Unter Fuhrungskraft wird in der technischen Mechanik zweierlei verstanden Die Kraft die aus der Fuhrungsbeschleunigung eines beschleunigten Bezugssystems resultiert 1 282 und die ohne Berucksichtigung einer Relativbewegung im Bezugssystem ermittelt werden kann 2 und die Zwangskraft die bei gebundenen oder gefuhrten Bewegungen durch das Fuhrungselement ausgeubt wird siehe Fuhrungskraft Physik 1 44Dieser Artikel befasst sich mit ersterer Bedeutung Inhaltsverzeichnis 1 Fuhrungsgeschwindigkeit und beschleunigung 2 Fuhrungskraft 3 Beispiel 4 LiteraturFuhrungsgeschwindigkeit und beschleunigung BearbeitenSiehe auch Beschleunigtes Bezugssystem nbsp Inertialsystem K und beschleunigtes Koordinatensystem K Im physikalischen Raum wird eine Punktmasse P betrachtet die im Inertialsystem K den Ortsvektor r displaystyle vec r nbsp hat und die Masse m besitzt siehe Bild Am Ort R displaystyle vec R nbsp befindet sich ein beschleunigtes Bezugssystem K mit Orthonormalbasis e 1 2 3 die sich mit der Winkelgeschwindigkeit w displaystyle vec omega nbsp dreht Die Zeitableitung der Basisvektoren bildet sich mit ihr und dem Kreuzprodukt gemass e i w e i displaystyle dot hat e i vec omega times hat e i nbsp In K hat P den Ortsvektor r i 3 i e i r R displaystyle textstyle vec r sum i xi i hat e i vec r vec R nbsp Die Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit liefert die Geschwindigkeit von P und lautet in K r R r R i 3 i e i i 3 i e i R i 3 i e i v i 3 i w e i w r v R w r v f v v f v displaystyle begin aligned dot vec r amp dot vec R dot vec r dot vec R sum i dot xi i hat e i sum i xi i dot hat e i dot vec R overbrace sum i dot xi i hat e i vec v overbrace sum i xi i vec omega times hat e i vec omega times vec r rightarrow vec v amp underbrace dot vec R vec omega times vec r vec v f vec v vec v f vec v end aligned nbsp Nochmalige Zeitableitung liefert die Beschleunigung in K r R i 3 i e i a i 3 i e i i 3 i w e i 2 w v i 3 i w e i w r i 3 i w e i w w r a R w r w w r a f 2 w v a a f 2 w v a displaystyle begin aligned ddot vec r amp ddot vec R overbrace sum i ddot xi i hat e i vec a overbrace sum i dot xi i dot hat e i sum i dot xi i vec omega times hat e i 2 vec omega times vec v overbrace sum i xi i dot vec omega times hat e i dot vec omega times vec r overbrace sum i xi i vec omega times dot hat e i vec omega times vec omega times vec r rightarrow vec a amp underbrace ddot vec R dot vec omega times vec r vec omega times vec omega times vec r vec a f 2 vec omega times vec v vec a vec a f 2 vec omega times vec v vec a end aligned nbsp Die Bewegungsanteile die weder die Relativgeschwindigkeit v displaystyle vec v nbsp noch Relativbeschleunigung a displaystyle vec a nbsp enthalten bilden die Fuhrungsgeschwindigkeit bzw die Fuhrungsbeschleunigung v f R w r a f R w r w w r displaystyle begin aligned vec v f amp dot vec R vec omega times vec r vec a f amp ddot vec R dot vec omega times vec r vec omega times vec omega times vec r end aligned nbsp Fuhrungskraft BearbeitenMit der Fuhrungsbeschleunigung und der Masse m der Punktmasse lasst sich die Fuhrungskraft 1 282 in Form von folgender Vektorgleichung ausdrucken F f m a f m R w r w w r m R F Euler F Zentrifugal displaystyle vec F f m vec a f m big ddot vec R dot vec omega times vec r vec omega times vec omega times vec r big m ddot vec R vec F text Euler vec F text Zentrifugal nbsp Die beiden letzten Summanden sind die Eulerkraft und die Zentrifugalkraft Das zweite newtonsche Gesetz Kraft gleich Masse mal Beschleunigung lautet damit im Inertialsystem K m a m a f 2 w v a F displaystyle m vec a m vec a f 2 