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Volumenviskosität Die der Zähigkeitskoeffizient oder die zweite Viskosität Formelzeichen ζ μ μ b η V ν 0 displaystyle ze

Volumenviskosität

Die Volumenviskosität, der Zähigkeitskoeffizient oder die zweite Viskosität (Formelzeichen oder , Dimension M·L−1·T−1, Einheit Pa·s) bezeichnen die Viskosität von Fluiden bei Volumenänderungen. Bei einer endlichen Volumenänderung ist in einem Fluid mit gleichförmiger Temperaturverteilung die Volumenviskosität verantwortlich für die Energiedissipation.

In der Praxis kann bei einatomigen Gasen und nicht zu hohen Drücken von der Stokes’schen Hypothese ausgegangen werden, die fordert. Auch bei angenommener Inkompressibilität kann die Volumenviskosität vernachlässigt werden. Auch eine von Null verschiedene Volumenviskosität führt unter Normalbedingungen nicht zu sehr auffälligen Effekten.

Einen nennenswerten Einfluss hat die Volumenviskosität jedoch in Flüssigkeiten mit Gasblasen, in Stoßwellen und bei der Schallausbreitung. Einige Fluide, insbesondere Kohlenstoffdioxid, besitzen Volumenviskositäten, die über tausend Mal größer sind als ihre Scherviskositäten, was in solchen Gasen einen Einfluss auf die hydrodynamische Grenzschicht bei Überschallströmungen hat. Die Volumenviskosität verdünnter, mehratomiger Gase spielt beim Eintritt in planetarische Atmosphären eine Rolle.

Definition Bearbeiten

Bei der reinen Kompression oder Expansion von Gasen tritt die Volumenviskosität auf als Ursache einer in allen Richtungen wirkenden Normalspannung

die neben dem mechanischen Druck wirkt:

Dabei ist

Die Divergenz der Geschwindigkeit ist gemäß ein Maß für die Volumenänderungsgeschwindigkeit eines (infinitesimal) kleinen Volumenelements . Das begründet wegen der gleichbleibenden Masse des Volumenelements die Massenbilanz

die in obiger Definitionsgleichung eingesetzt wurde.

In einem newtonschen Fluid gilt der Zusammenhang

mit

Bei Inkompressibilität verschwindet die Divergenz der Geschwindigkeit, sodass in dem Fall keine Volumenviskosität auftreten kann.

Newtonsche Fluide Bearbeiten

Die Bewegung eines linear viskosen, isotropen newtonschen Fluids gehorcht den Navier-Stokes-Gleichungen

Hier ist

Die Navier-Stokes-Gleichungen lassen sich herleiten aus folgendem Materialmodell der klassischen Materialtheorie:

Hier bezeichnet

  • die Spur; die Spur des Verzerrungsgeschwindigkeits-Tensors ist die Divergenz der Geschwindigkeit:

Aus obigen Modellgleichungen lässt sich ableiten, dass .

Die in der Definition auftretende Normalspannung ist Bestandteil des mechanischen Drucks , der das negative Drittel der Spur des Spannungstensors ist:

Hier wurde benutzt, dass die Spur des Einheitstensors gleich der Raumdimension ist und dass der Deviator per definitionem spurfrei ist.

Die fluiddynamische Grenzschicht ist bedeutsam in Strömungen viskoser Fluide. In der sie behandelnden Grenzschichttheorie werden Normalspannungen gegenüber den Scherspannungen vernachlässigt, weswegen die Volumenviskosität in der Grenzschicht nicht gebraucht wird. Neuere Untersuchungen zeigen jedoch einen nennenswerten Einfluss einer hohen Volumenviskosität auf die Grenzschicht bei Überschallströmungen.

Reine Ausdehnung Bearbeiten

Bei einer reinen Ausdehnung weg vom Ursprung habe das Geschwindigkeitsfeld die Form mit einem Proportionalitätsfaktor . Der Geschwindigkeitsgradient ist dann wegen des symmetrischen Gradienten und

gleich dem Verzerrungsgeschwindigkeitstensor.

