Die K-Theorie von Banachalgebren ist ein Konzept aus dem mathematischen Gebiet der Funktionalanalysis. Sie liefert Invarianten für Banachalgebren, das sind in der Funktionalanalysis untersuchte Algebren, die einige bekannte Funktionenräume und Operatorenalgebren wie zum Beispiel Räume stetiger oder integrierbarer Funktionen oder Algebren stetiger linearer Operatoren auf Banachräumen anhand wesentlicher gemeinsamer Eigenschaften verallgemeinern.
Sie verallgemeinert die topologische K-Theorie, die sich mit dem Studium von Vektorbündeln auf topologischen Räumen befasst, auf allgemeine Banachalgebren, wobei die C*-Algebren eine wichtige Rolle spielen. Die topologische K-Theorie kompakter Räume kann als K-Theorie der Banachalgebren der stetigen Funktionen umformuliert und dann auf beliebige Banachalgebren übertragen werden, sogar auf das Einselement der Algebren kann man verzichten. Da die Zuordnung ein kontravarianter Funktor von der Kategorie der kompakten Hausdorffräume in die Kategorie der Banachalgebren ist und da die topologische K-Theorie ebenfalls kontravariant ist, erhalten wir insgesamt einen kovarianten Funktor von der Kategorie der Banachalgebren in die Kategorie der abelschen Gruppen.
Da hier auch nicht-kommutative Algebren auftreten können, spricht man von nicht-kommutativer Topologie. Die K-Theorie ist ein wichtiger Untersuchungsgegenstand in der Theorie der C*-Algebren. Im Folgenden sei eine -Banachalgebra, gehe aus durch Adjunktion eines Einselementes hervor.
K0 von Banachalgebren Bearbeiten
Die Vektorbündel der topologischen K-Theorie entsprechen auf der algebraischen Seite den endlich erzeugten, projektiven Moduln und diese sind direkte Summanden in freien Moduln , können also durch Idempotente einer hinreichend großen Matrix-Algebra über beschrieben werden. Für die Idempotenten gibt es verschiedene, geeignete Äquivalenzbegriffe, die alle zusammenfallen, wenn man in den induktiven Limes geht, wobei äquivalente Idempotente zu stabil-isomorphen, projektiven Moduln gehören. Eine mögliche Definition ist, dass zwei Idempotente und äquivalent heißen, wenn es ein gibt, so dass und Elemente mit existieren. Die Äquivalenzklasse von werde mit bezeichnet. Hat man zwei Idempotente und , so kann man etwa durch eine äquivalente Idempotente ersetzen, so dass , dann ist wieder eine Idempotente. Setzt man , so ist dadurch eine wohldefinierte Halbgruppenverknüpfung auf der Menge der Äquivalenzklassen von Idempotenten aus gegeben. Hiervon könnte man wieder die zugehörige Grothendieck-Gruppe bilden, aber zur Definition der Gruppe nimmt man eine kleine technische Veränderung vor, um auch Algebren ohne Einselement, etwa Ideale in Banachalgebren, adäquat behandeln zu können. Man definiert als Untergruppe der Grothendieck-Gruppe von , und zwar als Menge aller Differenzen , wobei idempotent sind, so dass .
Ist ein zweiseitiges, abgeschlossenes Ideal, so erhält man aus der kurzen, exakten Sequenz
eine exakte Sequenz
die sich im Allgemeinen weder nach links noch nach rechts exakt mit 0 fortsetzen lässt.
Die Definition ist so angelegt, dass für kompakte Räume gilt (Satz von Serre und Swan). Im Falle von C*-Algebren kann man bei obiger Konstruktion die Idempotenten durch Orthogonalprojektionen, das heißt durch selbstadjungierte Idempotente, ersetzen und erhält dasselbe Ergebnis, da jede Idempotente zu einer Projektion äquivalent ist. Als wichtige Anwendung lassen sich mittels K0 die AF-C*-Algebren klassifizieren.