vec omega times vec v vec a vec F nbsp Im beschleunigten Bezugssystem K werden die Beschleunigung a displaystyle vec a nbsp und neben der Kraft F displaystyle vec F nbsp noch Scheinkrafte wahrgenommen 1 288 m a F m a f 2 w v F F f F c displaystyle m vec a vec F m vec a f 2 vec omega times vec v vec F vec F f vec F c nbsp mit F displaystyle vec F nbsp auf den Massenpunkt P wirkende KraftF f m a f displaystyle vec F f m vec a f nbsp Fuhrungskraft Scheinkraft F c 2 m w v displaystyle vec F c 2m vec omega times vec v nbsp Corioliskraft Scheinkraft Wenn sich K gleichformig bewegt ist R w w 0 displaystyle ddot vec R vec omega dot vec omega vec 0 nbsp und somit a f 2 w v 0 displaystyle vec a f 2 vec omega times vec v vec 0 nbsp sowie F f F c 0 displaystyle vec F f vec F c vec 0 nbsp K ist ein Inertialsystem geworden in dem keine Scheinkrafte mehr auftreten Beispiel Bearbeiten nbsp Bewegung einer Masse m entlang einer SchraubenlinieBetrachtet wird eine Punktmasse mit der Masse m die sich mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit f W displaystyle dot varphi Omega nbsp auf einer Schraubenlinie mit Radius R um einen Punkt s displaystyle vec s nbsp bewegt der sich mit konstanter Translationsgeschwindigkeit v s displaystyle vec v s nbsp verschiebt siehe Bild Das Bezugssystem K wird in den Punkt R s displaystyle vec R vec s nbsp gelegt mit der festen Position des Massenpunktes r R e r displaystyle vec r R hat e rho nbsp in K Dann lautet die Bewegungsfunktion r s R e r displaystyle vec r vec s R hat e rho nbsp Die Basisvektoren er f schwarze Pfeile bezeichnen wie in einem Zylinderkoordinatensystem die radiale bzw die azimutale Richtung und die Drehachse ez ist zu ihnen senkrecht sodass er f z ein Rechtssystem bilden Mit der Winkelgeschwindigkeit w W e z displaystyle vec omega Omega hat e z nbsp berechnen sich die Zeitableitungen der Basisvektoren e r w e r W e f und e f w e f W e r displaystyle dot hat e rho vec omega times hat e rho Omega hat e varphi quad text und quad dot hat e varphi vec omega times hat e varphi Omega hat e rho nbsp Damit liegen die Fuhrungsgeschwindigkeit und beschleunigung fest v f R w r v s W e z R e r v s W R e f a f R 0 w 0 r w w r W e z W e z R e r W e z W R e f W 2 R e r displaystyle begin aligned vec v f amp dot vec R vec omega times vec r vec v s Omega hat e z times R hat e rho vec v s Omega R hat e varphi vec a f amp underbrace ddot vec R vec 0 underbrace dot vec omega vec 0 times vec r vec omega times vec omega times vec r Omega hat e z times Omega hat e z times R hat e rho Omega hat e z times Omega R hat e varphi Omega 2 R hat e rho end aligned nbsp Die Fuhrungskraft F f m a f m W 2 R e r displaystyle vec F f m vec a f m Omega 2 R hat e rho nbsp ist die Zentrifugalkraft die fur den Beobachter in K scheinbar auf die Punktmasse wirkt und die er durch eine entgegengesetzte Kraft die Zentripetalkraft ausgleichen muss damit die Punktmasse in K ruht und im Inertialsystem das sich mit der gleichbleibenden Geschwindigkeit s R displaystyle dot vec s dot vec R nbsp bewegt eine Kreisbewegung um s displaystyle vec s nbsp ausfuhrt Literatur Bearbeiten a b c d D Gross W Hauger J Schroder W A Wall Technische Mechanik 3 Kinetik 11 Auflage Springer Vieweg Verlag Heidelberg 2010 ISBN 978 3 642 11263 8 doi 10 1007 978 3 642 11264 5 Relativbewegung des Massenpunktes Jurgen Dankert Helga Dankert Technische Mechanik Statik Festigkeitslehre Kinematik Kinetik 5 Auflage Vieweg Teubner 2009 ISBN 978 3 8351 0177 7 S 505 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Fuhrungskraft Technische Mechanik amp oldid 221701420
