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Portmanteau Theorem Das auch Portmanteau Satz 1 genannt alternative Schreibweise auch Portemanteau Theorem bzw Portemant

Portmanteau-Theorem

Das Portmanteau-Theorem, auch Portmanteau-Satz genannt (alternative Schreibweise auch Portemanteau-Theorem bzw. Portemanteau-Satz) ist ein Satz aus den mathematischen Teilgebieten der Stochastik und der Maßtheorie. Es listet äquivalente Bedingungen für die schwache Konvergenz von Maßen und ihrem Spezialfall, der Konvergenz in Verteilung von Zufallsvariablen, auf. Ein ganzes Bündel von Aussagen wird durch diesen Satz „auf einen Kleiderbügel (portemanteau) gehängt“. Diese Bedingungen sind in manchen Situationen einfacher nachzurechnen als die Definition der schwachen Konvergenz. Der Satz geht zurück auf eine Arbeit von Pawel Sergejewitsch Alexandrow aus dem Jahr 1940, wird aber in unterschiedlichsten Varianten unterschiedlicher Notation und Allgemeinheit formuliert und teils noch um eigenständige mathematische Sätze ergänzt.

Formulierungen Bearbeiten

Das Portmanteau-Theorem besteht im Wesentlichen aus drei verschiedenen Typen von Aussagen:

  1. Das Verhalten der Folgen von (Wahrscheinlichkeits)maßen auf bestimmten Mengen
  2. Das Verhalten bei Erwartungswertbildung/Integration gewisser Funktionenklassen
  3. Selbstständige mathematische Sätze, die in die Aufzählung mit eingereiht werden.

Diese werden je nach Autor

formuliert.

Dementsprechend sind viele unterschiedliche Formulierungen in der Literatur zu finden. Dieser Artikel enthält einerseits eine Formulierung für die Konvergenz in Verteilung reellwertiger Zufallsvariablen, welche die für die Stochastik wichtigsten Aussagen enthält. Die zweite Formulierung ist eine allgemeine, maßtheoretische. Sie kann durch entsprechende Einschränkungen auf Spezialfälle angepasst werden.

Abkürzungen und Vorbemerkungen Bearbeiten

Wichtig für die Formulierung des Theorems sind die sogenannten -randlosen Mengen, auch -Stetigkeitsmengen genannt. Ist ein Borelmaß auf einem Hausdorff-Raum und der Borelschen σ-Algebra , so heißt eine Menge eine -randlose Menge, wenn ihr Rand eine -Nullmenge ist. Es gilt dann also

wobei den Abschluss und das Innere der Menge bezeichnet.

Des Weiteren sei

Formulierung für Verteilungskonvergenz reeller Zufallsvariablen Bearbeiten

Seien reellwertige Zufallsvariablen. Dann sind äquivalent:

  1. Die konvergieren in Verteilung gegen
  2. Die Verteilungsfunktionen konvergieren an jeder Stetigkeitsstelle von punktweise gegen (Satz von Helly-Bray).
  3. Die charakteristischen Funktionen konvergieren punktweise gegen (Stetigkeitssatz von Lévy)
  4. Es gilt für alle :
  5. Es ist für alle -randlosen Mengen.
  6. Für alle offenen Mengen gilt
  7. Für alle abgeschlossenen Mengen gilt

Maßtheoretische Formulierung Bearbeiten

Gegeben sei ein metrischer Raum sowie die dazugehörige Borelsche σ-Algebra . Für endliche Maße auf dem Messraum sind die folgenden Aussagen äquivalent:

  • Die konvergieren schwach gegen
  • Für alle gilt
  • Für alle gilt
  • Für alle messbaren mit gilt
  • Für jede -randlose Menge gilt
  • Es ist und für jede offene Menge ist
  • Es ist und für jede abgeschlossene Menge ist

Ist zusätzlich lokalkompakt und polnisch, so lässt sich die Liste um die folgenden beiden Aussagen erweitern:

  • Die konvergieren vage gegen und
  • Die konvergieren vage gegen und

Für endliche Maße auf gilt außerdem zusätzlich:

Weitere Formulierungen Bearbeiten

Es existieren noch weitere äquivalente Formulierungen für die schwache Konvergenz. Teils finden sich noch weitere trennende Familien (differenzierbare Funktionen, Einschränkung der Eigenschaften durch Gültigkeit mit Ausnahme einer Nullmenge etc.). Nicht alle sind hier mit aufgezählt.

