www.wikidata.de-de.nina.az

Sub Wahrscheinlichkeitsmaß Ein auch Sub Wahrscheinlichkeitsverteilung genannt ist eine Mengenfunktion in der Stochastik

Sub-Wahrscheinlichkeitsmaß

Ein Sub-Wahrscheinlichkeitsmaß, auch Sub-Wahrscheinlichkeitsverteilung genannt, ist eine Mengenfunktion in der Stochastik, die eine Verallgemeinerung der Wahrscheinlichkeitsmaße darstellt. Im Gegensatz zu Wahrscheinlichkeitsmaßen wird bei Sub-Wahrscheinlichkeitsmaßen der Obermenge immer eine Zahl kleinergleich 1 und nicht exakt 1 zugeordnet.

Definition Bearbeiten

Ein Sub-Wahrscheinlichkeitsmaß ist eine Mengenfunktion

auf einem Messraum , also einer Grundmenge und einer σ-Algebra über dieser Grundmenge mit den folgenden Eigenschaften:

  • Es ist .

Elementare Eigenschaften Bearbeiten

Die endlichen signierten Maße über einem gemeinsamen Messraum bilden einen reellen Vektorraum. In diesem Raum enthalten die Sub-Wahrscheinlichkeitsmaße die Menge der Wahrscheinlichkeitsmaße als konvexe Teilmenge, umgekehrt bilden die Sub-Wahrscheinlichkeitsmaße selbst eine konvexe Teilmenge der endlichen Maße und erben somit viele deren Eigenschaften. Exemplarisch sei hier genannt:

  • Es ist
  • Monotonie: Ein Sub-Wahrscheinlichkeitsmaß ist eine monotone Abbildung von nach , das heißt für gilt

Eigenschaften auf verschiedenen Grundräumen Bearbeiten

Die Eigenschaften von Sub-Wahrscheinlichkeitsmaßen in Abhängigkeit von der Struktur der Grundräume (Topologischer Raum, metrischer Raum, Polnischer Raum o. ä.) entsprechen im Wesentlichen den Eigenschaften von endlichen Maßen auf ebendiesen Räumen und sind im dortigen Artikel ausgiebig erläutert.

Einer der wenigen Unterschiede von Sub-Wahrscheinlichkeitsmaßen zu endlichen Maßen ist, dass Folgen oder Mengen von Sub-Wahrscheinlichkeitsmaßen immer beschränkt sind. Dabei heißt eine Folge von Maßen beschränkt, wenn ist. Mit ist hierbei die Totalvariationsnorm bezeichnet. Dies ist aber für Sub-Wahrscheinlichkeitsmaße immer erfüllt, da per Definition

ist. Dies führt beispielsweise zu alternativen Formulierungen beim Satz von Prochorow, da dann auf die Beschränktheit verzichtet werden kann. Er lautet dann:

  • Ist ein separabler metrischer Raum und ist eine Menge von Sub-Wahrscheinlichkeitsmaßen auf der Borelschen σ-Algebra straff, so ist die Menge relativ folgenkompakt bezüglich der schwachen Konvergenz.
  • Ist ein polnischer Raum, so ist eine Menge von Sub-Wahrscheinlichkeitsmaßen genau dann relativ folgenkompakt bezüglich der schwachen Konvergenz, wenn die Menge straff ist.

Des Weiteren gibt es noch spezielle Formulierungen des Portmanteau-Theorems für Sub-Wahrscheinlichkeitsmaße.

Ein Subwahrscheinlichkeitsmaß auf dem Messraum , wobei die Borelsche σ-Algebra bezeichnet, kann durch eine Subverteilungsfunktion als Verteilungsfunktion im maßtheoretischen Sinn charakterisiert werden.