Mit berechnet sich der Spannungstensor zu

Die spezifische Spannungsleistung an den Verzerrungsgeschwindigkeiten ist definiert als

Der Doppelpunkt „:“ bildet dabei das Frobenius-Skalarprodukt zweier Tensoren und mittels

worin das hochgestellte die Transposition bedeutet.

Bei reiner Ausdehnung berechnet sich die spezifische Spannungsleistung daher zu:

Der erste, zum Druck proportionale Anteil der Leistung ist reversibel, der zweite ist irreversibel und wird dissipiert.

Stokessche Hypothese Bearbeiten

Die Stokes’sche Hypothese besagt:

„in the case of a uniform motion of dilatation the pressure at any instance depends only on the actual density and temperature at that instant, and not on the rate at which the former changes with time (englisch im Fall einer gleichförmigen Ausdehnungsbewegung hängt der Druck zu jedem Zeitpunkt nur von der aktuellen Dichte und Temperatur zu diesem Zeitpunkt ab und nicht von der Rate, mit der erstere sich mit der Zeit ändert.)“

– George Gabriel Stokes (1845)

Diese Hypothese wurde bereits 1843, also zwei Jahre vor Stokes, in ähnlicher Weise von Barré de Saint-Venant formuliert.

Aus dem bei newtonschen Fluiden gültigen Zusammenhang

und obiger Hypothese folgt unmittelbar

Mit den oben zusammen getragenen Tatsachen ergeben sich aus der Hypothese die folgenden gleichwertigen Aussagen über newtonsche Fluide:

  1. Im Fall einer gleichförmigen Ausdehnungsbewegung hängt der Druck zu jedem Zeitpunkt nur von der aktuellen Dichte und Temperatur zu diesem Zeitpunkt ab.
  2. Eine reine Volumenänderung ist reversibel.
  3. Der thermodynamische Druck und der mechanische Druck stimmen überein.

Die Messung der Volumenviskosität ist so schwierig, dass es Anfang des 21. Jahrhunderts noch nicht gelungen ist, die Gültigkeit dieses Postulats bei einatomigen Gasen experimentell zu prüfen.

Folgerungen aus der kinetischen Gastheorie Bearbeiten

Die Chapman-Enskog-Entwicklung der Boltzmann-Gleichungen der kinetischen Gastheorie führen auf die Navier-Stokes-Gleichungen mit verschwindender Volumenviskosität, also . Diese Entwicklung basiert auf einer Verteilungsfunktion, die nur von der Geschwindigkeit der Teilchen abhängt, also deren Rotationsdrehimpuls vernachlässigt. Dies ist in einatomigen Gasen bei niedrigem bis mittlerem Druck eine probate Annahme.

Bei mehratomigen Gasen dagegen darf der Rotationsdrehimpuls nicht vernachlässigt werden, denn bei ihnen kann Energie zwischen der Translationsbewegung und den molekularen Bewegungen, d. h. den Rotations- und Vibrationsbewegungen, ausgetauscht werden, was auf eine positive Volumenviskosität führt.

Zur Charakterisierung des Zustands mehratomiger Gase im Nicht-Gleichgewicht ist daher eine verallgemeinerte Verteilungsfunktion (Dichteoperator) zu benutzen, die nicht nur von der Geschwindigkeit der Teilchen abhängt, sondern auch von ihrem Rotationsdrehimpuls. Dementsprechend ist auch die Boltzmann-Gleichung durch eine verallgemeinerte kinetische Gleichung (die Waldmann-Snider-Gleichung) zu ersetzen. Aus ihr kann eine Temperaturrelaxationsgleichung hergeleitet werden, die auf folgenden Ausdruck für die Volumenviskosität führt:

Darin ist

Weil die Stoßfrequenz proportional zur Teilchendichte ist, ist die Volumenviskosität unabhängig von der Teilchendichte und damit vom Druck des Gases.

