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Totalvariationsnorm Die ist ein Begriff aus der Maßtheorie einem Teilgebiet der Mathematik das sich mit der Verallgemein

Totalvariationsnorm

Die Totalvariationsnorm ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Verallgemeinerung von Längen- und Volumenbegriffen beschäftigt. Die Totalvariationsnorm ordnet jedem signierten Maß eine Zahl zu und definiert damit eine Norm auf dem Vektorraum der signierten Maße. Die von der Norm induzierte Metrik wird dann auch Totalvariationsabstand oder Totalvariationsmetrik genannt.

Teils findet sich auch die Bezeichnungen Totalvariation oder Totale Variation. Diese sind jedoch zweideutig, sie werden auch für das aus positiver Variation und negativer Variation zusammengesetzte Maß, die Variation des Maßes, verwendet.

Definition Bearbeiten

Gegeben sei ein signiertes Maß auf dem Messraum und sei die Jordan-Zerlegung des signierten Maßes und sei die Hahn-Zerlegung des Grundraumes sowie die Variation des signierten Maßes. Dann heißt

die Totalvariationsnorm des signierten Maßes .

Beispiele Bearbeiten

Ist die Grundmenge für ein fixiertes , so lässt sich jedes endliche signierte Maß durch einen Vektor definieren durch

Die Hahn-Zerlegung wäre dann

Demnach ist die Totalvariation des signierten Maßes

genau die 1-Norm des Vektors.

Besitzt das signierte Maß eine Dichte bezüglich eines Maßes , ist also

so ist die positive Variation durch und die negative Variation durch gegeben. Demnach ist

Eigenschaften Bearbeiten

  • Die Totalvariationsnorm macht die endlichen signierten Maße zu einem vollständigen Vektorraum, der sich sogar anordnen lässt.
  • Wie für jede Norm lässt sich aus der Totalvariationsnorm eine Metrik definieren durch

Literatur Bearbeiten

  • Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.
  • Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.
  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6.
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Veröffentlichungsdatum:
Die Totalvariationsnorm ist ein Begriff aus der Masstheorie einem Teilgebiet der Mathematik das sich mit der Verallgemeinerung von Langen und Volumenbegriffen beschaftigt Die Totalvariationsnorm ordnet jedem signierten Mass eine Zahl zu und definiert damit eine Norm auf dem Vektorraum der signierten Masse Die von der Norm induzierte Metrik wird dann auch Totalvariationsabstand oder Totalvariationsmetrik genannt Teils findet sich auch die Bezeichnungen Totalvariation oder Totale Variation Diese sind jedoch zweideutig sie werden auch fur das aus positiver Variation und negativer Variation zusammengesetzte Mass die Variation des Masses verwendet Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Eigenschaften 4 LiteraturDefinition BearbeitenGegeben sei ein signiertes Mass n displaystyle nu nbsp auf dem Messraum W A displaystyle Omega mathcal A nbsp und sei n n n displaystyle nu nu nu nbsp die Jordan Zerlegung des signierten Masses und sei W P N displaystyle Omega P cup N nbsp die Hahn Zerlegung des Grundraumes sowie n displaystyle nu nbsp die Variation des signierten Masses Dann heisst n T V n P n N n W n W n W displaystyle Vert nu Vert TV nu P nu N nu Omega nu Omega nu Omega nbsp die Totalvariationsnorm des signierten Masses n displaystyle nu nbsp Beispiele BearbeitenIst die Grundmenge W 1 n displaystyle Omega 1 dots n nbsp fur ein fixiertes n N displaystyle n in mathbb N nbsp so lasst sich jedes endliche signierte Mass durch einen Vektor x R n displaystyle x in mathbb R n nbsp definieren durch n A i A x i displaystyle nu A sum i in A x i nbsp Die Hahn Zerlegung ware dann P i W x i gt 0 und N i W x i lt 0 displaystyle P i in Omega x i gt 0 text und N i in Omega x i lt 0 nbsp Demnach ist die Totalvariation des signierten Masses n T V i 1 n x i x 1 displaystyle Vert nu Vert TV sum i 1 n x i Vert x Vert 1 nbsp genau die 1 Norm des Vektors Besitzt das signierte Mass n displaystyle nu nbsp eine Dichte f displaystyle f nbsp bezuglich eines Masses m displaystyle mu nbsp ist also n A A f d m displaystyle nu A int A f mathrm d mu nbsp so ist die positive Variation durch n A A max f 0 d m displaystyle nu A int A max f 0 mathrm d mu nbsp und die negative Variation durch n A A min f 0 d m displaystyle nu A int A min f 0 mathrm d mu nbsp gegeben Demnach ist n T V W max f 0 d m W min f 0 d m W f d m displaystyle Vert nu Vert TV int Omega max f 0 mathrm d mu int Omega min f 0 mathrm d mu int Omega f mathrm d mu nbsp Eigenschaften BearbeitenDie Totalvariationsnorm macht die endlichen signierten Masse zu einem vollstandigen Vektorraum der sich sogar anordnen lasst Wie fur jede Norm lasst sich aus der Totalvariationsnorm eine Metrik definieren durchd m n m n T V displaystyle d mu nu Vert mu nu Vert TV nbsp Diese heisst Totalvariationsmetrik oder Totalvariationsabstand Diese Bezeichnungen werden insbesondere bei der Untersuchung von Teilmengen der signierten Masse verwendet die keine Unterraume der signierten Masse sind Beispiele hierfur sind die endlichen Masse die Sub Wahrscheinlichkeitsmasse und die Wahrscheinlichkeitsmasse Fur endliche Masse auf der Borelschen s Algebra eines metrischen Raumes folgt aus der Konvergenz bezuglich des Totalvariationsabstandes die schwache Konvergenz Der Totalvariationsabstand ist fur Wahrscheinlichkeitsmasse mit Dichten aquivalent zum Hellingerabstand Literatur BearbeitenLudger Ruschendorf Mathematische Statistik Springer Verlag Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 41996 6 doi 10 1007 978 3 642 41997 3 Jurgen Elstrodt Mass und Integrationstheorie 6 korrigierte Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2009 ISBN 978 3 540 89727 9 doi 10 1007 978 3 540 89728 6 Achim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 36017 6 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Totalvariationsnorm amp oldid 192584468