPG in die Diffusions- (oder auch Wärmeleitungs-) Gleichung über.

In Dimensionen lautet die Fokker-Planck-Gleichung

Von der Smoluchowski-Gleichung spricht man, wenn die Positionen der Teilchen im System beschreibt.

Für Markovsche Prozesse geht die FPG aus der Kramers-Moyal-Entwicklung hervor, die nach der zweiten Ordnung abgebrochen wird.

Von großer Bedeutung ist die äquivalente Beschreibung von Problemen durch Langevin-Gleichungen, die im Vergleich zur FPG die mikroskopische Dynamik stochastischer Systeme beschreiben und – im Gegensatz zur FPG – im Allgemeinen nichtlinear sind.

Herleitung Bearbeiten

Die FPG lässt sich aus der kontinuierlichen Chapman-Kolmogorow-Gleichung, einer allgemeineren Gleichung für die Zeitentwicklung von Wahrscheinlichkeiten bei Markow-Prozessen, herleiten, falls eine kontinuierliche Variable ist und die Sprünge in klein sind. In diesem Fall ist eine Taylor-Entwicklung (in diesem Fall wird sie auch als Kramers-Moyal-Entwicklung bezeichnet) der Chapman-Kolmogorow-Gleichung

möglich und ergibt die FPG. Dabei ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Zustand von übergeht zum Zustand . Man kann die Entwicklung auch direkt von der Mastergleichung starten, dann ist die Taylorentwicklung nach der Zeit nicht mehr nötig.

Unter der Annahme, dass die Übergangswahrscheinlichkeit bei großen Abständen klein ist (eben nur kleine Sprünge stattfinden) kann man folgende Taylor-Entwicklung verwenden (unter Benutzung der Summenkonvention):

Durch Ausführen der Integration (da nicht von abhängt kann es aus den Integralen herausgezogen werden) erhält man dann

mit

Stationäre Lösung Bearbeiten

Die stationäre Lösung der eindimensionalen FPG, d. h. für alle , ist gegeben durch

wobei die Normierungskonstante mit Hilfe der Bedingung bestimmt werden kann. Dabei ist zu beachten, dass das Integral für den unteren Rand verschwindet.

Im Fall höherer Dimensionen lässt sich im Allgemeinen keine stationäre Lösung mehr finden; hier ist man auf verschiedene Näherungsverfahren angewiesen.

Zusammenhang mit stochastischen Differentialgleichungen Bearbeiten

Sei für die Funktionen und . Dann ist die stochastische Differentialgleichung für den Ito-Prozess (in der Ito-Interpretation) gegeben durch

wobei einen -dimensionalen Wiener-Prozess (Brownsche Bewegung) bezeichnet. Dann erfüllt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Zufallsvariablen eine FPG, bei der Drift- bzw. Diffusionskoeffizienten gegeben sind durch und .

Fokker-Planck-Gleichung und Pfadintegral Bearbeiten

Jede Fokker-Planck-Gleichung ist äquivalent zu einem Pfadintegral. Dies folgt z. B. daraus, dass die allgemeine Fokker-Planck-Gleichung für Variablen

dieselbe Struktur wie die Schrödingergleichung hat. Der Fokker-Planck-Operator entspricht dem Hamilton-Operator, die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion entspricht der Wellenfunktion. Das zur Fokker-Planck-Gleichung äquivalente Pfadintegral lautet entsprechend (siehe Pfadintegral)

wobei ein konstanter Normierungsfaktor ist. Pfadintegrale dieser Art sind in der kritischen Dynamik Ausgangspunkt für Störungsrechnung und Renormierungsgruppe. Die Variablen stehen dabei z. B. für die Fourierkomponenten des Ordnungsparameters. Die Variablen heißen Responsevariablen. Die Lagrange-Funktion enthält die Responsevariablen nur in quadratischer Form. Im Unterschied zur Quantenmechanik ist es hier jedoch nicht zweckmäßig, die -Integrationen auszuführen.

Fokker-Planck-Gleichung in der Plasmaphysik Bearbeiten

Die Fokker-Planck-Gleichung ist in der Plasmaphysik vor allem deshalb von Bedeutung, da der Stoßterm der Boltzmann-Gleichung für Plasmen als Fokker-Planck-Term geschrieben werden kann. Der Grund hierfür ist, dass die Bewegung der Teilchen im Plasma von den vielen Stößen mit weit entfernten Partnern dominiert wird, welche nur kleine Änderungen der Geschwindigkeit bewirken (Drift, Diffusion); starke Stöße mit nahen Teilchen sind dagegen vergleichsweise selten und deshalb oft vernachlässigbar.

