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Konvektions Diffusions Gleichung Die 1 ist eine partielle Differentialgleichung aus dem Gebiet der statistischen Physik

Konvektions-Diffusions-Gleichung

Die Konvektions-Diffusions-Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung aus dem Gebiet der statistischen Physik und der Transportphänomene. Sie beschreibt den Transport von Teilchen, Energie, Temperatur usw. durch eine Kombination von Diffusion und Fluss (Konvektion/Advektion).

Beschreibt eine Konvektions-Diffusions-Gleichung den Transport von Wahrscheinlichkeitsdichte, so wird sie üblicherweise als Fokker-Planck-Gleichung bezeichnet – bezieht sich die Wahrscheinlichkeitsdichte auf Teilchenpositionen, so spricht man von der Smoluchowski-Gleichung. Für den Transport von Temperatur ist sie eng mit der Wärmeleitungsgleichung verwandt. Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann als Erweiterung der Diffusionsgleichung bzw. der Reaktions-Diffusions-Gleichung aufgefasst werden.

Definition Bearbeiten

Die allgemeine Form der Konvektions-Diffusions-Gleichung lautet:

Hierbei ist:

In vielen Fällen kann angenommen werden, dass die Diffusion ein isotroper Effekt ist, also unabhängig von der Richtung. Ohne den Reaktionsterm und mit konstantem Geschwindigkeitsfeld ergibt sich dann die folgende vereinfachte Form:

Hier ist der Laplace-Operator.

Herleitung Bearbeiten

Die Konvektions-Diffusions-Gleichung kann aus der Kontinuitätsgleichung hergeleitet werden. Diese beschreibt die Erhaltung der Größe (also etwa der Teilchenzahl) in einem Volumen und lautet:

Dabei ist eine Stromdichte, die den Fluss der Größe (der Teilchen) durch Grenzflächen eines kleinen Volumens beschreibt. Die Menge an ändert sich also nur durch zu- oder Abfluss durch die Oberfläche des betrachteten Volumens. Der Fluss kann nun durch zwei Terme beschrieben werden:

  1. Das 1. Fick’sche Gesetz ergibt den Beitrag , der den Transport durch Diffusion beschreibt.
  2. Das Flussfeld führt zu einem Konvektionsterm

Die Summe dieser Beiträge ergibt nach Einsetzen in die Kontinuitätsgleichung die Diffusions-Konvektions-Gleichung.

Literatur Bearbeiten

  • Franz Schwabl: Statistische Mechanik. Springer, 2006, ISBN 3-540-31095-9.
  • Klaus Stierstadt: Thermodynamik: Von Der Mikrophysik Zur Makrophysik. Springer, 2010, ISBN 978-3-642-05098-5, S. 414 ff. (google.de).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. S. Chandrasekhar: Stochastic Problems in Physics and Astronomy. In: Reviews of Modern Physics. Band 15, Nr. 1, Januar 1943, ISSN 0034-6861, S. 1–89, doi:10.1103/RevModPhys.15.1.
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Die Konvektions Diffusions Gleichung 1 ist eine partielle Differentialgleichung aus dem Gebiet der statistischen Physik und der Transportphanomene Sie beschreibt den Transport von Teilchen Energie Temperatur usw durch eine Kombination von Diffusion und Fluss Konvektion Advektion Beschreibt eine Konvektions Diffusions Gleichung den Transport von Wahrscheinlichkeitsdichte so wird sie ublicherweise als Fokker Planck Gleichung bezeichnet bezieht sich die Wahrscheinlichkeitsdichte auf Teilchenpositionen so spricht man von der Smoluchowski Gleichung Fur den Transport von Temperatur ist sie eng mit der Warmeleitungsgleichung verwandt Die Konvektions Diffusions Gleichung kann als Erweiterung der Diffusionsgleichung bzw der Reaktions Diffusions Gleichung aufgefasst werden Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Herleitung 3 Literatur 4 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenDie allgemeine Form der Konvektions Diffusions Gleichung lautet c t D c v c R c r t displaystyle frac partial c partial t vec nabla cdot left underline underline mathrm D vec nabla c right vec nabla cdot left vec v c right R c vec r t nbsp Hierbei ist c c r t displaystyle c equiv c vec r t nbsp die Teilchenkonzentration am Ort r displaystyle vec r nbsp und zur Zeit t displaystyle t nbsp Je nachdem welche Transportprozesse beschrieben werden kann c displaystyle c nbsp auch fur andere Grossen stehen etwa fur Masse Energie Temperatur elektrische Ladung Wahrscheinlichkeit etc D displaystyle underline underline mathrm D nbsp ist der Diffusionskoeffizient der hier die allgemeine Form eines Tensors 2 Stufe also einer Matrix annimmt v r t displaystyle vec v vec r t nbsp ist ein im Allgemeinen orts und zeitabhangiges Geschwindigkeitsfeld das den gerichteten Transport Konvektion beschreibt R c r t displaystyle R c vec r t nbsp ist ein optionaler Reaktionsterm siehe Reaktions Diffusions Gleichung displaystyle vec nabla nbsp ist der Nablaoperator In vielen Fallen kann angenommen werden dass die Diffusion ein isotroper Effekt ist also unabhangig von der Richtung Ohne den Reaktionsterm und mit konstantem Geschwindigkeitsfeld ergibt sich dann die folgende vereinfachte Form c t D 2 c v c displaystyle frac partial c partial t D cdot vec nabla 2 c vec v cdot vec nabla c nbsp Hier ist 2 displaystyle vec nabla 2 nbsp der Laplace Operator Herleitung BearbeitenDie Konvektions Diffusions Gleichung kann aus der Kontinuitatsgleichung hergeleitet werden Diese beschreibt die Erhaltung der Grosse c displaystyle c nbsp also etwa der Teilchenzahl in einem Volumen und lautet c t j 0 displaystyle frac partial c partial t vec nabla cdot vec j 0 nbsp Dabei ist j displaystyle vec j nbsp eine Stromdichte die den Fluss der Grosse c displaystyle c nbsp der Teilchen durch Grenzflachen eines kleinen Volumens beschreibt Die Menge an c displaystyle c nbsp andert sich also nur durch zu oder Abfluss durch die Oberflache des betrachteten Volumens Der Fluss j displaystyle vec j nbsp kann nun durch zwei Terme beschrieben werden Das 1 Fick sche Gesetz ergibt den Beitrag j diffusion D c displaystyle vec j text diffusion D vec nabla c nbsp der den Transport durch Diffusion beschreibt Das Flussfeld v displaystyle vec v nbsp fuhrt zu einem Konvektionsterm j konvektion v c displaystyle vec j text konvektion vec v c nbsp Die Summe j j diffusion j konvektion displaystyle vec j vec j text diffusion vec j text konvektion nbsp dieser Beitrage ergibt nach Einsetzen in die Kontinuitatsgleichung die Diffusions Konvektions Gleichung Literatur BearbeitenFranz Schwabl Statistische Mechanik Springer 2006 ISBN 3 540 31095 9 Klaus Stierstadt Thermodynamik Von Der Mikrophysik Zur Makrophysik Springer 2010 ISBN 978 3 642 05098 5 S 414 ff google de Einzelnachweise Bearbeiten S Chandrasekhar Stochastic Problems in Physics and Astronomy In Reviews of Modern Physics Band 15 Nr 1 Januar 1943 ISSN 0034 6861 S 1 89 doi 10 1103 RevModPhys 15 1 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Konvektions Diffusions Gleichung amp oldid 213794791