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Hydrostatik Die ist die Lehre von Flüssigkeiten die in einem ruhenden oder bewegten Bezugssystem in dem die Betrachtunge

Hydrostatik

Die Hydrostatik ist die Lehre von Flüssigkeiten, die in einem ruhenden oder bewegten Bezugssystem, in dem die Betrachtungen durchgeführt werden, in Ruhe sind.:165 Die Hydrostatik ist das Teilgebiet der Fluidstatik, das die tropfbaren Fluide mit geringer und vernachlässigbarer Kompressibilität behandelt.:4

Eigenschaften von ruhenden Flüssigkeiten Bearbeiten

Die im Hauptartikel beschriebenen Eigenschaften von Flüssigkeiten werden hier nur aufgelistet.

Flüssigkeiten

Ruhende Flüssigkeiten

  • passen sich jeder Gefäßform an,
  • bilden aufgrund der Oberflächenspannung an den Rändern einer freien Oberfläche Menisken aus (sofern die freie Oberfläche im Vergleich zu den Menisken groß ist, können diese vernachlässigt werden; andernfalls ist Kapillarität zu berücksichtigen,)
  • sind im hydrostatischen Spannungszustand, d. h. der Druck ist ein Skalar, richtungsunabhängig und nur eine Funktion des Ortes,:36
  • besitzen eine allenfalls ortsabhängige aber nicht zeitabhängige Dichte,:165 die im homogenen Schwerefeld auf Niveauflächen des Drucks (Isobaren) konstant ist,:22 und
  • weisen auf einer Trennfläche zwischen zwei Flüssigkeiten verschiedener Dichte einen überall gleichen Druck auf, und die Schichtung ist stabil, wenn die Flüssigkeit mit der geringeren Dichte über der mit der größeren Dichte liegt.:23

Druck in ruhenden Flüssigkeiten Bearbeiten

Der Druck in einer ruhenden Flüssigkeit ist an einem Punkt in allen Richtungen gleich groß. Ohne volumenverteilte Kräfte wie die Schwerkraft ist der Druck überall gleich und der Druck­gradient der Nullvektor. Wirkt nur die Schwerkraft, so entspricht der Schweredruck (auch hydrostatischer Druck) der Summe aus dem (Atmosphären-)Druck an der freien Oberfläche und dem sich durch die Gewichtskraft der Flüssigkeitssäule über dem betrachteten Punkt ergebenden Druck. Der Schweredruck ist nur von der Tiefe, nicht jedoch von der Gefäßform abhängig. Dies wird als hydrostatisches Paradoxon bezeichnet.

Kompressibilität Bearbeiten

Flüssigkeiten werden meist als quasi inkompressibel angenommen:4,9, weil sie in Ruhe bei kleinen Drücken (≤ 500 bar) nur wenig kompressibel sind.

Denn ihr Kompressions- oder Volumen-Elastizitätsmodul K ist im Vergleich zu Gasen groß. Der Modul gibt das Verhältnis zwischen Druckänderung dp und Volumendehnung dv an:

Das Minuszeichen ist Konvention: Der Kompressionsmodul K ist positiv, wenn das Volumen v unter steigendem Druck p abnimmt; V ist ein Referenzvolumen. Die Kompressibilität κ ist der Kehrwert des Kompressionsmoduls. Der Kompressionsmodul von Flüssigkeiten ist kleiner als der der meisten Festkörper. Wasser besitzt beispielsweise den Kompressionsmodul K ≈ 2000 MPa = 20.000 bar und der von Stahl ist mit 160.000 MPa achtzigmal so groß. Die Tabellen enthalten Anhaltswerte für Wasser und andere Flüssigkeiten.:7

Volumen-Elastizitäts­modul K von Wasser bei verschiedenen Drücken
Druck [bar] K [bar]
1 … 50
20.400
50 … 100
21.740
100 … 200
22.220
200 … 300
22.730
300 … 500
23.810
500 … 1000
26.320
1000 … 2000
30.300
2000 … 3000
37.040
3000 … 5000
41.670
Kompressibilität κ verschiedener Flüssigkeiten bei 20 °C und 1 bar Anfangsdruck
Flüssigkeit κ [bar−1]
Ethanol ≈ 18,7·10−5
Glyzerin ≈ 12,8·10−5
Maschinenöl ≈ 9,6·10−5
Quecksilber ≈ 0,4·10−5
Wasser ≈ 4,9·10−5

Freie Oberflächen Bearbeiten

Der Druck über freien Oberflächen von Flüssigkeiten ist durch ihren stoff- und temperaturabhängigen Dampfdruck nach unten begrenzt.:9 Der Innendruck an einer wenig gekrümmten freien Oberfläche ist gleich dem Außendruck. Sofern dieser (näherungsweise) gleichverteilt ist, ist eine freie Oberfläche eine Fläche konstanten Drucks (Isobare) und damit senkrecht zum Druck­gradient.