Für einatomige Gase ist wegen wieder .

Bei gegebener Kapazität ist die Volumenviskosität umso größer, je kleiner die Stoßfrequenz ist, d. h. je seltener bei Stößen ein Austausch zwischen der Translations- und intramolekularen Energie stattfinden kann. Deshalb ist das Verhältnis bei Wasserstoff größer als für Stickstoff.

Messung Bearbeiten

Für die Messung der Volumenviskosität eines Fluids eignen sich akustische Spektrometer, da nach der klassischen Theorie von Gustav Robert Kirchhoff für ebene Schallwellen in Medien mit nicht zu großer Viskosität der Absorptionskoeffizient der Amplitude pro Längeneinheit von der Volumenviskosität abhängt:

mit

Den Hauptbeitrag zur Absorption stellt der erste Summand bei Flüssigkeiten wegen stets, bei Gasen in der Regel.

Mit weiteren Methoden konnte die Volumenviskosität einer Vielzahl von Fluiden bestimmt werden:

Einzelnachweise Bearbeiten

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  6. Fritz Kurt Kneubühl: Repetitorium der Physik. Vieweg+Teubner Verlag, Stuttgart 1994, ISBN 978-3-322-84886-4 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
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    oder
    Mohamed Gad-el-Hak: Questions in Fluid Mechanics. Stokes’ Hypothesis for a newtonian, isotropic fluid. In: American Society of Mechanical Engineers (Hrsg.): Journal of Fluids Engineering. Band 117, Nr. 1, 1. März 1995, S. 3–5 (englisch, fluidsengineering.asmedigitalcollection.asme.org [abgerufen am 5. April 2017]).
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Die Volumenviskositat der Zahigkeitskoeffizient oder die zweite Viskositat Formelzeichen z m m b h V n 0 displaystyle zeta mu mu mathrm b eta mathrm V nu 0 oder 3 displaystyle xi Dimension M L 1 T 1 Einheit Pa s bezeichnen die Viskositat von Fluiden bei Volumenanderungen Bei einer endlichen Volumenanderung ist in einem Fluid mit gleichformiger Temperaturverteilung die Volumenviskositat verantwortlich fur die Energiedissipation 1 In der Praxis kann bei einatomigen Gasen und nicht zu hohen Drucken von der Stokes schen Hypothese ausgegangen werden die z 0 displaystyle zeta 0 fordert Auch bei angenommener Inkompressibilitat kann die Volumenviskositat vernachlassigt werden Auch eine von Null verschiedene Volumenviskositat fuhrt unter Normalbedingungen nicht zu sehr auffalligen Effekten 2 Einen nennenswerten Einfluss hat die Volumenviskositat jedoch in Flussigkeiten mit Gasblasen in Stosswellen und bei der Schallausbreitung Einige Fluide insbesondere Kohlenstoffdioxid besitzen Volumenviskositaten die uber tausend Mal grosser sind als ihre Scherviskositaten 3 was in solchen Gasen einen Einfluss auf die hydrodynamische Grenzschicht bei Uberschallstromungen hat 4 Die Volumenviskositat verdunnter mehratomiger Gase spielt beim Eintritt in planetarische Atmospharen eine Rolle 5 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Newtonsche Fluide 3 Reine Ausdehnung 4 Stokessche Hypothese 5 Folgerungen aus der kinetischen Gastheorie 6 Messung 7 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenBei der reinen Kompression oder Expansion von Gasen tritt die Volumenviskositat auf als Ursache einer in allen Richtungen wirkenden Normalspannung s V z r r z v z div v displaystyle sigma V zeta frac dot rho rho zeta nabla cdot vec v zeta operatorname div vec v nbsp die neben dem