Die Pauli Matrizen s 1 s 2 s 3 displaystyle sigma 1 sigma 2 sigma 3 nach Wolfgang Pauli sind spezielle komplexe hermitesche 2 2 Matrizen Zusammen mit der 2 2 Einheitsmatrix die in diesem Zusammenhang mit s 0 displaystyle sigma 0 bezeichnet wird bilden sie sowohl eine Basis des 4 dimensionalen reellen Vektorraums aller komplexen hermiteschen 2 2 Matrizen als auch eine Basis des 4 dimensionalen komplexen Vektorraums aller komplexen 2 2 Matrizen Sie wurden von Wolfgang Pauli 1927 zur Beschreibung des Spins eingefuhrt 1 waren in der Mathematik aber auch schon vorher bekannt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Multiplikation 3 Dekomposition von Matrizen 3 1 Hermitesche 2 2 Matrizen 3 2 Die Quaternionen als Unterring von C4 4 Anwendung 5 Darstellung 6 Eigenschaften 7 Zugeordnete Drehgruppe Zusammenhang mit Spin 1 2 Systemen 8 Eigenvektoren 9 Kronecker Produkt von Pauli Matrizen 9 1 Naherung der Exponentialfunktion des Hamilton Operators 10 Siehe auch 11 Literatur 12 Weblinks 13 Einzelnachweise und AnmerkungenDefinition BearbeitenDie Pauli Matrizen lauten ursprunglich s 1 0 1 1 0 s 2 0 i i 0 s 3 1 0 0 1 displaystyle sigma 1 begin pmatrix 0 amp 1 1 amp 0 end pmatrix quad sigma 2 begin pmatrix 0 amp mathrm i mathrm i amp 0 end pmatrix quad sigma 3 begin pmatrix 1 amp 0 0 amp 1 end pmatrix nbsp Hierbei bezeichnet i displaystyle mathrm i nbsp die imaginare Einheit Die Matrizen wurden ursprunglich in der Quantenmechanik eingefuhrt um die grundlegenden Kommutationsregeln der Komponenten des Spin Operators zu erfullen siehe unten Haufig wird besonders in der relativistischen Quantenmechanik noch die Einheitsmatrix als nullte Paulimatrix dazugenommen s 0 1 0 0 1 displaystyle sigma 0 begin pmatrix 1 amp 0 0 amp 1 end pmatrix nbsp Multiplikation BearbeitenFur die Multiplikation einer Pauli Matrix mit einer anderen Pauli Matrix ergibt sich aus den Rechenregeln der Matrixmultiplikation folgende Tafel displaystyle cdot nbsp s 0 displaystyle sigma 0 nbsp s 1 displaystyle sigma 1 nbsp s 2 displaystyle sigma 2 nbsp s 3 displaystyle sigma 3 nbsp s 0 displaystyle sigma 0 nbsp s 0 displaystyle sigma 0 nbsp s 1 displaystyle sigma 1 nbsp s 2 displaystyle sigma 2 nbsp s 3 displaystyle sigma 3 nbsp s 1 displaystyle sigma 1 nbsp s 1 displaystyle sigma 1 nbsp s 0 displaystyle sigma 0 nbsp i s 3 displaystyle mathrm i sigma 3 nbsp i s 2 displaystyle mathrm i sigma 2 nbsp s 2 displaystyle sigma 2 nbsp s 2 displaystyle sigma 2 nbsp i s 3 displaystyle mathrm i sigma 3 nbsp s 0 displaystyle sigma 0 nbsp i s 1 displaystyle mathrm i sigma 1 nbsp s 3 displaystyle sigma 3 nbsp s 3 displaystyle sigma 3 nbsp i s 2 displaystyle mathrm i sigma 2 nbsp i s 1 displaystyle mathrm i sigma 1 nbsp s 0 displaystyle sigma 0 nbsp Das Produkt s i s j displaystyle sigma i cdot sigma j nbsp befindet sich in der mit s i displaystyle sigma i nbsp gekennzeichneten Zeile und der mit s j displaystyle sigma j nbsp gekennzeichneten Spalte Das Beispiel s 2 s 1 i s 3 displaystyle sigma 2 cdot sigma 1 mathrm i sigma 3 nbsp zeigt dass die Pauli Matrizen mit der Matrixmultiplikation als Verknupfung keine Gruppe