Auf der Erdoberfläche ist die Gewichtskraft zum Erdmittelpunkt gerichtet. Freie Oberflächen von ruhenden Gewässern sind Kugelflächenausschnitte von annäherndem Erdradius mit zum Erdmittelpunkt gerichteten Normalen. Bei kleiner Ausdehnung stellen freie Oberflächen ruhender Flüssigkeiten praktisch waagrechte Ebenen dar.:31

In Abwesenheit von äußeren Kräften, wie beispielsweise in der Schwerelosigkeit oder im freien Fall, strebt eine Flüssigkeit aufgrund ihrer Oberflächenspannung eine kugel­förmige Gestalt an. Der Druck in der Flüssigkeit ist durch die Oberflächenspannung um eine Differenz erhöht, die umgekehrt proportional zum Radius der Kugel ist, siehe Young-Laplace-Gleichung. An kleinen Oberflächen bilden sich Menisken aus und ist Kapillarität zu berücksichtigen.

Eine freie Oberfläche wird in einer technischen Zeichnung durch ein gleichseitiges Dreieck gekennzeichnet ( ▽ ), das mit einer Ecke auf der Oberfläche aufsitzt.:31

Hydrostatische Grundgleichung Bearbeiten

Die hydrostatische Grundgleichung beschreibt den Druckverlauf über die Tiefe in der Flüssigkeit. Die Grundgleichung in differentieller Form lautet

Der Druck nimmt demnach proportional zur Dichte ρ und Schwerebeschleunigung g in deren Richtung mit der Tiefe h zu. Ist das Koordinatensystem nicht parallel zur (resultierenden) Beschleunigung ausgerichtet, dann kann die Grundgleichung in jeder Koordinatenrichtung xj aufgeschrieben werden::166

oder als koordinatenunabhängige Vektor­gleichung zusammengefasst

siehe Fluidstatik#Allgemeine fluidstatische Grundgleichung. Hier ist noch die Führungskraft aufgenommen, die als Scheinkraft in beschleunigten Bezugssystemen auftritt.

Unter der Annahme der Inkompressibilität (ρ = konst.) ergibt sich aus der Grundgleichung in differentieller Form im homogenen Schwerefeld (g = konst.) die modifizierte Grundgleichung:

mit

Bezieht man die #Kompressibilität von Wasser von etwa κ ≈ 5·10−5·bar−1 in die Berechnung des Drucks mit ein, ergibt sich das folgende Diagramm:

Mit und ohne #Kompressibilität berechnete Dichte- und Druckverteilung in Wasser als Funktion der Tiefe

In 12.000 m Tiefe ergäbe sich hiermit, ausgehend von einer Dichte von 1000 kg/m3 in 0 m Tiefe, eine Abweichung des mit Kompressibilität berechneten, realen Drucks vom idealen von ca. 3,5 %. Hierbei bleiben jedoch weiterhin Temperatureffekte ebenso wie andere Einflüsse unberücksichtigt.

Gleichmäßig horizontal beschleunigte Flüssigkeit Bearbeiten

Flüssigkeit (blau) in einem gleichmäßig beschleunigten Behälter

Betrachtet wird ein gleichmäßig beschleunigter Behälter, in dem sich eine Flüssigkeit befindet, siehe Bild. Im Gleichgewicht sind die Fluidteilchen relativ zueinander in Ruhe, sodass die Gesetze der Fluidstatik anwendbar sind. Die Beschleunigung eines Fluidelements dm ist gleich der Beschleunigung des Behälters, weil es sich relativ zu ihm in Ruhe befindet, und von außen wirkt die lotrechte Gewichtskraft g·dm. Im beschleunigten Bezugssystem erscheint die horizontal ausgerichtete Führungskraft (Scheinkraft). Zur Resultierenden aus Gewichts- und Führungskraft senkrecht sind die Isobaren, deren Steigungswinkel α sich aus dem Tangens tan des Winkels ergibt:

Beim ruhenden Behälter ist und die Oberfläche horizontal. Im Fluidkörper bildet sich ein Hydrostatischer Druck gemäß der resultierenden Beschleunigung aus.

Die Höhe, auf die die Flüssigkeit an der rückwärtigen Behälterwand hochsteigt, ergibt sich aus der Volumenkonstanz. Ist die Behälterwand niedriger, dann läuft die überschüssige Flüssigkeit aus.:32 Wenn die horizontale Beschleunigung im Vergleich zur Schwerebeschleunigung groß ist, wie beispielsweise in der Schwerelosigkeit, strebt die Flüssigkeit eine senkrechte Oberfläche an, die sich nur dann einstellen kann, wenn der Behälter oben geschlossen ist.

Auf schiefer Ebene gleichmäßig beschleunigte Flüssigkeit Bearbeiten

Behälter (Rechteck) auf einer schiefen Ebene mit Neigungswinkel θ

Betrachtet wird ein mit Flüssigkeit befüllter Behälter, der eine schiefe Ebene hinab gleitet, siehe Bild. Auch dieser Fall kann mit Mitteln der Fluidstatik behandelt werden,:171 d. h. davon ausgegangen werden, dass die Flüssigkeit im Behälter ruht. Wenn der Behälter mit Flüssigkeit die Masse m hat, wirkt auf ihn die Kraft mg·sinθ−f hangabwärts parallel zur Ebene, wobei f auf Reibung zurückgeht und zunächst unbestimmt bleibt. In horizontaler x-Richtung (nach links im Bild) wirkt das cosθ-fache dieser Kraft und in vertikaler z-Richtung (nach oben im Bild) das −sinθ-fache. Aus dem zweiten newtonschen Gesetz „Kraft gleich Masse mal Beschleunigung“ ergeben sich die Beschleunigungen (zweifache Zeitableitungen angezeigt durch die aufgesetzten Punkte):

Der Beschleunigungs­vektor ist hangabwärts gerichtet. Die Reibkraft f ist proportional zur Normalkraft N=mg·cosθ, sodass f=μmg·cosθ mit Reibkoeffizient μ und

wird. Diese Beschleunigung ist konstant, sodass die Flüssigkeit im Behälter ruhen kann. Allerdings muss tanθ größer als der Reibkoeffizient sein, denn sonst tritt Haftreibung ein und der Behälter bleibt stehen.