Des Weiteren existieren noch äquivalente Formulierungen der schwachen Konvergenz, die meist nicht in das Theorem mit aufgenommen werden. Dazu zählt beispielsweise die Metrisierung der entsprechenden Topologie mittels der Prochorow-Metrik oder Straffheitskriterien für die Folge von Wahrscheinlichkeitsmaßen.

Quellen Bearbeiten

  1. Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2009, S. 290.
  2. Bemerkung zum Namen in Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie, 4. Auflage, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 2020, S. 279
  3. R. M. Dudley: Real analysis and probability. Cambridge University Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-00754-2, S. 433.

Literatur Bearbeiten

  • Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.
  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
  • Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, doi:10.1007/978-3-642-45387-8.
  • Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, doi:10.1007/978-3-642-21026-6.
  • Patrick Billingsley: Convergence of probability measures. Wiley, New York 1999, ISBN 0-471-19745-9.
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Veröffentlichungsdatum:
Das Portmanteau Theorem auch Portmanteau Satz 1 genannt alternative Schreibweise auch Portemanteau Theorem bzw Portemanteau Satz ist ein Satz aus den mathematischen Teilgebieten der Stochastik und der Masstheorie Es listet aquivalente Bedingungen fur die schwache Konvergenz von Massen und ihrem Spezialfall der Konvergenz in Verteilung von Zufallsvariablen auf Ein ganzes Bundel von Aussagen wird durch diesen Satz auf einen Kleiderbugel portemanteau gehangt 2 Diese Bedingungen sind in manchen Situationen einfacher nachzurechnen als die Definition der schwachen Konvergenz Der Satz geht zuruck auf eine Arbeit von Pawel Sergejewitsch Alexandrow aus dem Jahr 1940 3 wird aber in unterschiedlichsten Varianten unterschiedlicher Notation und Allgemeinheit formuliert und teils noch um eigenstandige mathematische Satze erganzt Inhaltsverzeichnis 1 Formulierungen 2 Abkurzungen und Vorbemerkungen 3 Formulierung fur Verteilungskonvergenz reeller Zufallsvariablen 4 Masstheoretische Formulierung 5 Weitere Formulierungen 6 Quellen 7 LiteraturFormulierungen BearbeitenDas Portmanteau Theorem besteht im Wesentlichen aus drei verschiedenen Typen von Aussagen Das Verhalten der Folgen von Wahrscheinlichkeits massen auf bestimmten Mengen Das Verhalten bei Erwartungswertbildung Integration gewisser Funktionenklassen Selbststandige mathematische Satze die in die Aufzahlung mit eingereiht werden Diese werden je nach Autor fur endliche Masse Wahrscheinlichkeitsmasse Sub Wahrscheinlichkeitsmasse oder als Verteilungen von Zufallsvariablen auf unterschiedlichen Grundmengen wie R displaystyle mathbb R nbsp dem R n displaystyle mathbb R n nbsp polnischen Raume oder metrischen Raumen in der dem Themengebiet entsprechenden Notation Erwartungswert vs Integral P displaystyle P nbsp vs m displaystyle mu nbsp formuliert Dementsprechend sind viele unterschiedliche Formulierungen in der Literatur zu finden Dieser Artikel enthalt einerseits eine Formulierung fur die Konvergenz in Verteilung reellwertiger Zufallsvariablen welche die fur die Stochastik wichtigsten Aussagen enthalt Die zweite Formulierung ist eine allgemeine