Dieser Artikel behandelt Ubergangswahrscheinlichkeiten in der Wahrscheinlichkeitstheorie Zu Ubergangswahrscheinlichkeiten in der Physik siehe auch Ubergangsdipolmoment und Vibronischer Ubergang Als Ubergangskern bezeichnet man spezielle Abbildungen zwischen Messraumen in der Wahrscheinlichkeitstheorie die im ersten Argument messbar sind und im zweiten Argument ein Mass liefern Spezialfalle von Ubergangskernen sind die sogenannten stochastischen Kerne die auch Markow Kerne oder Wahrscheinlichkeitskerne genannt werden Bei ihnen ist das Mass immer ein Wahrscheinlichkeitsmass Ist das Mass immer ein Sub Wahrscheinlichkeitsmass so spricht man auch von Sub Markow Kernen oder substochastischen Kernen Insbesondere die Markow Kerne spielen eine wichtige Rolle in der Wahrscheinlichkeitstheorie wie beispielsweise bei der Formulierung der regularen bedingten Verteilung oder der Theorie der stochastischen Prozesse Hier bilden sie im Speziellen die Basis fur die Formulierung der Ubergangswahrscheinlichkeiten von Markow Ketten oder Existenzaussagen wie den Satz von Ionescu Tulcea Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Elementare Beispiele 3 Eigenschaften 3 1 Masse durch Kerne 3 2 Messbare Funktionen durch Kerne 4 Diskreter Fall 5 Operationen von Ubergangskernen 5 1 Verkettung 5 2 Produkte 6 Weitere Beispiele 7 Darstellung als Daniell stetige Abbildungen und Komposition 8 Spezielle Anwendungen 9 LiteraturDefinition BearbeitenGegeben seien zwei Messraume W 0 A 0 displaystyle Omega 0 mathcal A 0 nbsp und W 1 A 1 displaystyle Omega 1 mathcal A 1 nbsp Eine Abbildung K W 0 A 1 0 displaystyle K colon Omega 0 times mathcal A 1 to 0 infty nbsp heisst ein Ubergangskern von W 0 A 0 displaystyle Omega 0 mathcal A 0 nbsp nach W 1 A 1 displaystyle Omega 1 mathcal A 1 nbsp wenn gilt Fur jedes x W 0 displaystyle x in Omega 0 nbsp ist K x displaystyle K x cdot nbsp ein Mass auf W 1 A 1 displaystyle Omega 1 mathcal A 1 nbsp Fur jedes A 1 A 1 displaystyle A 1 in mathcal A 1 nbsp ist K A 1 displaystyle K cdot A 1 nbsp eine A 0 displaystyle mathcal A 0 nbsp messbare Funktion Ist das Mass fur alle x W 0 displaystyle x in Omega 0 nbsp ein s endliches Mass so spricht man von einem s endlichen Ubergangskern ist es stets endlich so spricht man von einem endlichen Ubergangskern Ist das Mass fur alle x W 0 displaystyle x in Omega 0 nbsp ein Wahrscheinlichkeitsmass so nennt man K displaystyle K nbsp einen stochastischen Kern oder Markow Kern Ist das Mass fur alle x W 0 displaystyle x in Omega 0 nbsp ein Sub Wahrscheinlichkeitsmass so heisst K displaystyle K nbsp ein substochastischer Kern oder sub Markow scher Kern Bemerkung Bei manchen Definitionen werden die Argumente von K displaystyle K nbsp in umgekehrter Reihenfolge geschrieben K A x displaystyle K A x nbsp oder auch K A x displaystyle K A x nbsp in Anlehnung an bedingte Wahrscheinlichkeiten Elementare Beispiele BearbeitenDie Poisson Verteilung Poi x A K x A displaystyle operatorname Poi x A K x A nbsp ist ein Markow Kern von R B R displaystyle mathbb R mathcal B mathbb R nbsp nach