Auf die im Behälter ruhende Flüssigkeit kann die allgemeine fluidstatische Grundgleichung im mitbewegten Bezugssystem angewendet werden. Dort ist der Druckgradient 𝜵p gleich der Summe aus der volumenverteilten Schwerkraft und der volumenverteilten Scheinkraft. Neben der Schwerkraft ist im beschleunigten Bezugssystem die Führungskraft (Scheinkraft) zu berücksichtigen:

Falls μ=tanθ, wo der Behälter stehen bleibt, ist der Druckgradient vertikal und die freie Oberfläche horizontal. In Abwesenheit von Reibung (μ=0) ist der Druckgradient

senkrecht zur schiefen Ebene und die freie Oberfläche der Flüssigkeit parallel zu ihr. Ansonsten addiert sich noch der Anteil, der proportional zu μ ist:

Die freie Oberfläche ist hier weniger geneigt als die Ebene.:172f Weil der Druckgradient nicht ortsabhängig ist, nimmt der Druck linear mit der Tiefe in Richtung des Gradienten zu.

Gleichmäßig rotierende Flüssigkeit Bearbeiten

Flüssigkeit in einem gleichmäßig rotierenden Behälter

Ein zylinder­förmiger Behälter wird bis zur Höhe z0 mit einer Flüssigkeit gefüllt und auf die konstante Winkelgeschwindigkeit ω gebracht, siehe Bild. Durch die Viskosität und Haftbedingung teilt sich die Drehbewegung des Behälters der Flüssigkeit mit und nach hinreichend langer Zeit rotiert sie ebenfalls mit der Winkelgeschwindigkeit ω. Im mitrotierenden Bezugssystem K’ befindet sich die Flüssigkeit in Ruhe, sodass die Bedingungen der Hydrostatik erfüllt sind.

Im Bezugssystem K’ werden Zylinderkoordinaten mit radialer Koordinate r und vertikaler z benutzt, siehe Bild. Auf jedes Fluidelement mit Masse dm wirkt die Gewichtskraft dG=dm·g in -z-Richtung. Im beschleunigten Bezugssystem K’ ist noch die Führungskraft dZ zu berücksichtigen, die bei gleichmäßiger Drehung mit der Winkelgeschwindigkeit ω um die ruhende Drehachse gleich der radial auftretenden Zentrifugalkraft ist: dZ=dm·ω2·r. An jeder Stelle auf der Oberfläche ist diese senkrecht zur Resultierenden dF der beiden Kräfte dZ und dG, und so ergibt sich

Gleichzeitig ist tanα auch die Steigung der Rotationskurve z(r), d. h. der Wert der Ableitungsfunktion an der betrachteten Stelle:

Im homogenen Schwerefeld (g=konst.) ergibt sich die Kurve zu

wo die Integrationskonstante zb die Höhe im Tiefpunkt bei r=0 ist. Bemerkenswert ist, dass die Form des Paraboloids von der Art der Flüssigkeit unabhängig ist, weil in der letzten Gleichung keine Stoffgrößen vorkommen.

Die Steighöhe za ergibt sich aus der Tatsache, dass ein Zylinder durch ein eingeschriebenes Rotationsparaboloid zweiter Ordnung in zwei Teile mit identischem Volumen zerlegt wird. Die Füllhöhe z0 im nicht rotierenden Zylinder befindet sich daher mittig zwischen za und dem Tiefpunkt zb. Andererseits ergibt sich die Differenz za − zb aus der Rotationskurve::33

Technische Anwendung der Druck-Fortpflanzung Bearbeiten

Statischer Auftrieb Bearbeiten

Wird ein Körper in eine Flüssigkeit gebracht, so ist der Druck an der Unterseite höher als an der Oberseite. Die resultierende Kraft weist nach oben und heißt Auftrieb. Die Auftriebskraft entspricht der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit. Ist die durchschnittliche Dichte eines Körpers kleiner als die der Flüssigkeit, so überwiegt die Auftriebskraft gegenüber der Gewichtskraft. Wirken dann nicht noch andere Kräfte auf ihn ein, steigt der Körper nach oben und schwimmt. Ist seine Dichte hingegen größer als die Flüssigkeit, sinkt der Körper nach unten, bei gleicher Dichte schwebt er.