Die Gleichung wird auch als Landau-Gleichung bezeichnet, da sie erstmals von Lew Dawidowitsch Landau aufgestellt wurde, allerdings nicht in ihrer Fokker-Planck-Form, die im Folgenden beschrieben wird.

In der Landau-Gleichung gibt die Einteilchen-Verteilungsdichte im Geschwindigkeitsraum für Teilchen vom Typ , an, wie viele Teilchen es bei einer bestimmten Geschwindigkeit gibt. In einem Plasma, auf das keine äußeren Kräfte wirken, kann die Änderung der Verteilungsdichte durch Kollisionen mit Teilchen vom Typ näherungsweise beschrieben werden durch die Gleichung:

mit

und

Dabei ist

  • der Coulomb-Logarithmus: Je größer sein Wert, umso stärker die Dominanz vieler leichter Kollisionen, und umso besser die Gültigkeit der Landau-Fokker-Planck-Gleichung
  • und die elektrischen Ladungen der Teilchensorten
  • ihre Masse.

Da die Teilchen im Plasma auch mit Teilchen der gleichen Spezies kollidieren, ist die Gleichung normalerweise nichtlinear.

Diese Gleichung erhält die Teilchenzahl, den Impuls und die Energie. Außerdem erfüllt sie das H-Theorem, d. h. Stöße führen zu einer Maxwell-Boltzmann-Geschwindigkeitsverteilung.