masstheoretische Sie kann durch entsprechende Einschrankungen auf Spezialfalle angepasst werden Abkurzungen und Vorbemerkungen BearbeitenWichtig fur die Formulierung des Theorems sind die sogenannten m displaystyle mu nbsp randlosen Mengen auch m displaystyle mu nbsp Stetigkeitsmengen genannt Ist m displaystyle mu nbsp ein Borelmass auf einem Hausdorff Raum und der Borelschen s Algebra B displaystyle mathcal B nbsp so heisst eine Menge B displaystyle B nbsp eine m displaystyle mu nbsp randlose Menge wenn ihr Rand eine m displaystyle mu nbsp Nullmenge ist Es gilt dann also m B m B B 0 displaystyle mu partial B mu overline B setminus B circ 0 nbsp wobei B displaystyle overline B nbsp den Abschluss und B displaystyle B circ nbsp das Innere der Menge B displaystyle B nbsp bezeichnet Des Weiteren sei C b g E displaystyle C b g E nbsp der Raum der gleichmassig stetigen beschrankten Funktionen auf E displaystyle E nbsp B E displaystyle B E nbsp der Raum der beschrankten Funktionen auf E displaystyle E nbsp Lip E displaystyle operatorname Lip E nbsp der Raum der Lipschitz stetigen Funktionen auf E displaystyle E nbsp U f displaystyle U f nbsp die Menge aller Unstetigkeitsstellen der Funktion f displaystyle f nbsp Formulierung fur Verteilungskonvergenz reeller Zufallsvariablen BearbeitenSeien X X 1 X 2 displaystyle X X 1 X 2 dotsc nbsp reellwertige Zufallsvariablen Dann sind aquivalent Die X n displaystyle X n nbsp konvergieren in Verteilung gegen X displaystyle X nbsp Die Verteilungsfunktionen F X n displaystyle F X n nbsp konvergieren an jeder Stetigkeitsstelle von F X displaystyle F X nbsp punktweise gegen F X displaystyle F X nbsp Satz von Helly Bray Die charakteristischen Funktionen f X n displaystyle varphi X n nbsp konvergieren punktweise gegen f X displaystyle varphi X nbsp Stetigkeitssatz von Levy Es gilt fur alle f C b g R displaystyle f in C b g mathbb R nbsp lim n E f X n E f X displaystyle lim n to infty operatorname E f circ X n operatorname E f circ X nbsp Es ist lim n P X n C P X C displaystyle lim n to infty mathbb P X n in C mathbb P X in C nbsp fur alle P X displaystyle P X nbsp randlosen Mengen Fur alle offenen Mengen G displaystyle G nbsp gilt lim inf n P X n G P X G displaystyle liminf n to infty mathbb P X n in G geq mathbb P X in G nbsp Fur alle abgeschlossenen Mengen A displaystyle A nbsp gilt lim sup n P X n A P X A displaystyle limsup n to infty mathbb P X n in A leq mathbb P X in A nbsp Masstheoretische Formulierung BearbeitenGegeben sei ein metrischer Raum E d displaystyle E d nbsp sowie die dazugehorige Borelsche s Algebra B displaystyle mathcal B nbsp Fur endliche Masse m m n displaystyle mu mu n nbsp auf dem Messraum E B displaystyle E mathcal B nbsp sind die folgenden Aussagen aquivalent Die m n displaystyle mu n nbsp konvergieren schwach gegen m displaystyle mu nbsp Fur alle f C b g E displaystyle f in C b g E nbsp gilt lim n E f d m n E f d m displaystyle lim n to infty int E f mathrm d mu n int E f mathrm d mu nbsp Fur alle f B E Lip E displaystyle f in B E cap operatorname Lip E nbsp gilt lim n E f d m n E f d m displaystyle lim n to infty int E f mathrm d mu n int E f mathrm d mu nbsp Fur alle messbarenf B E displaystyle f in B E nbsp mit m U f 0 displaystyle mu U f 0 nbsp gilt lim n E f d m n E f d m displaystyle lim n to infty