Hydraulik Bearbeiten

Funktionsprinzip einer hydraulischen Presse

Hydraulische Systeme nutzen die Unabhängigkeit des Drucks von der Gefäßform aus. Wird beispielsweise Wasser durch ein Rohr mit relativ kleinem Querschnitt wie im Bild in ein Gefäß mit großen Querschnitt gedrückt, so entsteht der Druck im Wasser. Dieser Druck pflanzt sich nach dem Pascalschen Druckfortpflanzungsgesetz in das Gefäß fort und wirkt dort auf der gesamten Querschnittsfläche . Darauf wird vom Wasser die resultierende Kraft ausgeübt, die ein Vielfaches der Kraft ist.:37 Das hydraulische System ist eine

« machine […] pour multiplier les forces »

„Maschine um Kräfte zu multiplizieren“

– Blaise Pascal (1653):

Anwendung findet dieses Prinzip z. B. in der hydraulischen Presse. Deren Wirkungsgrad wird nur durch die Reibung in den Kolbendichtungen geschmälert. Viskosität der Flüssigkeit hat auf das Kraftverhältnis keinen Einfluss, da im Endzustand statische Bedingungen herrschen.:38

Weblinks Bearbeiten

Wikibooks: Formelsammlung Hydrostatik – Lern- und Lehrmaterialien
  • hydrostatische Grundgleichung. In: Lexikon der Geographie. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2001 (spektrum.de [abgerufen am 3. April 2022]).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ F. Durst: Grundlagen der Strömungsmechanik. Springer, 2006, ISBN 3-540-31323-0.
  2. ↑ H. Sigloch: Technische Fluidmechanik. Springer Vieweg, Berlin, Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-54291-6, S. 31, doi:10.1007/978-3-642-54292-3 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 17. März 2020]).
  3. ↑ H. Oertel (Hrsg.): Prandtl-Führer durch die Strömungslehre. Grundlagen und Phänomene. 13. Auflage. Springer Vieweg, 2012, ISBN 978-3-8348-1918-5.
  4. J. H. Spurk: Strömungslehre. Einführung in die Theorie der Strömungen. 8. überarbeitete Auflage. Springer Verlag, Heidelberg, Dordrecht, London, New York 2010, ISBN 978-3-642-13142-4, S. 164, doi:10.1007/978-3-642-13143-1 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 25. März 2022]).
  5. Blaise Pascal: Abhandlung über das Gleichgewicht von Flüssigkeiten und vom Gewicht der Masse der Luft. Paris 1663, Chapitre II. Pourquoi les Liqueurs pesent suivant leur hauteur, S. 6 (französisch, archive.org [abgerufen am 19. Februar 2022] Originaltitel: Traitez de l'équilibre des liqueurs et de la pesanteur de la masse de l'air. Posthume zweite Veröffentlichung.).