mechanischen Druck p displaystyle bar p nbsp wirkt 6 p r T p s V displaystyle p rho T bar p sigma V nbsp Dabei ist z displaystyle zeta nbsp die Volumenviskositat r displaystyle rho nbsp die Dichte der Uberpunkt die substantielle 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Zusammenhang z 2 3 m l displaystyle zeta frac 2 3 mu lambda nbsp mit der Scherviskositat m displaystyle mu nbsp der ersten Lame Konstante l displaystyle lambda nbsp Bei Inkompressibilitat verschwindet die Divergenz der Geschwindigkeit sodass in dem Fall keine Volumenviskositat auftreten kann Newtonsche Fluide BearbeitenDie Bewegung eines linear viskosen isotropen newtonschen Fluids gehorcht den Navier Stokes Gleichungen r v p r T m D v z 1 3 m v f displaystyle rho dot vec v nabla p rho T mu Delta vec v left zeta frac 1 3 mu right nabla nabla cdot vec v vec f nbsp Hier ist D displaystyle Delta nbsp der Laplace Operator f displaystyle vec f nbsp Vektor steht fur die Dichte einer Volumenkraft beispielsweise der Gravitation oder der Corioliskraft bezogen auf das Einheitsvolumen Die Navier Stokes Gleichungen lassen sich herleiten aus folgendem Materialmodell der klassischen Materialtheorie s p r T 1 2 m d l Sp d 1 p r T 1 2 m d D z Sp d 1 displaystyle begin alignedat 2 boldsymbol sigma amp p rho T mathbf 1 2 mu mathbf d amp amp lambda operatorname Sp mathbf d mathbf 1 amp p rho T mathbf 1 2 mu mathbf d mathrm D amp amp zeta operatorname Sp mathbf d mathbf 1 end alignedat nbsp Hier bezeichnet s displaystyle boldsymbol sigma nbsp den Spannungstensor 1 displaystyle mathbf 1 nbsp den Einheitstensor d displaystyle mathbf d nbsp den symmetrischen Anteil des raumlichen Geschwindigkeitsgradienten also den Tensor der Verzerrungsgeschwindigkeitend 1 2 2 v x x v x y v y x v x z v z x 2 v y y v y z v z y sym 2 v z z displaystyle mathbf d frac 1 2 begin pmatrix 2 frac partial v x partial x amp frac partial v x partial y frac partial v y partial x amp frac partial v x partial z frac partial v z partial x amp 2 frac partial v y partial y amp frac partial v y partial z frac partial v z partial y text sym amp amp 2 frac partial v z partial z end pmatrix nbsp In diesem Tensor sind v x y z displaystyle v x y z nbsp die Geschwindigkeitskomponenten der Fluidelemente in x displaystyle x nbsp y displaystyle y nbsp bzw z displaystyle z nbsp Richtung eines kartesischen Koordinatensystems Sp displaystyle operatorname Sp nbsp die Spur die Spur des Verzerrungsgeschwindigkeits Tensors ist die Divergenz der Geschwindigkeit Sp d v x x v y y v z z div v displaystyle operatorname Sp mathbf d tfrac partial v x partial x tfrac partial v y partial y tfrac partial v z partial z operatorname div vec v nbsp das hochgestellte D displaystyle mathrm D nbsp den Deviator Aus obigen Modellgleichungen lasst sich ableiten dass z l 2 3 m displaystyle zeta lambda tfrac 2 3 mu nbsp Die in der Definition auftretende Normalspannung s V z r r displaystyle sigma V zeta tfrac dot rho rho nbsp ist Bestandteil des mechanischen Drucks p displaystyle bar p nbsp der das negative Drittel der Spur des Spannungstensors ist p 1 3 Sp s 1 3 3 p r T 3 z Sp d p r T z div v p r T z r r displaystyle begin aligned bar p amp frac 1 3 operatorname Sp boldsymbol sigma amp frac 1 3 left 3p rho T 3 zeta operatorname Sp mathbf d right amp qquad quad p rho T zeta operatorname div vec v amp qquad