N P N displaystyle mathbb N mathcal P mathbb N nbsp Denn die Funktion f A x Poi x A displaystyle f A x operatorname Poi x A nbsp mit Parameter A P N displaystyle A in mathcal P mathbb N nbsp ist stetig in x R displaystyle x in mathbb R nbsp und daher messbar Des Weiteren ist fur jedes x R displaystyle x in mathbb R nbsp die Poisson Verteilung mit Parameter x displaystyle x nbsp eine Wahrscheinlichkeitsverteilung Also handelt es sich um einen Ubergangskern Die stochastische MatrixA 0 1 2 1 2 1 2 1 2 0 1 2 0 1 2 displaystyle A begin pmatrix 0 amp tfrac 1 2 amp tfrac 1 2 tfrac 1 2 amp tfrac 1 2 amp 0 tfrac 1 2 amp 0 amp tfrac 1 2 end pmatrix nbsp kann als ein Markow Kern von 1 2 3 P 1 2 3 displaystyle 1 2 3 mathcal P 1 2 3 nbsp nach 1 2 3 P 1 2 3 displaystyle 1 2 3 mathcal P 1 2 3 nbsp aufgefasst werden Denn fur jedes i displaystyle i nbsp ist die i displaystyle i nbsp te Zeile ein Wahrscheinlichkeitsvektor und damit ein Wahrscheinlichkeitsmass auf 1 2 3 displaystyle 1 2 3 nbsp Ausserdem ist sie eine Abbildung zwischen endlichen Mengen versehen mit der Potenzmenge und damit messbar Eigenschaften BearbeitenMasse durch Kerne Bearbeiten Jedem Mass m displaystyle mu nbsp auf W A displaystyle Omega mathcal A nbsp ordnet K displaystyle K nbsp durch n A W K x A m d x displaystyle nu A int Omega K x A mu mathrm d x nbsp ein Mass n displaystyle nu nbsp auf W A displaystyle Omega mathcal A nbsp zu Dieses Mass wird ublicherweise mit m K displaystyle mu K nbsp bezeichnet Ist m displaystyle mu nbsp ein Wahrscheinlichkeitsmass gilt also m W 1 displaystyle mu Omega 1 nbsp dann ist auch m K W 1 displaystyle mu K Omega 1 nbsp das heisst m K displaystyle mu K nbsp ist ebenfalls ein Wahrscheinlichkeitsmass Im Fall W A W A displaystyle Omega mathcal A Omega mathcal A nbsp wird ein Mass m displaystyle mu nbsp fur das m m K displaystyle mu mu K nbsp gilt stationares Mass genannt Ein stationares Wahrscheinlichkeitsmass heisst auch stationare Verteilung Messbare Funktionen durch Kerne Bearbeiten Jeder nichtnegativen messbaren Funktion g W R displaystyle g colon Omega to mathbb R nbsp ordnet K displaystyle K nbsp durch f x W g y K x d y displaystyle f x int Omega g y K x mathrm d y nbsp eine nichtnegative messbare Funktion f W R displaystyle f colon Omega to mathbb R nbsp zu Diese Funktion wird ublicherweise mit K g displaystyle Kg nbsp bezeichnet Mit der Kurzschreibweise m f W f x m d x displaystyle mu f int Omega f x mu mathrm d x nbsp gilt fur alle Masse m displaystyle mu nbsp auf W A displaystyle Omega mathcal A nbsp und alle nichtnegativen messbaren Funktionen g W R displaystyle g colon Omega to mathbb R nbsp die Gleichung m K g m K g displaystyle mu K g mu Kg nbsp Diskreter Fall BearbeitenIm diskreten Fall wo W displaystyle Omega nbsp und W displaystyle Omega nbsp endliche oder abzahlbare Mengen sind genugt es die Wahrscheinlichkeiten p i j displaystyle p i j nbsp anzugeben mit denen man vom Zustand i displaystyle i nbsp in den Zustand j displaystyle j nbsp gelangt Mit den Bezeichnungen des allgemeinen Falls gilt dann p i j