Literatur Bearbeiten

  • Dionysius Lardner: Handbuch der Hydrostatik und Pneumatik. Druck und Verlag von Gottfried Basse, Quedlinburg und Leipzig 1836.
  • Abel Bürja: Grundlehren der Hydrostatik. Bei Lagarde und Friedrich, Berlin 1790.
  • Bruno Eck: Technische Strömungslehre. Springer Verlag Berlin Heidelberg GmbH, Berlin Heidelberg 1949.
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Die Hydrostatik ist die Lehre von Flussigkeiten die in einem ruhenden oder bewegten Bezugssystem in dem die Betrachtungen durchgefuhrt werden in Ruhe sind 1 165 Die Hydrostatik ist das Teilgebiet der Fluidstatik das die tropfbaren Fluide mit geringer und vernachlassigbarer Kompressibilitat behandelt 2 4 Inhaltsverzeichnis 1 Eigenschaften von ruhenden Flussigkeiten 1 1 Druck in ruhenden Flussigkeiten 1 2 Kompressibilitat 2 Freie Oberflachen 2 1 Hydrostatische Grundgleichung 2 2 Gleichmassig horizontal beschleunigte Flussigkeit 2 3 Auf schiefer Ebene gleichmassig beschleunigte Flussigkeit 2 4 Gleichmassig rotierende Flussigkeit 3 Technische Anwendung der Druck Fortpflanzung 3 1 Statischer Auftrieb 3 2 Hydraulik 4 Weblinks 5 Einzelnachweise 6 LiteraturEigenschaften von ruhenden Flussigkeiten Bearbeiten Hauptartikel Fluidstatik Eigenschaften von Fluiden Die im Hauptartikel beschriebenen Eigenschaften von Flussigkeiten werden hier nur aufgelistet Flussigkeiten sind im flussigen Aggregatzustand bilden Grenzflachen aus gegenuber Festkorpern Gasen und Flussigkeiten mit denen sie sich nicht vermischen wobei Freie Oberflachen Grenzflachen zu einem Gas und Trennflachen Grenzflachen zwischen zwei sich nicht mischenden Flussigkeiten sind besitzen eine Oberflachenspannung und sind dadurch im Gegensatz zu Gasen tropfbar setzen einer volumenerhaltenden Formanderung so gut wie keinen Widerstand entgegen und haben im Vergleich zu Gasen eine geringere Kompressibilitat 2 6 und hohere Dichte Ruhende Flussigkeiten passen sich jeder Gefassform an bilden aufgrund der Oberflachenspannung an den Randern einer freien Oberflache Menisken aus sofern die freie Oberflache im Vergleich zu den Menisken gross ist konnen diese vernachlassigt werden andernfalls ist Kapillaritat zu berucksichtigen sind im hydrostatischen Spannungszustand d h der Druck ist ein Skalar richtungsunabhangig und nur eine Funktion des Ortes 2 36 besitzen eine allenfalls ortsabhangige aber nicht zeitabhangige Dichte 1 165 die im homogenen Schwerefeld auf Niveauflachen des Drucks Isobaren konstant ist 3 22 und weisen auf einer Trennflache zwischen zwei Flussigkeiten verschiedener Dichte einen uberall gleichen Druck auf und die Schichtung ist stabil wenn die Flussigkeit mit der geringeren Dichte uber der mit der grosseren Dichte liegt 3 23Druck in ruhenden Flussigkeiten Bearbeiten Hauptartikel Hydrostatischer Druck Der Druck in einer ruhenden Flussigkeit ist an einem Punkt in allen Richtungen gleich gross Ohne volumenverteilte Krafte wie die Schwerkraft ist der Druck uberall gleich und der Druck gradient der Nullvektor Wirkt nur die Schwerkraft so entspricht der Schweredruck auch hydrostatischer Druck der Summe aus dem Atmospharen Druck an der freien Oberflache und dem sich durch die Gewichtskraft der Flussigkeitssaule uber dem betrachteten Punkt ergebenden Druck Der Schweredruck ist nur von der Tiefe nicht jedoch von der Gefassform abhangig Dies wird als hydrostatisches Paradoxon bezeichnet Kompressibilitat Bearbeiten Flussigkeiten werden meist als quasi inkompressibel angenommen 2 4 9 weil sie in Ruhe bei kleinen Drucken 500 bar nur wenig kompressibel sind Denn ihr Kompressions oder Volumen Elastizitatsmodul K ist im Vergleich zu Gasen gross Der Modul gibt das Verhaltnis zwischen Druckanderung dp und Volumendehnung dv an K d p d v V V d p d v 1 k displaystyle K frac mathrm d p frac mathrm d mathsf v mathsf V frac mathsf V mathrm d p mathrm d mathsf v frac 1 kappa nbsp Das Minuszeichen ist Konvention Der Kompressionsmodul K ist positiv wenn das Volumen v unter steigendem Druck p abnimmt V ist ein Referenzvolumen Die Kompressibilitat k ist der Kehrwert des Kompressionsmoduls Der Kompressionsmodul von Flussigkeiten ist kleiner als der der meisten Festkorper Wasser besitzt beispielsweise den Kompressionsmodul K 2000 MPa 20 000 bar und der von Stahl ist mit 160 000 MPa achtzigmal so gross Die Tabellen enthalten Anhaltswerte fur Wasser und andere Flussigkeiten 2 7 Volumen Elastizitats modul K von Wasser bei verschiedenen DruckenDruck bar K bar 1 50 20 40050 100 21 740100 200 22 220200 300 22 730300 500 23 810500 1000 26 3201000 2000 30 3002000 3000 37 0403000 5000 41 670Kompressibilitat k verschiedener Flussigkeiten bei 20 C und 1 bar AnfangsdruckFlussigkeit k bar 1 Ethanol 18 7 10 5Glyzerin 12 8 10 5Maschinenol 9 6 10 5Quecksilber 0 4 10 5Wasser 4 9 10 5Freie Oberflachen BearbeitenDer Druck uber freien Oberflachen von Flussigkeiten ist durch ihren stoff und