bilden Die von ihnen erzeugte Gruppe hat den Namen G 16 10 displaystyle G 16 10 nbsp 2 Sie enthalt das Element s 1 s 2 s 3 i s 0 i 0 0 i displaystyle sigma 1 cdot sigma 2 cdot sigma 3 mathrm i sigma 0 left begin smallmatrix mathrm i amp 0 0 amp mathrm i end smallmatrix right nbsp welches im Zentrum liegt also mit allen Elementen kommutiert Die Gruppe G 16 10 displaystyle G 16 10 nbsp besteht somit aus den 16 Elementen i j s k j k 0 1 2 3 displaystyle mathrm i j sigma k j k 0 1 2 3 nbsp Sie enthalt die Quaternionengruppe Q 8 als Normalteiler siehe Die Quaternionen als Unterring von C4 und Liste kleiner Gruppen woraus sich G 16 10 Q 8 s 0 s 1 displaystyle G 16 10 cong Q 8 rtimes sigma 0 sigma 1 nbsp ergibt Der Zykel Graph ist nbsp 3 Dekomposition von Matrizen BearbeitenGegeben sei eine komplexe 2 2 Matrix A displaystyle mathbf A nbsp mit den Elementen a i j i j 0 1 a i j C displaystyle left a ij i j in left 0 1 right a ij in mathbb C right nbsp Dann lassen sich komplexe Zahlen z i i 0 1 2 3 z i C displaystyle left z i i in left 0 1 2 3 right z i in mathbb C right nbsp finden fur die gilt A displaystyle mathbf A nbsp a 00 a 01 a 10 a 11 z 0 z 3 z 1 i z 2 z 1 i z 2 z 0 z 3 displaystyle begin pmatrix a 00 amp a 01 a 10 amp a 11 end pmatrix begin pmatrix z 0 z 3 amp z 1 mathrm i z 2 z 1 mathrm i z 2 amp z 0 z 3 end pmatrix nbsp z 0 1 0 0 1 displaystyle z 0 begin pmatrix 1 amp 0 0 amp 1 end pmatrix nbsp z 1 0 1 1 0 displaystyle z 1 begin pmatrix 0 amp 1 1 amp 0 end pmatrix nbsp z 2 0 i i 0 displaystyle z 2 begin pmatrix 0 amp mathrm i mathrm i amp 0 end pmatrix nbsp z 3 1 0 0 1 displaystyle z 3 begin pmatrix 1 amp 0 0 amp 1 end pmatrix nbsp z 0 s 0 displaystyle z 0 sigma 0 nbsp z 1 s 1 displaystyle z 1 sigma 1 nbsp z 2 s 2 displaystyle z 2 sigma 2 nbsp z 3 s 3 displaystyle z 3 sigma 3 nbsp Es gelten die Umrechnungen a 00 z 0 z 3 a 01 z 1 i z 2 a 10 z 1 i z 2 a 11 z 0 z 3 displaystyle a 00 z 0 z 3 quad a 01 z 1 mathrm i z 2 quad a 10 z 1 mathrm i z 2 quad a 11 z 0 z 3 nbsp bzw z 0 a 00 a 11 2 z 1 a 01 a 10 2 z 2 i a 01 a 10 2 z 3 a 00 a 11 2 displaystyle z 0 frac a 00 a 11 2 quad z 1 frac a 01 a 10 2 quad z 2 mathrm i frac a 01 a 10 2 quad z 3 frac a 00 a 11 2 nbsp Eine komplexe 2 2 Matrix kann demnach als Linearkombination der s i displaystyle sigma i nbsp geschrieben werden und diese Darstellung ist eindeutig Die Pauli Matrizen bilden also eine Basis des C displaystyle mathbb C nbsp Vektorraums und Matrizenrings C 2 2 displaystyle mathbb C 2 times 2 nbsp und diese Basis ist eine orthogonale unter dem Frobenius Skalarprodukt Die Umrechnungen definieren einen Ringisomorphismus C 2 2 C 4 displaystyle mathbb C 2 times 2 to mathbb C 4 nbsp mit der ublichen Vektoraddition der ublichen C displaystyle mathbb C nbsp Skalarmultiplikation und der Vektor Multiplikation x 0 x 1 x 2 x 3 y 0 y 1 y 2 y 3 displaystyle x 0 x 1 x 2 x 3 star y 0 y 1 y 2 y 3 nbsp x 0 y 0 x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 displaystyle x 0 y 0 x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 nbsp x 0 y 1 x 1 y 0 i x 2 y 3 i x 3 y 2 displaystyle x 0 y 1 x 1 y 0 mathrm i x 2 y 3 mathrm