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Hellingerabstand Der auch Hellingermetrik genannt ist eine Metrik für Wahrscheinlichkeitsmaße die sich durch Wahrscheinl

Hellingerabstand

Der Hellingerabstand, auch Hellingermetrik genannt, ist eine Metrik für Wahrscheinlichkeitsmaße, die sich durch Wahrscheinlichkeitsdichten darstellen. Er steht im engen Zusammenhang mit dem Totalvariationsabstand und erlaubt beispielsweise, aufgrund des Abstandes zweier Wahrscheinlichkeitsmaße Rückschlüsse zu ziehen, ob diese singulär zueinander sind.

Er wurde 1909 von Ernst Hellinger im Rahmen der Funktionalanalysis eingeführt.

Definition Bearbeiten

Gegeben seien zwei Wahrscheinlichkeitsmaße und auf dem Ereignisraum , die beide absolut stetig bezüglich eines σ-endlichen Maßes sind und somit die Dichtefunktionen und bezüglich des Maßes haben. Der Hellingerabstand ist dann definiert als

Eigenschaften Bearbeiten

  • Es ist stets .
  • Es ist genau dann, wenn , also wenn die Wahrscheinlichkeitsmaße singulär zueinander sind.
  • Es ist genau dann, wenn .
  • Für Produkte von Wahrscheinlichkeitsmaßen gilt
Daraus folgt dann für Produktmaße
  • Bezeichnet die Totalvariationsnorm, so gilt
  • Totalvariationsnorm und Hellingerabstand sind äquivalent zueinander, sie erzeugen also dieselbe Topologie.

Literatur Bearbeiten

  • Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Hellinger, Neue Begründung der Theorie quadratischer Formen von unendlichvielen Veränderlichen, Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 136, 1909, S. 210–271
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Veröffentlichungsdatum:
Der Hellingerabstand auch Hellingermetrik genannt ist eine Metrik fur Wahrscheinlichkeitsmasse die sich durch Wahrscheinlichkeitsdichten darstellen Er steht im engen Zusammenhang mit dem Totalvariationsabstand und erlaubt beispielsweise aufgrund des Abstandes zweier Wahrscheinlichkeitsmasse Ruckschlusse zu ziehen ob diese singular zueinander sind Er wurde 1909 von Ernst Hellinger im Rahmen der Funktionalanalysis eingefuhrt 1 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Literatur 4 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenGegeben seien zwei Wahrscheinlichkeitsmasse P 1 displaystyle P 1 nbsp und P 2 displaystyle P 2 nbsp auf dem Ereignisraum X A displaystyle X mathcal A nbsp die beide absolut stetig bezuglich eines s endlichen Masses m displaystyle mu nbsp sind und somit die Dichtefunktionen f 1 displaystyle f 1 nbsp und f 2 displaystyle f 2 nbsp bezuglich des Masses m displaystyle mu nbsp haben Der Hellingerabstand ist dann definiert als H P 1 P 2 1 2 X f 1 f 2 2 d m 1 2 displaystyle H P 1 P 2 left frac 1 2 int X sqrt f 1 sqrt f 2 2 mathrm d mu right tfrac 1 2 nbsp Eigenschaften BearbeitenEs ist stets H P 1 P 2 0 1 displaystyle H P 1 P 2 in 0 1 nbsp Es ist H P 1 P 2 1 displaystyle H P 1 P 2 1 nbsp genau dann wenn P 1 P 2 displaystyle P 1 perp P 2 nbsp also wenn die Wahrscheinlichkeitsmasse singular zueinander sind Es ist H P 1 P 2 0 displaystyle H P 1 P 2 0 nbsp genau dann wenn P 1 P 2 displaystyle P 1 P 2 nbsp Fur Produkte von Wahrscheinlichkeitsmassen gilt1 H 2 i 1 n P i i 1 n Q i i 1 n 1 H 2 P i Q i displaystyle 1 H 2 left bigotimes i 1 n P i bigotimes i 1 n Q i right prod i 1 n 1 H 2 P i Q i nbsp dd Daraus folgt dann fur Produktmasse1 H 2 P n Q n 1 H 2 P Q n displaystyle 1 H 2 P otimes n Q otimes n 1 H 2 P Q n nbsp dd Also sind Produktmasse asymptotisch immer singular oder stimmen uberein Bezeichnet T V displaystyle Vert cdot Vert TV nbsp die Totalvariationsnorm so giltH 2 P 1 P 2 1 2 P 1 P 2 T V 2 H P 1 P 2 displaystyle H 2 P 1 P 2 leq tfrac 1 2 Vert P 1 P 2 Vert TV leq sqrt 2 H P 1 P 2 nbsp dd Totalvariationsnorm und Hellingerabstand sind aquivalent zueinander sie erzeugen also dieselbe Topologie Literatur BearbeitenLudger Ruschendorf Mathematische Statistik Springer Verlag Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 41996 6 doi 10 1007 978 3 642 41997 3 Einzelnachweise Bearbeiten Hellinger Neue Begrundung der Theorie quadratischer Formen von unendlichvielen Veranderlichen Journal fur die reine und angewandte Mathematik Band 136 1909 S 210 271 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hellingerabstand amp oldid 239412514