temperaturabhangigen Dampfdruck nach unten begrenzt 2 9 Der Innendruck an einer wenig gekrummten freien Oberflache ist gleich dem Aussendruck Sofern dieser naherungsweise gleichverteilt ist ist eine freie Oberflache eine Flache konstanten Drucks Isobare und damit senkrecht zum Druck gradient Auf der Erdoberflache ist die Gewichtskraft zum Erdmittelpunkt gerichtet Freie Oberflachen von ruhenden Gewassern sind Kugelflachenausschnitte von annaherndem Erdradius mit zum Erdmittelpunkt gerichteten Normalen Bei kleiner Ausdehnung stellen freie Oberflachen ruhender Flussigkeiten praktisch waagrechte Ebenen dar 2 31In Abwesenheit von ausseren Kraften wie beispielsweise in der Schwerelosigkeit oder im freien Fall strebt eine Flussigkeit aufgrund ihrer Oberflachenspannung eine kugel formige Gestalt an Der Druck in der Flussigkeit ist durch die Oberflachenspannung um eine Differenz erhoht die umgekehrt proportional zum Radius der Kugel ist siehe Young Laplace Gleichung An kleinen Oberflachen bilden sich Menisken aus und ist Kapillaritat zu berucksichtigen Eine freie Oberflache wird in einer technischen Zeichnung durch ein gleichseitiges Dreieck gekennzeichnet das mit einer Ecke auf der Oberflache aufsitzt 2 31 Hydrostatische Grundgleichung Bearbeiten Die hydrostatische Grundgleichung beschreibt den Druckverlauf uber die Tiefe in der Flussigkeit Die Grundgleichung in differentieller Form lautet p h r g displaystyle frac partial p partial mathsf h rho g nbsp Der Druck nimmt demnach proportional zur Dichte r und Schwerebeschleunigung g in deren Richtung mit der Tiefe h zu Ist das Koordinatensystem nicht parallel zur resultierenden Beschleunigung ausgerichtet dann kann die Grundgleichung in jeder Koordinatenrichtung xj aufgeschrieben werden 1 166 p x j r g j displaystyle frac partial p partial x j rho g j nbsp oder als koordinatenunabhangige Vektor gleichung zusammengefasst 4 p r k k f displaystyle nabla p rho vec k vec k f nbsp siehe Fluidstatik Allgemeine fluidstatische Grundgleichung Hier ist noch die Fuhrungskraft r k f displaystyle rho vec k f nbsp aufgenommen die als Scheinkraft in beschleunigten Bezugssystemen auftritt Unter der Annahme der Inkompressibilitat r konst ergibt sich aus der Grundgleichung in differentieller Form im homogenen Schwerefeld g konst die modifizierte Grundgleichung p h p0 r g hmit r Dichte der Flussigkeit g Schwerebeschleunigung h Hohe der Flussigkeitssaule uber dem betrachteten Punkt p0 Druck an der Oberflache der Flussigkeitssaule bei h 0 Bezieht man die Kompressibilitat von Wasser von etwa k 5 10 5 bar 1 in die Berechnung des Drucks mit ein ergibt sich das folgende Diagramm nbsp Mit und ohne Kompressibilitat berechnete Dichte und Druckverteilung in Wasser als Funktion der Tiefe In 12 000 m Tiefe ergabe sich hiermit ausgehend von einer Dichte von 1000 kg m3 in 0 m Tiefe eine Abweichung des mit Kompressibilitat berechneten realen Drucks vom idealen von ca 3 5 Hierbei bleiben jedoch weiterhin Temperatureffekte ebenso wie andere Einflusse unberucksichtigt Gleichmassig horizontal beschleunigte Flussigkeit Bearbeiten nbsp Flussigkeit blau in einem gleichmassig beschleunigten BehalterBetrachtet wird ein gleichmassig beschleunigter Behalter in dem sich eine Flussigkeit befindet siehe Bild Im Gleichgewicht sind die Fluidteilchen relativ zueinander in Ruhe sodass die Gesetze der Fluidstatik anwendbar sind Die Beschleunigung eines Fluidelements dm ist gleich der Beschleunigung a displaystyle a nbsp des Behalters weil es sich relativ zu ihm in Ruhe befindet und von aussen wirkt die lotrechte Gewichtskraft g dm Im beschleunigten Bezugssystem erscheint die horizontal ausgerichtete Fuhrungskraft a d m displaystyle a cdot mathrm d m nbsp Scheinkraft Zur Resultierenden aus Gewichts und Fuhrungskraft senkrecht sind die Isobaren deren Steigungswinkel a sich aus dem Tangens tan des Winkels ergibt tan a a d m g d m a g displaystyle tan alpha frac a cdot mathrm d m g cdot mathrm d m frac a g nbsp Beim ruhenden Behalter ist a 0 displaystyle a 0 nbsp und die Oberflache horizontal Im Fluidkorper bildet sich ein Hydrostatischer Druck gemass der resultierenden Beschleunigung f a 2 g 2 displaystyle textstyle f sqrt a 2 g 2 nbsp aus Die Hohe auf die die Flussigkeit an der ruckwartigen Behalterwand hochsteigt ergibt sich aus der Volumenkonstanz Ist die Behalterwand niedriger dann lauft die uberschussige Flussigkeit aus 2 32 Wenn die horizontale Beschleunigung im Vergleich zur Schwerebeschleunigung gross ist wie beispielsweise in der Schwerelosigkeit strebt die Flussigkeit eine senkrechte Oberflache an die sich nur dann einstellen kann wenn der Behalter oben geschlossen ist Auf schiefer Ebene gleichmassig beschleunigte Flussigkeit Bearbeiten nbsp Behalter Rechteck auf einer schiefen Ebene mit Neigungswinkel 8Betrachtet wird ein mit Flussigkeit befullter Behalter der eine schiefe Ebene hinab