quad p rho T zeta frac dot rho rho end aligned nbsp Hier wurde benutzt dass die Spur des Einheitstensors gleich der Raumdimension ist und dass der Deviator per definitionem spurfrei ist Die fluiddynamische Grenzschicht ist bedeutsam in Stromungen viskoser Fluide In der sie behandelnden Grenzschichttheorie werden Normalspannungen gegenuber den Scherspannungen vernachlassigt weswegen die Volumenviskositat in der Grenzschicht nicht gebraucht wird 8 Neuere Untersuchungen zeigen jedoch einen nennenswerten Einfluss einer hohen Volumenviskositat auf die Grenzschicht bei Uberschallstromungen 4 Reine Ausdehnung BearbeitenBei einer reinen Ausdehnung weg vom Ursprung habe das Geschwindigkeitsfeld die Form v x c x displaystyle vec v vec x c vec x nbsp mit einem Proportionalitatsfaktor c displaystyle c nbsp Der Geschwindigkeitsgradient ist dann wegen des symmetrischen Gradienten grad x 1 displaystyle operatorname grad vec x mathbf 1 nbsp und grad v c grad x c 1 d displaystyle operatorname grad vec v c operatorname grad vec x c mathbf 1 mathbf d nbsp gleich dem Verzerrungsgeschwindigkeitstensor Mit Sp d 3 c displaystyle operatorname Sp mathbf d 3c nbsp berechnet sich der Spannungstensor zu s p r T 1 2 m d D z Sp d 1 p r T 3 z c 1 displaystyle begin aligned boldsymbol sigma amp p rho T mathbf 1 2 mu mathbf d mathrm D zeta operatorname Sp mathbf d mathbf 1 amp p rho T qquad qquad 3 zeta c mathbf 1 end aligned nbsp Die spezifische Spannungsleistung an den Verzerrungsgeschwindigkeiten ist definiert als l i 1 r s d displaystyle l i tfrac 1 rho boldsymbol sigma mathbf d nbsp Der Doppelpunkt bildet dabei das Frobenius Skalarprodukt zweier Tensoren A displaystyle mathbf A nbsp und B displaystyle mathbf B nbsp mittels A B S p A T B displaystyle mathbf A mathbf B mathrm Sp mathbf A T cdot mathbf B nbsp worin das hochgestellte T displaystyle T nbsp die Transposition bedeutet Bei reiner Ausdehnung berechnet sich die spezifische Spannungsleistung daher zu l i 1 r p r T 3 z c 1 c 1 3 c r p 9 c 2 r z displaystyle begin aligned l i amp frac 1 rho p rho T 3 zeta c mathbf 1 c mathbf 1 amp frac 3c rho p frac 9c 2 rho zeta end aligned nbsp Der erste zum Druck proportionale Anteil der Leistung ist reversibel der zweite ist irreversibel und wird dissipiert 1 Stokessche Hypothese BearbeitenDie Stokes sche Hypothese besagt in the case of a uniform motion of dilatation the pressure at any instance depends only on the actual density and temperature at that instant and not on the rate at which the former changes with time englisch im Fall einer gleichformigen Ausdehnungsbewegung hangt der Druck zu jedem Zeitpunkt nur von der aktuellen Dichte und Temperatur zu diesem Zeitpunkt ab und nicht von der Rate mit der erstere sich mit der Zeit andert George Gabriel Stokes 1845 9 Diese Hypothese wurde bereits 1843 also zwei Jahre vor Stokes in ahnlicher Weise von Barre de Saint Venant formuliert 10 Aus dem bei newtonschen Fluiden gultigen Zusammenhang p p r T z r r displaystyle bar p p rho T zeta frac dot rho rho nbsp und obiger Hypothese folgt unmittelbar z 0 displaystyle Rightarrow zeta 0 nbsp Mit den oben zusammen getragenen Tatsachen ergeben sich aus der Hypothese die folgenden gleichwertigen Aussagen uber newtonsche Fluide Im Fall einer gleichformigen Ausdehnungsbewegung r d r d t k o n s t lt 0 displaystyle left dot rho frac