K i j displaystyle p i j K i j nbsp Diese Wahrscheinlichkeiten bilden eine Ubergangsmatrix M p i j i W j W displaystyle M p i j i in Omega j in Omega nbsp die die Eigenschaft hat dass alle Elemente zwischen 0 displaystyle 0 nbsp und 1 displaystyle 1 nbsp liegen und dass die Zeilensummen j W p i j displaystyle sum j in Omega p i j nbsp den Wert 1 displaystyle 1 nbsp haben Eine solche Matrix wird als stochastische Matrix bezeichnet Sie ordnet jeder Wahrscheinlichkeitsverteilung auf W displaystyle Omega nbsp mit einer Zahldichte r r i i W displaystyle rho rho i i in Omega nbsp die Zahldichte r M i W r i p i j j W displaystyle rho M Bigl sum i in Omega rho i p i j Bigr j in Omega nbsp einer Wahrscheinlichkeitsverteilung auf W displaystyle Omega nbsp zu das heisst r M displaystyle rho M nbsp wird mit der ublichen Matrixmultiplikation berechnet wobei Zahldichten als Zeilenvektoren aufgefasst werden Ist g W R displaystyle g colon Omega to mathbb R nbsp eine nichtnegative Funktion aufgefasst als Spaltenvektor g j j W displaystyle g j j in Omega nbsp mit nichtnegativen Eintragen dann gilt K g j W p i j g j i W displaystyle Kg Bigl sum j in Omega p i j g j Bigr i in Omega nbsp Das heisst im diskreten Fall wird auch K g displaystyle Kg nbsp aufgefasst als Spaltenvektor mit Indizes in W displaystyle Omega nbsp mit der ublichen Matrixmultiplikation berechnet Bemerkung Bei manchen Definitionen werden Zeilen und Spalten der Matrix umgekehrt verwendet Operationen von Ubergangskernen BearbeitenVerkettung Bearbeiten Sind drei Messraume W 0 A 0 W 1 A 1 W 2 A 2 displaystyle Omega 0 mathcal A 0 Omega 1 mathcal A 1 Omega 2 mathcal A 2 nbsp gegeben sowie zwei substochastische Kerne K 1 displaystyle K 1 nbsp von W 0 A 0 displaystyle Omega 0 mathcal A 0 nbsp nach W 1 A 1 displaystyle Omega 1 mathcal A 1 nbsp und K 2 displaystyle K 2 nbsp von W 1 A 1 displaystyle Omega 1 mathcal A 1 nbsp nach W 2 A 2 displaystyle Omega 2 mathcal A 2 nbsp so ist die Verkettung der Kerne K 1 displaystyle K 1 nbsp und K 2 displaystyle K 2 nbsp eine Abbildung K 1 K 2 W 0 A 2 0 displaystyle K 1 cdot K 2 colon Omega 0 times mathcal A 2 to 0 infty nbsp definiert durch K 1 K 2 x 0 A 2 W 1 K 1 x 0 d x 1 K 2 x 1 A 2 displaystyle K 1 cdot K 2 x 0 A 2 int Omega 1 K 1 x 0 mathrm d x 1 K 2 x 1 A 2 nbsp Die Verkettung ist dann ein substochastischer Kern von W 0 A 0 displaystyle Omega 0 mathcal A 0 nbsp nach W 2 A 2 displaystyle Omega 2 mathcal A 2 nbsp Sind K 1 displaystyle K 1 nbsp und K 2 displaystyle K 2 nbsp stochastisch dann ist auch K 1 K 2 displaystyle K 1 cdot K 2 nbsp stochastisch Produkte Bearbeiten Gegeben seien die Massraume W 1 A 1 W 2 A 2 displaystyle Omega 1 mathcal A 1 Omega 2 mathcal A 2 nbsp und W 3 A 3 displaystyle Omega 3 mathcal A 3 nbsp und zwei endliche Ubergangskerne K 1 displaystyle K 1 nbsp von W 1 A 1 displaystyle Omega 1 mathcal A 1 nbsp nach W 2 A 2 displaystyle Omega 2 mathcal A 2 nbsp und K 2 displaystyle K 2 nbsp von W 1 W 2 A 1 A 2 displaystyle Omega 1 times Omega 2 mathcal A 1 otimes mathcal A 2 nbsp nach W 3 A 3 displaystyle