gleitet siehe Bild Auch dieser Fall kann mit Mitteln der Fluidstatik behandelt werden 1 171 d h davon ausgegangen werden dass die Flussigkeit im Behalter ruht Wenn der Behalter mit Flussigkeit die Masse m hat wirkt auf ihn die Kraft mg sin8 f hangabwarts parallel zur Ebene wobei f auf Reibung zuruckgeht und zunachst unbestimmt bleibt In horizontaler x Richtung nach links im Bild wirkt das cos8 fache dieser Kraft und in vertikaler z Richtung nach oben im Bild das sin8 fache Aus dem zweiten newtonschen Gesetz Kraft gleich Masse mal Beschleunigung ergeben sich die Beschleunigungen zweifache Zeitableitungen angezeigt durch die aufgesetzten Punkte m x m g sin 8 f cos 8 m z f m g sin 8 sin 8 x x z g sin 8 f m cos 8 sin 8 displaystyle begin aligned m ddot x amp mg sin theta f cos theta m ddot z amp f mg sin theta sin theta rightarrow ddot vec x amp begin pmatrix ddot x ddot z end pmatrix g sin theta f m begin pmatrix cos theta sin theta end pmatrix end aligned nbsp Der Beschleunigungs vektor x displaystyle ddot vec x nbsp ist hangabwarts gerichtet Die Reibkraft f ist proportional zur Normalkraft N mg cos8 sodass f mmg cos8 mit Reibkoeffizient m und x g sin 8 m cos 8 cos 8 sin 8 g tan 8 m cos 2 8 tan 8 m sin 8 cos 8 displaystyle ddot vec x g sin theta mu cos theta begin pmatrix cos theta sin theta end pmatrix g begin pmatrix tan theta mu cos 2 theta tan theta mu sin theta cos theta end pmatrix nbsp wird Diese Beschleunigung ist konstant sodass die Flussigkeit im Behalter ruhen kann Allerdings muss tan8 grosser als der Reibkoeffizient sein denn sonst tritt Haftreibung ein und der Behalter bleibt stehen Auf die im Behalter ruhende Flussigkeit kann die allgemeine fluidstatische Grundgleichung p r k k f displaystyle nabla p rho vec k vec k f nbsp im mitbewegten Bezugssystem angewendet werden Dort ist der Druckgradient p gleich der Summe aus der volumenverteilten Schwerkraft und der volumenverteilten Scheinkraft Neben der Schwerkraft r k r g e z displaystyle rho vec k rho g hat e z nbsp ist im beschleunigten Bezugssystem die Fuhrungskraft r k f r x displaystyle rho vec k f rho ddot vec x nbsp Scheinkraft zu berucksichtigen p r k k f r g e z x r g tan 8 m cos 2 8 tan 8 m sin 8 cos 8 1 displaystyle nabla p rho vec k vec k f rho g hat e z ddot vec x rho g begin pmatrix tan theta mu cos 2 theta tan theta mu sin theta cos theta 1 end pmatrix nbsp Falls m tan8 wo der Behalter stehen bleibt ist der Druckgradient vertikal und die freie Oberflache horizontal In Abwesenheit von Reibung m 0 ist der Druckgradient p r g tan 8 cos 2 8 tan 8 sin 8 cos 8 1 r g sin 8 cos 8 sin 2 8 1 r g cos 8 sin 8 cos 8 displaystyle nabla p rho g begin pmatrix tan theta cos 2 theta tan theta sin theta cos theta 1 end pmatrix rho g begin pmatrix sin theta cos theta sin 2 theta 1 end pmatrix rho g cos theta begin pmatrix sin theta cos theta end pmatrix nbsp senkrecht zur schiefen Ebene und die freie Oberflache der Flussigkeit parallel zu ihr Ansonsten addiert sich noch der Anteil der proportional zu m ist p r g cos 8 sin 8 cos 8 m r g cos 8 cos 8 sin 8 r g cos 8 sin 8 cos 8 m cos 8 sin 8 displaystyle nabla p rho g cos theta begin pmatrix sin theta cos theta end pmatrix mu rho g cos theta begin pmatrix cos theta sin theta end pmatrix rho g cos theta left begin pmatrix sin theta cos theta end pmatrix mu begin pmatrix cos theta sin theta end pmatrix right nbsp Die freie Oberflache ist hier weniger geneigt als die Ebene 1 172f Weil der Druckgradient nicht ortsabhangig ist nimmt der Druck linear mit der Tiefe in Richtung des Gradienten zu Gleichmassig rotierende Flussigkeit Bearbeiten nbsp Flussigkeit in einem gleichmassig rotierenden BehalterEin zylinder formiger Behalter wird bis zur Hohe z0 mit einer Flussigkeit gefullt und auf die konstante Winkelgeschwindigkeit w gebracht siehe Bild Durch die Viskositat und Haftbedingung teilt sich die Drehbewegung des Behalters der Flussigkeit mit und nach hinreichend langer Zeit rotiert sie ebenfalls mit der Winkelgeschwindigkeit w Im mitrotierenden Bezugssystem K befindet sich die Flussigkeit in Ruhe sodass die Bedingungen der Hydrostatik erfullt sind Im Bezugssystem K werden Zylinderkoordinaten mit radialer Koordinate r und vertikaler z benutzt siehe Bild Auf jedes Fluidelement mit Masse dm wirkt die Gewichtskraft dG dm g in z Richtung Im beschleunigten Bezugssystem K ist noch die Fuhrungskraft dZ zu berucksichtigen die bei gleichmassiger Drehung mit der Winkelgeschwindigkeit w um die ruhende Drehachse gleich der radial auftretenden Zentrifugalkraft ist dZ dm w2 r An jeder Stelle auf der Oberflache ist diese senkrecht zur Resultierenden dF der beiden Krafte dZ und dG und so ergibt sich tan a d Z d G d m w 2 r d m g w 2 r g displaystyle tan alpha frac mathrm d Z mathrm d G frac mathrm d m cdot omega 2 r mathrm d m cdot g frac omega 2 r g nbsp Gleichzeitig ist tana auch die Steigung der