Literatur Bearbeiten

wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Ein Sub Wahrscheinlichkeitsmass auch Sub Wahrscheinlichkeitsverteilung genannt ist eine Mengenfunktion in der Stochastik die eine Verallgemeinerung der Wahrscheinlichkeitsmasse darstellt Im Gegensatz zu Wahrscheinlichkeitsmassen wird bei Sub Wahrscheinlichkeitsmassen der Obermenge immer eine Zahl kleinergleich 1 und nicht exakt 1 zugeordnet Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Elementare Eigenschaften 3 Eigenschaften auf verschiedenen Grundraumen 4 LiteraturDefinition BearbeitenEin Sub Wahrscheinlichkeitsmass ist eine Mengenfunktion m A 0 1 displaystyle mu mathcal A to 0 1 nbsp auf einem Messraum X A displaystyle X mathcal A nbsp also einer Grundmenge X displaystyle X nbsp und einer s Algebra A displaystyle mathcal A nbsp uber dieser Grundmenge mit den folgenden Eigenschaften s Additivitat Fur jede abzahlbare Folge von paarweise disjunkten Mengen A 1 A 2 A 3 displaystyle A 1 A 2 A 3 dots nbsp aus A displaystyle mathcal A nbsp giltm i 1 A i i 1 m A i displaystyle mu left bigcup i 1 infty A i right sum i 1 infty mu A i nbsp Es ist m X 1 displaystyle mu X leq 1 nbsp Elementare Eigenschaften BearbeitenDie endlichen signierten Masse uber einem gemeinsamen Messraum bilden einen reellen Vektorraum In diesem Raum enthalten die Sub Wahrscheinlichkeitsmasse die Menge der Wahrscheinlichkeitsmasse als konvexe Teilmenge umgekehrt bilden die Sub Wahrscheinlichkeitsmasse selbst eine konvexe Teilmenge der endlichen Masse und erben somit viele deren Eigenschaften Exemplarisch sei hier genannt Es ist m 0 displaystyle mu emptyset 0 nbsp Monotonie Ein Sub Wahrscheinlichkeitsmass ist eine monotone Abbildung von A displaystyle mathcal A subset nbsp nach 0 1 displaystyle 0 1 leq nbsp das heisst fur A B A displaystyle A B in mathcal A nbsp giltB A m B m A displaystyle B subset A implies mu B leq mu A nbsp s Subadditivitat Fur eine beliebige Folge A n n N displaystyle A n n in mathbb N nbsp von Mengen aus A displaystyle mathcal A nbsp gilt m n 1 A n n 1 m A n displaystyle mu left bigcup n 1 infty A n right leq sum n 1 infty mu A n nbsp s Stetigkeit von unten Ist A n n N displaystyle A n n in mathbb N nbsp eine monoton gegen A displaystyle A nbsp wachsende Mengenfolge in A displaystyle mathcal A nbsp also A n A displaystyle A n uparrow A nbsp so ist lim n m A n m A displaystyle lim n to infty mu A n mu A nbsp s Stetigkeit von oben Ist A n n N displaystyle A n n in mathbb N nbsp eine monoton gegen A displaystyle A nbsp fallende Mengenfolge in A displaystyle mathcal A nbsp also A n A displaystyle A n downarrow A nbsp so ist lim n m A n m A displaystyle lim n to infty mu A n mu A nbsp Eigenschaften auf verschiedenen Grundraumen BearbeitenDie Eigenschaften von Sub Wahrscheinlichkeitsmassen in Abhangigkeit von der Struktur der Grundraume Topologischer Raum metrischer Raum Polnischer Raum o a entsprechen im Wesentlichen den Eigenschaften von endlichen Massen auf ebendiesen Raumen und sind im dortigen Artikel ausgiebig erlautert Einer der wenigen Unterschiede von Sub Wahrscheinlichkeitsmassen zu endlichen Massen ist dass Folgen oder Mengen von Sub Wahrscheinlichkeitsmassen immer beschrankt sind Dabei heisst eine Folge von Massen beschrankt wenn sup n N m n TV lt displaystyle textstyle sup n in mathbb N mu n operatorname TV lt infty nbsp ist Mit m n TV displaystyle mu n operatorname TV nbsp ist hierbei die Totalvariationsnorm bezeichnet Dies ist aber fur Sub Wahrscheinlichkeitsmasse immer erfullt da per Definition m X m n TV 1 displaystyle mu X mu n operatorname TV leq 1 nbsp ist Dies fuhrt beispielsweise zu alternativen Formulierungen beim Satz von Prochorow da dann auf die Beschranktheit verzichtet werden kann Er lautet dann Ist X d displaystyle X d nbsp ein separabler metrischer Raum und ist eine Menge von Sub Wahrscheinlichkeitsmassen auf der Borelschen s Algebra straff so ist die Menge relativ folgenkompakt bezuglich der schwachen Konvergenz Ist X displaystyle X nbsp ein polnischer Raum so ist eine Menge von Sub Wahrscheinlichkeitsmassen genau dann relativ folgenkompakt bezuglich der schwachen Konvergenz wenn die Menge straff ist Des Weiteren gibt es noch spezielle Formulierungen des Portmanteau Theorems fur Sub Wahrscheinlichkeitsmasse Ein Subwahrscheinlichkeitsmass auf dem Messraum R B displaystyle mathbb R mathcal B nbsp wobei B displaystyle mathcal B nbsp die Borelsche s Algebra bezeichnet kann durch eine Subverteilungsfunktion als Verteilungsfunktion im masstheoretischen Sinn charakterisiert werden Literatur BearbeitenAchim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 36017 6 doi 10 1007 978 3 642 36018 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Sub Wahrscheinlichkeitsmass amp oldid 227066331