i x 3 y 2 nbsp x 0 y 2 i x 1 y 3 x 2 y 0 i x 3 y 1 displaystyle x 0 y 2 mathrm i x 1 y 3 x 2 y 0 mathrm i x 3 y 1 nbsp x 0 y 3 i x 1 y 2 i x 2 y 1 x 3 y 0 displaystyle x 0 y 3 mathrm i x 1 y 2 mathrm i x 2 y 1 x 3 y 0 nbsp in C 4 displaystyle mathbb C 4 nbsp Zwei Vektoren sind genau dann miteinander vertauschbar wenn x 2 y 3 x 3 y 2 x 2 x 3 y 2 y 3 0 x 3 y 1 x 1 y 3 x 3 x 1 y 3 y 1 0 x 1 y 2 x 2 y 1 x 1 x 2 y 1 y 2 0 displaystyle begin aligned amp x 2 y 3 x 3 y 2 begin vmatrix x 2 amp x 3 y 2 amp y 3 end vmatrix 0 amp x 3 y 1 x 1 y 3 begin vmatrix x 3 amp x 1 y 3 amp y 1 end vmatrix 0 amp x 1 y 2 x 2 y 1 begin vmatrix x 1 amp x 2 y 1 amp y 2 end vmatrix 0 end aligned nbsp wenn also die Vektorteile x 1 x 2 x 3 displaystyle x 1 x 2 x 3 nbsp und y 1 y 2 y 3 displaystyle y 1 y 2 y 3 nbsp C displaystyle mathbb C nbsp linear voneinander abhangen Die inverse Matrix von A z 0 s 0 z 1 s 1 z 2 s 2 z 3 s 3 displaystyle mathbf A z 0 sigma 0 z 1 sigma 1 z 2 sigma 2 z 3 sigma 3 nbsp berechnet sich im Fall von z 0 2 z 1 2 z 2 2 z 3 2 0 displaystyle z 0 2 z 1 2 z 2 2 z 3 2 neq 0 nbsp hieraus zu A 1 z 0 s 0 z 1 s 1 z 2 s 2 z 3 s 3 z 0 2 z 1 2 z 2 2 z 3 2 displaystyle mathbf A 1 frac z 0 sigma 0 z 1 sigma 1 z 2 sigma 2 z 3 sigma 3 z 0 2 z 1 2 z 2 2 z 3 2 nbsp Hermitesche 2 2 Matrizen Bearbeiten Die Teilmenge der hermiteschen 2 2 Matrizen also der Matrizen A displaystyle mathbf A nbsp mit A A T displaystyle mathbf A overline mathbf A mathrm T nbsp ist ein R displaystyle mathbb R nbsp Untervektorraum fur den die Pauli Matrizen ebenfalls eine Basis bilden die Koeffizienten z i displaystyle z i nbsp sind aber reell Anders gesagt es gibt bei hermiteschen 2 2 Matrizen vier reelle freie Parameter da a 00 displaystyle a 00 nbsp und a 11 displaystyle a 11 nbsp reell sind und a 01 a 10 displaystyle a 01 overline a 10 nbsp Das Produkt zweier hermitescher Matrizen ist hermitesch wenn sie kommutieren Der Untervektorraum ist also kein Unter ring Die Quaternionen als Unterring von C4 Bearbeiten Ein Unter ring ist aber ein anderer Untervektorraum von C 4 displaystyle mathbb C 4 nbsp der sich durch Koeffizienten z 0 R displaystyle z 0 in mathbb R nbsp z 1 i R displaystyle z 1 in mathrm i mathbb R nbsp z 2 i R displaystyle z 2 in mathrm i mathbb R nbsp z 3 i R displaystyle z 3 in mathrm i mathbb R nbsp von s 0 s 1 s 2 s 3 displaystyle sigma 0 sigma 1 sigma 2 sigma 3 nbsp aufspannen lasst Er ist ebenfalls mit der R displaystyle mathbb R nbsp Skalarmultiplikation vertraglich und zusatzlich hinsichtlich der Multiplikation displaystyle star nbsp abgeschlossen Dieser R displaystyle mathbb R nbsp Untervektorraum ist isomorph zu den Quaternionen H displaystyle mathbb H nbsp Als Basis fur reelle Koeffizienten kann man die mit der imaginaren Einheit multiplizierten Pauli Matrizen zusammen mit der Einheitsmatrix nehmen also die Menge s 0 i s 1 i s 2 i s 3 displaystyle sigma 0 mathrm i sigma 1 mathrm i sigma 2 mathrm i sigma 3 nbsp mit der isomorphen Zuordnung 1 s 0 i H i s 1 j H i s 2 k H i s 3 displaystyle 1 mapsto sigma 0 quad i mathbb H mapsto mathrm i sigma 1 quad j mathbb H mapsto mathrm i sigma 2 