Die Chapman-Kolmogorow-Gleichung ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine Gleichung für die Übergangswahrscheinlichkeiten bei Markow-Ketten oder allgemeiner bei Markow-Prozessen. Die differentielle Schreibweise der Chapman-Kolmogorow-Gleichung ist als Mastergleichung bekannt.
Markow-Ketten Bearbeiten
Die Chapman-Kolmogorow-Gleichung für Markow-Ketten stellt die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen des Zustandes nach Schritten, beginnend im Zustand , als Summe möglicher Wege mit Zwischenstation dar. Formal bedeutet dies:
Sei eine Markow-Kette mit Übergangsmatrix und Zustandsraum .
Dann gilt für alle
Der Beweis der Gleichung wird in der Regel wie folgt geführt:
Unter Anwendung der Definition der Matrizenmultiplikation auf die Übergangsmatrix ergibt sich
wobei bei ausgenutzt wurde, dass für alle mit gilt.
Markow-Prozesse Bearbeiten
Für einen allgemeinen Markow-Prozess mit der Halbgruppe von Übergangskernen lässt sich die Chapman-Kolmogorow-Gleichung auch kurz schreiben als
wobei die Komposition von Kernen bezeichnet. Induktiv lässt sich daraus herleiten, dass
Einzelnachweise Bearbeiten
- Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8, S. 354.
- Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8, S. 291.