mathrm d rho mathrm d t mathrm konst lt 0 right nbsp hangt der Druck zu jedem Zeitpunkt nur von der aktuellen Dichte und Temperatur zu diesem Zeitpunkt ab Eine reine Volumenanderung ist reversibel Der thermodynamische Druck und der mechanische Druck stimmen uberein Die Messung der Volumenviskositat ist so schwierig dass es Anfang des 21 Jahrhunderts noch nicht gelungen ist die Gultigkeit dieses Postulats bei einatomigen Gasen experimentell zu prufen 11 Folgerungen aus der kinetischen Gastheorie BearbeitenDie Chapman Enskog Entwicklung der Boltzmann Gleichungen der kinetischen Gastheorie fuhren auf die Navier Stokes Gleichungen mit verschwindender Volumenviskositat also z 0 displaystyle zeta 0 nbsp 12 Diese Entwicklung basiert auf einer Verteilungsfunktion die nur von der Geschwindigkeit der Teilchen abhangt also deren Rotationsdrehimpuls vernachlassigt Dies ist in einatomigen Gasen bei niedrigem bis mittlerem Druck eine probate Annahme 13 Bei mehratomigen Gasen dagegen darf der Rotationsdrehimpuls nicht vernachlassigt werden denn bei ihnen kann Energie zwischen der Translationsbewegung und den molekularen Bewegungen d h den Rotations und Vibrationsbewegungen ausgetauscht werden was auf eine positive Volumenviskositat fuhrt Zur Charakterisierung des Zustands mehratomiger Gase im Nicht Gleichgewicht ist daher eine verallgemeinerte Verteilungsfunktion Dichteoperator zu benutzen die nicht nur von der Geschwindigkeit der Teilchen abhangt sondern auch von ihrem Rotationsdrehimpuls Dementsprechend ist auch die Boltzmann Gleichung durch eine verallgemeinerte kinetische Gleichung die Waldmann Snider Gleichung zu ersetzen Aus ihr kann eine Temperaturrelaxationsgleichung hergeleitet werden die auf folgenden Ausdruck fur die Volumenviskositat fuhrt z 2 3 n k c V intra c V w T displaystyle zeta frac 2 3 frac n k c V text intra c V omega T nbsp Darin ist n displaystyle n nbsp die Teilchendichte k displaystyle k nbsp die Boltzmann Konstante c V displaystyle c V nbsp die spezifische Warmekapazitat c V intra displaystyle c V text intra nbsp die spezifische Warmekapazitat die nur aus den molekularen Bewegungen resultiert T displaystyle T nbsp die Temperatur w displaystyle omega nbsp die Stossfrequenz Weil die Stossfrequenz proportional zur Teilchendichte ist ist die Volumenviskositat unabhangig von der Teilchendichte und damit vom Druck des Gases Fur einatomige Gase ist wegen c V intra 0 displaystyle c V text intra 0 nbsp wieder z 0 displaystyle zeta 0 nbsp Bei gegebener Kapazitat c V intra displaystyle c V text intra nbsp ist die Volumenviskositat umso grosser je kleiner die Stossfrequenz w displaystyle omega nbsp ist d h je seltener bei Stossen ein Austausch zwischen der Translations und intramolekularen Energie stattfinden kann Deshalb ist das Verhaltnis z m displaystyle zeta mu nbsp bei Wasserstoff grosser als fur Stickstoff 13 Messung BearbeitenFur die Messung der Volumenviskositat eines Fluids eignen sich akustische Spektrometer 14 15 da nach der klassischen Theorie von Gustav Robert Kirchhoff fur ebene Schallwellen in Medien mit nicht zu grosser Viskositat der Absorptionskoeffizient der Amplitude pro Langeneinheit von der Volumenviskositat abhangt k 2 w 2 1 2 4 3 m z 1 c 0 3 r 1 2 l k 1 c p 1 c 0 3 r displaystyle frac k 2 omega 2 frac 1 2 left frac 4 3 mu zeta right frac 1 c 0 3 rho frac 1 2 frac