quad k mathbb H mapsto mathrm i sigma 3 nbsp mit i H j H k H displaystyle i mathbb H j mathbb H k mathbb H nbsp als den bekannten Einheitsquaternionen Vor diese Zuordnung lasst sich jeder der 24 Automorphismen der Quaternionengruppe Q 8 schalten So kann auch ein Isomorphismus in umgekehrter Ordnung gebaut werden 4 1 s 0 i H i s 3 j H i s 2 k H i s 1 displaystyle 1 mapsto sigma 0 quad i mathbb H mapsto mathrm i sigma 3 quad j mathbb H mapsto mathrm i sigma 2 quad k mathbb H mapsto mathrm i sigma 1 nbsp Anwendung BearbeitenIn der Quantenphysik in der den physikalischen Observablen auf mathematischer Seite hermitesche Operatoren bzw Matrizen entsprechen wird der Drehimpulsoperator S i i 1 2 3 displaystyle hat S i i in 1 2 3 nbsp von Spin Zustanden beispielsweise bei Elektronen durch die Paulimatrizen dargestellt S i ℏ 2 s i displaystyle hat S i doteq tfrac hbar 2 sigma i nbsp wobei displaystyle doteq nbsp wird dargestellt durch bedeutet In der relativistischen Quantenmechanik wo man entsprechend dem relativistischen Vierervektor Formalismus vier Raum Zeit bzw Energie Impuls Variablen hat tritt die Einheitsmatrix gleichberechtigt zu den drei Pauli Matrizen als nullte Pauli Matrix und es wird mit ihrer Hilfe die Dirac Gleichung mit den Dirac Matrizen aufgebaut Direkt tauchen die Pauli Matrizen in der Pauli Gleichung zur quantenmechanischen Beschreibung von Teilchen mit Spin im Magnetfeld auf die sich aus der nichtrelativistischen Reduktion der Diracgleichung ergibt und in der Beschreibung von Majorana Fermionen Majorana Gleichung Darstellung BearbeitenDie Pauli Matrizen konnen neben der Darstellung als Matrizen mit Hilfe der Dirac Notation dargestellt werden Dabei konnen fur die Linearkombination entweder die Standard Basisvektoren oder die Eigenvektoren der Pauli Matrizen verwendet werden Pauli Matrix Matrix Linearkombination Standard Basisvektoren Linearkombination Eigenvektoren s 1 s x displaystyle sigma 1 sigma x nbsp 0 1 1 0 displaystyle begin pmatrix 0 amp 1 1 amp 0 end pmatrix nbsp 0 1 1 0 displaystyle 0 rangle langle 1 1 rangle langle 0 nbsp displaystyle rangle langle rangle langle nbsp s 2 s y displaystyle sigma 2 sigma y nbsp 0 i i 0 displaystyle begin pmatrix 0 amp mathrm i mathrm i amp 0 end pmatrix nbsp i 1 0 0 1 displaystyle mathrm i left 1 rangle langle 0 0 rangle langle 1 right nbsp ϕ ϕ ϕ ϕ displaystyle phi rangle langle phi phi rangle langle phi nbsp s 3 s z displaystyle sigma 3 sigma z nbsp 1 0 0 1 displaystyle begin pmatrix 1 amp 0 0 amp 1 end pmatrix nbsp 0 0 1 1 displaystyle 0 rangle langle 0 1 rangle langle 1 nbsp 0 0 1 1 displaystyle 0 rangle langle 0 1 rangle langle 1 nbsp Die verwendeten Vektoren sind wie folgt definiert wobei die verwendeten Kets durch Vektoren des C 2 displaystyle mathbb C 2 nbsp dargestellt werden was durch displaystyle doteq nbsp gekennzeichnet ist 0 s z displaystyle 0 rangle s z rangle nbsp 1 0 displaystyle doteq begin pmatrix 1 0 end pmatrix nbsp 1 s z displaystyle 1 rangle s z rangle nbsp 0 1 displaystyle doteq begin pmatrix 0 1 end pmatrix nbsp displaystyle rangle nbsp 1 2 1 1 displaystyle doteq frac 1 sqrt 2 begin