Rotationskurve z r d h der Wert der Ableitungsfunktion an der betrachteten Stelle tan a d z d r w 2 r g displaystyle tan alpha frac mathrm d z mathrm d r frac omega 2 r g nbsp Im homogenen Schwerefeld g konst ergibt sich die Kurve zu z r w 2 r 2 2 g z b displaystyle z r frac omega 2 r 2 2g z b nbsp wo die Integrationskonstante zb die Hohe im Tiefpunkt bei r 0 ist Bemerkenswert ist dass die Form des Paraboloids von der Art der Flussigkeit unabhangig ist weil in der letzten Gleichung keine Stoffgrossen vorkommen Die Steighohe za ergibt sich aus der Tatsache dass ein Zylinder durch ein eingeschriebenes Rotationsparaboloid zweiter Ordnung in zwei Teile mit identischem Volumen zerlegt wird Die Fullhohe z0 im nicht rotierenden Zylinder befindet sich daher mittig zwischen za und dem Tiefpunkt zb Andererseits ergibt sich die Differenz za zb aus der Rotationskurve 2 33 z 0 z a z b 2 z a z b z R z 0 w 2 2 g R 2 z a b z 0 w 2 R 2 4 g displaystyle z 0 frac z a z b 2 quad z a z b z R z 0 frac omega 2 2g R 2 quad rightarrow quad z a b z 0 pm frac omega 2 R 2 4g nbsp Technische Anwendung der Druck Fortpflanzung Bearbeiten Hauptartikel Fluidstatik Pascalsches Druckfortpflanzungsgesetz Statischer Auftrieb Bearbeiten Hauptartikel Fluidstatik Archimedisches Prinzip Statischer Auftrieb und Archimedisches Prinzip Wird ein Korper in eine Flussigkeit gebracht so ist der Druck an der Unterseite hoher als an der Oberseite Die resultierende Kraft weist nach oben und heisst Auftrieb Die Auftriebskraft entspricht der Gewichtskraft der verdrangten Flussigkeit Ist die durchschnittliche Dichte eines Korpers kleiner als die der Flussigkeit so uberwiegt die Auftriebskraft gegenuber der Gewichtskraft Wirken dann nicht noch andere Krafte auf ihn ein steigt der Korper nach oben und schwimmt Ist seine Dichte hingegen grosser als die Flussigkeit sinkt der Korper nach unten bei gleicher Dichte schwebt er Hydraulik Bearbeiten nbsp Funktionsprinzip einer hydraulischen Presse Hauptartikel Hydraulik Hydraulische Systeme nutzen die Unabhangigkeit des Drucks von der Gefassform aus Wird beispielsweise Wasser durch ein Rohr mit relativ kleinem Querschnitt S 1 displaystyle S 1 nbsp wie im Bild in ein Gefass mit grossen Querschnitt S 2 displaystyle S 2 nbsp gedruckt so entsteht der Druck p F 1 S 1 displaystyle p tfrac F 1 S 1 nbsp im Wasser Dieser Druck pflanzt sich nach dem Pascalschen Druckfortpflanzungsgesetz in das Gefass fort und wirkt dort auf der gesamten Querschnittsflache S 2 displaystyle S 2 nbsp Darauf wird vom Wasser die resultierende Kraft F 2 p S 2 S 2 S 1 F 1 displaystyle F 2 p cdot S 2 tfrac S 2 S 1 F 1 nbsp ausgeubt die ein Vielfaches der Kraft F 1 displaystyle F 1 nbsp ist 2 37 Das hydraulische System ist eine machine pour multiplier les forces Maschine um Krafte zu multiplizieren Blaise Pascal 1653 5 Anwendung findet dieses Prinzip z B in der hydraulischen Presse Deren Wirkungsgrad wird nur durch die Reibung in den Kolbendichtungen geschmalert Viskositat der Flussigkeit hat auf das Kraftverhaltnis keinen Einfluss da im Endzustand statische Bedingungen herrschen 2 38Weblinks Bearbeiten nbsp Wikibooks Formelsammlung Hydrostatik Lern und Lehrmaterialien hydrostatische Grundgleichung In Lexikon der Geographie Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2001 spektrum de abgerufen am 3 April 2022 Einzelnachweise Bearbeiten a b c d e F Durst Grundlagen der Stromungsmechanik Springer 2006 ISBN 3 540 31323 0 a b c d e f g h i j k l H Sigloch Technische Fluidmechanik Springer Vieweg Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 54291 6 S 31 doi 10 1007 978 3 642 54292 3 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche abgerufen am 17 Marz 2020 a b H Oertel Hrsg Prandtl Fuhrer durch die Stromungslehre Grundlagen und Phanomene 13 Auflage Springer Vieweg 2012 ISBN 978 3 8348 1918 5 J H Spurk Stromungslehre Einfuhrung in die Theorie der Stromungen 8 uberarbeitete Auflage Springer Verlag Heidelberg Dordrecht London New York 2010 ISBN 978 3 642 13142 4 S 164 doi 10 1007 978 3 642 13143 1 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche abgerufen am 25 Marz 2022 Blaise Pascal Abhandlung uber das Gleichgewicht von Flussigkeiten und vom Gewicht der Masse der Luft Paris 1663 Chapitre II Pourquoi les Liqueurs pesent suivant leur hauteur S 6 franzosisch archive org abgerufen am 19 Februar 2022 Originaltitel Traitez de l equilibre des liqueurs et de la pesanteur de la masse de l air Posthume zweite Veroffentlichung Literatur BearbeitenDionysius Lardner Handbuch der Hydrostatik und Pneumatik Druck und Verlag von Gottfried Basse Quedlinburg und Leipzig 1836 Abel Burja Grundlehren der Hydrostatik Bei Lagarde und Friedrich Berlin 1790 Bruno Eck Technische Stromungslehre Springer Verlag Berlin Heidelberg GmbH Berlin Heidelberg 1949 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hydrostatik amp oldid 237169692