int E f mathrm d mu n int E f mathrm d mu nbsp Fur jede m displaystyle mu nbsp randlose Menge R B displaystyle R in mathcal B nbsp gilt lim n m n R m R displaystyle lim n to infty mu n R mu R nbsp Es ist lim n m n E m E displaystyle lim n to infty mu n E mu E nbsp und fur jede offene Menge U displaystyle U nbsp ist lim inf n m n U m U displaystyle liminf n to infty mu n U geq mu U nbsp Es ist lim n m n E m E displaystyle lim n to infty mu n E mu E nbsp und fur jede abgeschlossene Menge A displaystyle A nbsp ist lim sup n m n A m A displaystyle limsup n to infty mu n A leq mu A nbsp Ist E d displaystyle E d nbsp zusatzlich lokalkompakt und polnisch so lasst sich die Liste um die folgenden beiden Aussagen erweitern Die m n displaystyle mu n nbsp konvergieren vage gegen m displaystyle mu nbsp und lim n m n E m E displaystyle lim n to infty mu n E mu E nbsp Die m n displaystyle mu n nbsp konvergieren vage gegen m displaystyle mu nbsp und lim sup n m n E m E displaystyle limsup n to infty mu n E leq mu E nbsp Fur endliche Masse auf R displaystyle mathbb R nbsp gilt ausserdem zusatzlich Eine Folge von endlichen Massen auf R displaystyle mathbb R nbsp konvergiert genau dann schwach gegen ein Mass m displaystyle mu nbsp wenn eine reelle Folge c n n N displaystyle c n n in mathbb N nbsp existiert so dass die Folge von Verteilungsfunktionen im Sinne der Masstheorie F n c n n N displaystyle F n c n n in mathbb N nbsp schwach gegen die Verteilungsfunktion von m displaystyle mu nbsp konvergiert Satz von Helly Bray Weitere Formulierungen BearbeitenEs existieren noch weitere aquivalente Formulierungen fur die schwache Konvergenz Teils finden sich noch weitere trennende Familien differenzierbare Funktionen Einschrankung der Eigenschaften durch Gultigkeit mit Ausnahme einer Nullmenge etc Nicht alle sind hier mit aufgezahlt Des Weiteren existieren noch aquivalente Formulierungen der schwachen Konvergenz die meist nicht in das Theorem mit aufgenommen werden Dazu zahlt beispielsweise die Metrisierung der entsprechenden Topologie mittels der Prochorow Metrik oder Straffheitskriterien fur die Folge von Wahrscheinlichkeitsmassen Quellen Bearbeiten Kusolitsch Mass und Wahrscheinlichkeitstheorie 2009 S 290 Bemerkung zum Namen in Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 4 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2020 S 279 R M Dudley Real analysis and probability Cambridge University Press Cambridge 2002 ISBN 0 521 00754 2 S 433 Literatur BearbeitenJurgen Elstrodt Mass und Integrationstheorie 6 korrigierte Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2009 ISBN 978 3 540 89727 9 doi 10 1007 978 3 540 89728 6 Achim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 36017 6 doi 10 1007 978 3 642 36018 3 Norbert Kusolitsch Mass und Wahrscheinlichkeitstheorie Eine Einfuhrung 2 uberarbeitete und erweiterte Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 45386 1 doi 10 1007 978 3 642 45387 8 Klaus D Schmidt Mass und Wahrscheinlichkeit 2 durchgesehene Auflage Springer Verlag Heidelberg Dordrecht London New York 2011 ISBN 978 3 642 21025 9 doi 10 1007 978 3 642 21026 6 Patrick Billingsley Convergence of probability measures Wiley New York 1999 ISBN 0 471 19745 9 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Portmanteau Theorem amp oldid 239123857