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Satz von Hörmander Der ist ein Theorem aus der Mathematik Er ist ein Ergebnis aus der stochastischen Analysis Malliavin

Satz von Hörmander

Der Satz von Hörmander ist ein Theorem aus der Mathematik. Er ist ein Ergebnis aus der stochastischen Analysis (Malliavin-Kalkül) und der Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Der Satz beweist die Existenz einer stetigen Dichte der Lösung einer stochastischen Differentialgleichung. Er wurde ursprünglich von Lars Hörmander für partielle Differentialgleichungen bewiesen. Im Artikel wird die probabilistische Variante behandelt.

Satz von Hörmander Bearbeiten

Seien Vektorfelder, für die die Hörmander-Bedingung gilt, und sei die Lösung der folgenden stochastischen Differentialgleichung

wobei das Stratonowitsch-Integral bezeichnet und die -Brownsche Bewegung. Dann hat für die Zufallsvariable eine absolut-stetige Verteilung mit Dichte in .

Hörmander-Bedingung Bearbeiten

Mit bezeichne man Lie-Klammern mit Fréchet-Ableitungen

Seien beschränkte Vektorfelder in mit beschränkten Ableitungen jeder Ordnung. Definiere und rekursiv

Setze außerdem

Dann erfüllt die Familie die Hörmander-Bedingung, wenn für jedes die Gleichheit

gilt.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Denis R. Bell: The Malliavin calculus. Dover Publications Inc., Mineola, New York 2006, ISBN 0-486-44994-7, S. 73.
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Der Satz von Hormander ist ein Theorem aus der Mathematik Er ist ein Ergebnis aus der stochastischen Analysis Malliavin Kalkul und der Theorie der partiellen Differentialgleichungen Der Satz beweist die Existenz einer stetigen Dichte der Losung einer stochastischen Differentialgleichung Er wurde ursprunglich von Lars Hormander fur partielle Differentialgleichungen bewiesen Im Artikel wird die probabilistische Variante behandelt 1 Satz von Hormander BearbeitenSeien V 0 V 1 V n displaystyle V 0 V 1 dots V n nbsp Vektorfelder fur die die Hormander Bedingung gilt und 3 displaystyle xi nbsp sei die Losung der folgenden stochastischen Differentialgleichung 3 t x 0 t V 0 3 s d s i 1 n 0 t V i 3 s d B i s displaystyle xi t x int 0 t V 0 xi s mathrm d s sum limits i 1 n int 0 t V i xi s circ mathrm d B i s nbsp wobei d displaystyle circ mathrm d nbsp das Stratonowitsch Integral bezeichnet und B B 1 B n displaystyle B B 1 dots B n nbsp die R n displaystyle mathbb R n nbsp Brownsche Bewegung Dann hat fur t 0 1 displaystyle t in 0 1 nbsp die Zufallsvariable 3 t displaystyle xi t nbsp eine absolut stetige Verteilung mit Dichte in C displaystyle C infty nbsp Hormander Bedingung BearbeitenMit A B displaystyle A B nbsp bezeichne man Lie Klammern mit Frechet Ableitungen D A x displaystyle mathrm D A x nbsp A B x D A x B x A x D B x displaystyle A B x mathrm D A x B x A x mathrm D B x nbsp Seien V 0 V 1 V n displaystyle V 0 V 1 dots V n nbsp beschrankte Vektorfelder in C R d displaystyle C infty mathbb R d nbsp mit beschrankten Ableitungen jeder Ordnung Definiere U 0 V 0 V 1 V n displaystyle U 0 V 0 V 1 dots V n nbsp und rekursiv U n 1 U n V V i V U n i 0 1 n displaystyle U n 1 U n cup V V i V in U n mid i in 0 1 dots n nbsp Setze ausserdem U U n displaystyle mathcal U bigcup U n nbsp und U x span U x U U displaystyle mathcal U x operatorname span U x mid U in mathcal U nbsp Dann erfullt die Familie V 0 V 1 V n displaystyle V 0 V 1 dots V n nbsp die Hormander Bedingung wenn fur jedes x R d displaystyle x in mathbb R d nbsp die Gleichheit dim U x d displaystyle dim mathcal U x d nbsp gilt Einzelnachweise Bearbeiten Denis R Bell The Malliavin calculus Dover Publications Inc Mineola New York 2006 ISBN 0 486 44994 7 S 73 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Hormander amp oldid 235699646