K1 von Banachalgebren Bearbeiten
Zur Definition von definieren wir als Menge aller invertierbaren Matrizen aus , deren Bild in der Quotientenalgebra gleich der Einheitsmatrix ist. Mittels
fassen wir als Untergruppe von auf und versehen den so entstehenden induktiven Limes mit der finalen Topologie. Die Zusammenhangskomponente des Einselements ist ein Normalteiler und man definiert
Trotz der Nicht-Kommutativität der Matrizenalgebren erweist sich die so definierte Gruppe als kommutativ. Während in der algebraischen K-Theorie zur Definition der K1-Gruppe die Kommutatorgruppe herausdividiert wird (siehe Abelisierung), verwendet man in der topologischen K-Theorie für Banachalgebren die Zusammenhangskomponente des Einselements. Im Falle von C*-Algebren kann man in obiger Konstruktion die invertierbaren Elemente durch unitäre Elemente ersetzen und erhält dasselbe Ergebnis.
Ist ein zweiseitiges, abgeschlossenes Ideal, so erhält man aus der kurzen, exakten Sequenz
eine exakte Sequenz
die sich im Allgemeinen weder nach links noch nach rechts exakt mit 0 fortsetzen lässt.
Wieder ist die Definition so angelegt, dass für kompakte Räume gilt. Bezeichnet man mit die Banachalgebra aller stetigen Funktionen , die im Unendlichen verschwinden, versehen mit der Supremumsnorm, so kann man zeigen. Man nennt die Suspension von ; es handelt sich um die Banachachalgebrenversion der Suspension bzw. reduzierten Einhängung topologischer Räume. Mittels Iteration der Suspension könnte man höhere K-Gruppen definieren, etwa , aber wegen der auch hier gültigen Bott-Periodizität ist das nicht erforderlich.
Zyklische Sequenz Bearbeiten
Wie in der topologischen K-Theorie kann man eine Index-Abbildung und einen Bott-Isomorphismus konstruieren, so dass sich obige exakte Sequenzen zu folgender zyklischen exakten Sequenz zusammenfügen:
Diese Sequenz ist sehr nützlich bei der Berechnung von K-Gruppen. Sind einige Gruppen der Sequenz bekannt, so lässt dies wegen der Exaktheit Rückschlüsse auf die noch unbekannten zu.
Weitere Eigenschaften Bearbeiten
Funktorialität Bearbeiten
Es sei ein stetiger Homomorphismus zwischen Banachalgebren. Dieser definiert Homomorphismen , die mit obigen Konstruktionen der K-Gruppen verträglich sind und so zu Gruppenhomomorphismen und führen. Dadurch werden und zu kovarianten Funktoren zwischen der Kategorie der Banachalgebren und der Kategorie der abelschen Gruppen.
Homotopieinvarianz Bearbeiten
Zwei stetige Homomorphismen zwischen Banachalgebren heißen homotop, wenn es eine Familie von Homomorphismen gibt, so dass für jedes stetig ist und gilt. Homotope Homomorphismen induzieren dieselben Gruppenhomomorphismen zwischen den K-Gruppen.
Stabilität Bearbeiten
Ist eine Banachalgebra, so gilt für und alle . Ist ein induktiver Limes in der Kategorie der Banachalgebren, so gilt
Die Verträglichkeit mit der Bildung des induktiven Limes ergibt sich direkt aus den Konstruktionen der K-Gruppen mittels induktiver Limiten.
Speziell für C*-Algebren ist und der induktive Limes der in der Kategorie der C*-Algreben ist isomorph zum Tensorprodukt , wobei die C*-Algebra der kompakten Operatoren über einem separablen Hilbertraum ist. Damit gilt für .
Literatur Bearbeiten
- Jacek Brodzki: An Introduction to K-theory and Cyclic Cohomology. arxiv:funct-an/9606001.
- Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras. Springer Verlag, 1986, ISBN 3-540-96391-X.
Weblinks Bearbeiten
- Christian Voigt: K-Theorie von Operatoralgebren. (PDF; 579 kB).
Quellen Bearbeiten
- Blackadar: K-Theory for Operator Algebras. Springer Verlag, 1986, ISBN 3-540-96391-X.