lambda kappa 1 c p frac 1 c 0 3 rho nbsp mit der Schallgeschwindigkeit c 0 displaystyle c 0 nbsp fur sehr kleine Kreisfrequenzen w displaystyle omega nbsp den spezifischen Warmekapazitaten c p displaystyle c p nbsp und c v displaystyle c v nbsp bei konstantem Druck bzw Volumen k c p c v displaystyle kappa c p c v nbsp Den Hauptbeitrag zur Absorption stellt der erste Summand bei Flussigkeiten wegen k 1 displaystyle kappa approx 1 nbsp stets bei Gasen in der Regel 2 Mit weiteren Methoden konnte die Volumenviskositat einer Vielzahl von Fluiden bestimmt werden 10 Brillouinspektroskopie relaxierender Flussigkeiten 16 Messung der Dicke einer Stosswelle 17 Vermessung der Taylor Couette Stromung eines kompressiblen Mediums 18 Einzelnachweise Bearbeiten a b Hermann Schlichting Klaus Gersten Grenzschicht Theorie Springer Berlin 1997 ISBN 978 3 662 07555 5 S 69 ff eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche a b Josef Meixner Prinzipien der Thermodynamik und Statistik In S Flugge Hrsg Handbuch der Physik Band III 2 Springer 1959 ISBN 978 3 642 45912 2 S 477 ff eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche M S Cramer Numerical estimates for the bulk viscosity of ideal gases In Physics of Fluids Band 24 Juni 2012 doi 10 1063 1 4729611 englisch a b George Emanuel Effect of bulk viscosity on a hypersonic boundary layer In Physics of Fluids Band 4 1992 doi 10 1063 1 858322 englisch G Emanuel Bulk viscosity of a dilute polyatomic gas In Physics of Fluids Band 2 1990 doi 10 1063 1 857813 englisch Fritz Kurt Kneubuhl Repetitorium der Physik Vieweg Teubner Verlag Stuttgart 1994 ISBN 978 3 322 84886 4 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Franco M Capaldi Continuum Mechanics Constitutive Modeling of Structural and Biological Materials Cambridge University Press 2012 ISBN 978 1 107 01181 6 S 157 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Mohamed Gad el Hak Stokes Hypothesis for a newtonian isotropic fluid PDF 1 Marz 1995 abgerufen am 2 April 2017 englisch oder Mohamed Gad el Hak Questions in Fluid Mechanics Stokes Hypothesis for a newtonian isotropic fluid In American Society of Mechanical Engineers Hrsg Journal of Fluids Engineering Band 117 Nr 1 1 Marz 1995 S 3 5 englisch 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2006 ISBN 978 3 11 017484 7 S 45 ff eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche K U Kramm Messungen an Fluiden mit einem akustischen Spektrometer 25 September 2009 doi 10 1524 teme 70 11 530 20272 Patent DE102006003649B4 Verfahren und Einrichtung zur Qualitatsuberwachung von technischen Einkomponenten und Mehrkomponentenflussigkeiten mittels Ultraschall On Line Messungen ihrer Viskositat Dichte Kompressibilitat und Volumenviskositat Angemeldet am 26 Januar 2006 veroffentlicht am 19 Marz 2009 Anmelder Mihail Gitis Th Dorfmuller G Fytas W Mersch Brillouinspektroskopie von relaxierenden Flussigkeiten Teil I 1976 doi 10 1002 bbpc 19760800503 George Emanuel Linear dependence of the bulk viscosity on shock wave thickness In Physics of Fluids Band 24 Mai 1994 doi 10 1063 1 868102 englisch H Gonzalez G Emanuel Effect of bulk viscosity on Couette flow In Physics of Fluids Band 5 1993 doi 10 1063 1 858612 englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Volumenviskositat amp 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