Siehe auch Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Crispin Gardiner: Stochastic Methods. A Handbook for the natural and social Sciences. 4. edition. Springer, Berlin u. a. 2009, ISBN 978-3-540-70712-7 (Springer series in synergetics = Springer complexity).
  • Hartmut Haug: Statistische Physik. Gleichgewichtstheorie und Kinetik. 2. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-540-25629-6 (Springer-Lehrbuch).
  • Linda E. Reichl: A Modern Course in Statistical Physics. University of Texas Press. 1980, ISBN 0-7131-3517-4
  • Hannes Risken: The Fokker-Planck Equation. Methods of Solutions and Applications. 2. edition., 3. printing, study edition. Springer, Berlin u. a. 1996, ISBN 3-540-61530-X, (Springer Series in Synergetics 18).
  • Arthur G. Peeters, Dafni Strintzi: The Fokker-Planck equation, and its application in plasma physics. Ann. Phys. 17, No 2-3, 124 (2008). doi:10.1002/andp.200710279.
  • K.-H. Spatschek: Theoretische Plasmaphysik. Eine Einführung. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-03041-1.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ H. K. Janssen: Lagrangean for Classical Field Dynamics and Renormalization Group Calculations of Dynamical Critical Properties. In: Z. Phys. B. 23. Jahrgang, 1976, S. 377.
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Die Fokker Planck Gleichung FPG nach Adriaan Daniel Fokker 1887 1972 und Max Planck 1858 1947 ist eine partielle Differentialgleichung Sie beschreibt die zeitliche Entwicklung einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion P x displaystyle P x unter der Wirkung von Drift A x t displaystyle A x t und Diffusion B x t displaystyle B x t In ihrer eindimensionalen Form lautet die Gleichung Losung der 1D Fokker Planck Gleichung mit Drift und Diffusionsterm Die Anfangsbedingung ist eine Deltafunktion bei x 1 displaystyle x 1 und die Verteilung driftet nach links t P x t x A x t P x t 1 2 2 x 2 B x t P x t displaystyle frac partial partial t P x t frac partial partial x Big A x t P x t Big frac 1 2 frac partial 2 partial x 2 Big B x t P x t Big In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist diese Gleichung auch bekannt als Kolmogorov Vorwartsgleichung und in diesem Fall nach dem Mathematiker Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow benannt Sie ist eine lineare parabolische partielle Differentialgleichung die sich nur 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von Problemen durch Langevin Gleichungen die im Vergleich zur FPG die mikroskopische Dynamik stochastischer Systeme beschreiben und im Gegensatz zur FPG im Allgemeinen nichtlinear sind Inhaltsverzeichnis 1 Herleitung 2 Stationare Losung 3 Zusammenhang mit stochastischen Differentialgleichungen 4 Fokker Planck Gleichung und Pfadintegral 5 Fokker Planck Gleichung in der Plasmaphysik 6 Siehe auch 7 Weblinks 8 Literatur 9 EinzelnachweiseHerleitung BearbeitenDie FPG lasst sich aus der kontinuierlichen Chapman Kolmogorow Gleichung einer allgemeineren Gleichung fur die Zeitentwicklung von Wahrscheinlichkeiten bei Markow Prozessen herleiten falls x displaystyle x nbsp eine kontinuierliche Variable ist und die Sprunge in x displaystyle x nbsp klein sind In diesem Fall ist eine Taylor Entwicklung in diesem Fall wird sie auch als Kramers Moyal Entwicklung bezeichnet der Chapman Kolmogorow Gleichung P x t P x D x t D t PS x D x D x d D D x displaystyle P x t int P left x Delta x t Delta t right 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kleine Anderungen der Geschwindigkeit bewirken Drift Diffusion starke Stosse mit nahen Teilchen sind dagegen vergleichsweise selten und deshalb oft vernachlassigbar Die Gleichung wird auch als Landau Gleichung bezeichnet da sie erstmals von Lew Dawidowitsch Landau aufgestellt wurde allerdings nicht in ihrer Fokker Planck Form die im Folgenden beschrieben wird In der Landau Gleichung gibt die Einteilchen Verteilungsdichte im Geschwindigkeitsraum fur Teilchen vom Typ a displaystyle alpha nbsp f a v t displaystyle f alpha vec v t nbsp an wie viele Teilchen es bei einer bestimmten Geschwindigkeit v displaystyle v nbsp gibt In einem Plasma auf das keine ausseren Krafte wirken kann die Anderung der Verteilungsdichte durch Kollisionen mit Teilchen vom Typ b displaystyle beta nbsp naherungsweise beschrieben werden durch die Gleichung f a t v i D v i a b f a 1 2 2 v i v j D v i D v j a b f a displaystyle frac partial f alpha partial t frac partial partial v i left langle Delta v i right rangle 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b displaystyle q beta nbsp die elektrischen Ladungen der Teilchensorten m displaystyle m nbsp ihre Masse Da die Teilchen im Plasma auch mit Teilchen der gleichen Spezies kollidieren ist die Gleichung normalerweise nichtlinear Diese Gleichung erhalt die Teilchenzahl den Impuls und die Energie Ausserdem erfullt sie das H Theorem d h Stosse fuhren zu einer Maxwell Boltzmann Geschwindigkeitsverteilung Siehe auch BearbeitenKonvektions Diffusions GleichungWeblinks BearbeitenUbersicht stochastischer Prozesse Skript Stochastische Beschreibung physikalischer Systeme Prof Kree pdf 442 kB Literatur BearbeitenCrispin Gardiner Stochastic Methods A Handbook for the natural and social Sciences 4 edition Springer Berlin u a 2009 ISBN 978 3 540 70712 7 Springer series in synergetics Springer complexity Hartmut Haug Statistische Physik Gleichgewichtstheorie und Kinetik 2 neu bearbeitete und erweiterte Auflage Springer Berlin u a 2006 ISBN 3 540 25629 6 Springer Lehrbuch Linda E Reichl A Modern Course in Statistical Physics University of Texas Press 1980 ISBN 0 7131 3517 4 Hannes Risken The Fokker Planck Equation Methods of Solutions and Applications 2 edition 3 printing study edition Springer Berlin u a 1996 ISBN 3 540 61530 X Springer Series in Synergetics 18 Arthur G Peeters Dafni Strintzi The Fokker Planck equation and its application in plasma physics Ann Phys 17 No 2 3 124 2008 doi 10 1002 andp 200710279 K H Spatschek Theoretische Plasmaphysik Eine Einfuhrung Teubner Stuttgart 1990 ISBN 3 519 03041 1 Einzelnachweise Bearbeiten a b H K Janssen Lagrangean for Classical Field Dynamics and Renormalization Group Calculations of Dynamical Critical Properties In Z Phys B 23 Jahrgang 1976 S 377 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Fokker Planck Gleichung amp oldid 235097178