Omega 3 mathcal A 3 nbsp Dann definiert man das Produkt der Kerne K 1 displaystyle K 1 nbsp und K 2 displaystyle K 2 nbsp K 1 K 2 W 1 A 2 A 3 0 displaystyle K 1 otimes K 2 colon Omega 1 times mathcal A 2 otimes mathcal A 3 to 0 infty nbsp als w 1 A W 2 K 1 w 1 d w 2 W 3 K 2 w 1 w 2 d w 3 x A w 2 w 3 displaystyle omega 1 A mapsto int Omega 2 K 1 omega 1 mathrm d omega 2 int Omega 3 K 2 omega 1 omega 2 mathrm d omega 3 chi A omega 2 omega 3 nbsp Das Produkt K 1 K 2 displaystyle K 1 otimes K 2 nbsp ist dann ein s endlicher Ubergangskern von W 1 A 1 displaystyle Omega 1 mathcal A 1 nbsp nach W 2 W 3 A 2 A 3 displaystyle Omega 2 times Omega 3 mathcal A 2 otimes mathcal A 3 nbsp Sind beide Kerne stochastisch bzw substochastisch so ist auch das Produkt der Kerne stochastisch bzw substochastisch Ist K 2 displaystyle K 2 nbsp nur ein Kern von W 2 A 2 displaystyle Omega 2 mathcal A 2 nbsp nach W 3 A 3 displaystyle Omega 3 mathcal A 3 nbsp so fasst man den Kern als Kern von W 1 W 2 A 1 A 2 displaystyle Omega 1 times Omega 2 mathcal A 1 otimes mathcal A 2 nbsp auf der unabhangig von der ersten Komponente ist Weitere Beispiele BearbeitenIst n A 0 1 displaystyle nu colon mathcal A to 0 1 nbsp ein Wahrscheinlichkeitsmass auf W A displaystyle Omega mathcal A nbsp dann ist K x A n A displaystyle K x A nu A nbsp eine von x W displaystyle x in Omega nbsp unabhangige Ubergangswahrscheinlichkeit Fur W A W A displaystyle Omega mathcal A Omega mathcal A nbsp und das Diracmass d x displaystyle delta x nbsp im Punkt x W displaystyle x in Omega nbsp wird durch I x A d x A displaystyle I x A delta x A nbsp eine Ubergangswahrscheinlichkeit von W A displaystyle Omega mathcal A nbsp nach W A displaystyle Omega mathcal A nbsp definiert die auch Einheitskern genannt wird Es gilt m I m displaystyle mu I mu nbsp fur alle Masse m displaystyle mu nbsp auf W A displaystyle Omega mathcal A nbsp und I f f displaystyle If f nbsp fur alle nichtnegativen messbaren Funktionen f W R displaystyle f colon Omega to mathbb R nbsp Sind k W W R displaystyle k colon Omega times Omega to mathbb R nbsp eine nichtnegative und bezuglich der Produkt s Algebra A A displaystyle mathcal A otimes mathcal A nbsp messbare Funktion und n displaystyle nu nbsp ein Mass auf W A displaystyle Omega mathcal A nbsp mit W k x y n d y 1 displaystyle int Omega k x y nu mathrm d y 1 nbsp fur alle x W displaystyle x in Omega nbsp dann wird durchK x A A k x y n d y displaystyle K x A int A k x y nu mathrm d y nbsp dd eine Ubergangswahrscheinlichkeit definiert Hier ist also K x displaystyle K x cdot nbsp das Wahrscheinlichkeitsmass auf W A displaystyle Omega mathcal A nbsp mit der n displaystyle nu nbsp Wahrscheinlichkeitsdichte k x displaystyle k x cdot nbsp Sei n N displaystyle n in mathbb N nbsp fest und B n p displaystyle B n p nbsp die Binomialverteilung mit Parametern n displaystyle n nbsp und p displaystyle p nbsp aufgefasst als Wahrscheinlichkeitsmass auf W 0 1 n displaystyle Omega 0 1 dotsc n nbsp Dann wird durchK p A B n p A displaystyle K p A B n p A nbsp dd eine Ubergangswahrscheinlichkeit von W A 0 1 B 0 1 displaystyle Omega mathcal A 0 1 mathcal B 0 1 nbsp nach W P W displaystyle Omega mathcal P Omega nbsp definiert Ist beispielsweise b a b displaystyle beta a b nbsp eine Betaverteilung auf W A displaystyle Omega mathcal A nbsp dann ist b a b K displaystyle beta a b K nbsp die zugehorige Beta Binomialverteilung auf W displaystyle Omega nbsp Darstellung als Daniell stetige Abbildungen und Komposition BearbeitenJedem Markow Kern K displaystyle K nbsp von W A displaystyle Omega mathcal A nbsp nach W A displaystyle Omega mathcal A nbsp ist auf dem Raum E displaystyle E nbsp der numerischen nichtnegativen Funktionen f W 0 displaystyle f colon Omega to 0 infty nbsp uber T f w f w K w d w displaystyle Tf omega int f omega K omega mathrm d omega nbsp eine Abbildung T E E displaystyle T colon E to E nbsp mit folgenden Eigenschaften zugeordnet f 0 T f 0 displaystyle f geq 0 Rightarrow Tf geq 0 nbsp fur jedes f E displaystyle f in E nbsp Positivitat f n f T f n T f displaystyle f n uparrow f Rightarrow Tf n uparrow Tf nbsp fur jede monoton wachsende Folge f n displaystyle f n nbsp in E displaystyle E nbsp Daniell Stetigkeit nach Percy John Daniell T f g T f T g displaystyle T f g Tf Tg nbsp Additivitat Zu jeder Abbildung T displaystyle T nbsp mit diesen Eigenschaften gibt es wiederum genau einen Kern fur den T displaystyle T nbsp die so gebildete Abbildung darstellt Aus der Komposition dieser Abbildungen T 1 T 2 displaystyle T 1 circ T 2 nbsp kann eine Definition fur die Komposition der zugehorigen Kerne hergeleitet werden Durch K 1 K 2 w A K 1 w d w K 2 w A displaystyle K 1 K 2 omega A int K 1 omega mathrm d omega K 2 omega A nbsp ist ein stochastischer Kern von W A displaystyle Omega mathcal A nbsp nach W A displaystyle Omega mathcal A nbsp definiert der als Komposition von K 1 displaystyle K 1 nbsp und K 2 displaystyle K 2 nbsp bezeichnet wird Im diskreten Fall entspricht K 1 K 2 displaystyle K 1 K 2 nbsp der Multiplikation der beiden Ubergangsmatrizen Spezielle Anwendungen BearbeitenMarkow Kerne finden breite Anwendung bei der Modellbildung etwa unter Zuhilfenahme von Markow und Hidden Markow Modellen In der Quantenphysik werden oft Ubergangswahrscheinlichkeiten zwischen quantenmechanischen Zustanden untersucht Ausserdem werden Markow Kerne in der mathematischen Statistik verwendet um im Rahmen eines allgemeinen statistischen Entscheidungsproblems eine Entscheidungsfunktion zu definieren die jedem Ausgang eines Experiments eine Entscheidung zuordnet Dabei kann die Entscheidung sowohl eine Parameterschatzung als auch die Wahl eines Konfidenzintervalls oder die Entscheidung fur oder gegen eine Hypothese sein Literatur BearbeitenAchim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 36017 6 doi 10 1007 978 3 642 36018 3 Heinz Bauer Wahrscheinlichkeitstheorie De Gruyter Berlin 2002 ISBN 3 11 017236 4 Erhan Cinlar Probability and Stochastics Springer New York u a 2011 ISBN 978 0 387 87858 4 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ubergangskern amp oldid 232816761