pmatrix 1 1 end pmatrix nbsp displaystyle rangle nbsp 1 2 1 1 displaystyle doteq frac 1 sqrt 2 begin pmatrix 1 1 end pmatrix nbsp ϕ displaystyle phi rangle nbsp 1 2 1 i displaystyle doteq frac 1 sqrt 2 begin pmatrix 1 mathrm i end pmatrix nbsp ϕ displaystyle phi rangle nbsp 1 2 1 i displaystyle doteq frac 1 sqrt 2 begin pmatrix 1 mathrm i end pmatrix nbsp Eigenschaften BearbeitenDie Pauli Matrizen sind hermitesch und unitar Daraus folgt mit dem durch s 0 1 0 0 1 displaystyle sigma 0 begin pmatrix 1 amp 0 0 amp 1 end pmatrix nbsp definierten vierten Basiselement s 1 2 s 2 2 s 3 2 s 0 2 s 0 displaystyle sigma 1 2 sigma 2 2 sigma 3 2 sigma 0 2 sigma 0 nbsp Die Determinanten und Spuren der Pauli Matrizen sind det s i 1 tr s i 0 displaystyle begin matrix det sigma i amp amp 1 amp 1ex operatorname tr sigma i amp amp 0 amp end matrix nbsp fur i 1 2 3 displaystyle i 1 2 3 nbsp Aus Obigem folgt dass jede Pauli Matrix s i displaystyle mathbf sigma i nbsp die Eigenwerte 1 und 1 besitzt Des Weiteren s 1 s 2 s 3 i s 0 displaystyle sigma 1 sigma 2 sigma 3 mathrm i sigma 0 nbsp Die Pauli Matrizen erfullen die algebraische Relation s i s j d i j s 0 i k 1 3 ϵ i j k s k displaystyle sigma i sigma j delta ij sigma 0 mathrm i sum k 1 3 epsilon ijk sigma k nbsp fur i j 1 2 3 displaystyle i j 1 2 3 nbsp ϵ i j k displaystyle epsilon ijk nbsp ist das Levi Civita Symbol also insbesondere bis auf einen Faktor 2 dieselben Relationen wie die Drehimpulsalgebra s i s j s i s j s j s i 2 i k 1 3 ϵ i j k s k displaystyle sigma i sigma j sigma i sigma j sigma j sigma i 2 mathrm i sum k 1 3 epsilon ijk sigma k nbsp fur i j 1 2 3 displaystyle i j 1 2 3 nbsp und die Clifford oder Dirac Algebra C l 0 3 R displaystyle mathrm Cl 0 3 mathbb R nbsp s i s j s i s j s j s i 2 d i j s 0 displaystyle sigma i sigma j sigma i sigma j sigma j sigma i 2 delta ij sigma 0 nbsp fur i j 1 2 3 displaystyle i j 1 2 3 nbsp Die Pauli Matrizen gehoren zum Spezialfall l 1 2 displaystyle l 1 2 nbsp von Drehimpulsoperatoren die auf Basisvektoren L m displaystyle Lambda m nbsp eines Drehimpuls l displaystyle l nbsp Multipletts mit Quantenzahlen m displaystyle m nbsp in Masssystemen mit ℏ 1 displaystyle hbar 1 nbsp folgendermassen wirken L 3 L m m L m m l l 1 l displaystyle L 3 Lambda m m Lambda m m in l l 1 dots l nbsp L L m l m l m 1 L m 1 displaystyle L Lambda m sqrt l m l m 1 Lambda m 1 nbsp L L m l m l m 1 L m 1 displaystyle L Lambda m sqrt l m l m 1 Lambda m 1 nbsp Dabei ist 2 l 1 displaystyle 2l 1 nbsp eine naturliche Zahl und fur m displaystyle m nbsp treten die 2 l 1 displaystyle 2l 1 nbsp verschiedenen Quantenzahlen m l l 1 l displaystyle m l l 1 dots l nbsp auf Fur l 1 2 displaystyle l 1 2 nbsp wirken die Drehimpulsoperatoren auf die Komponenten von Linearkombinationen der beiden Basisvektoren L 1 2 displaystyle Lambda 1 2 nbsp und L 1 2 displaystyle Lambda 1 2 nbsp demnach durch Multiplikation mit den folgenden Matrizen L 3 1 2 1 0 0 1 L 0 1 0 0 L 0 0 1 0 displaystyle L 3 frac 1 2 begin pmatrix 1 amp 0 0 amp 1 end pmatrix L begin pmatrix 0 amp 1 0 amp 0 end pmatrix L begin pmatrix 0 amp 0 1 amp 0 end pmatrix nbsp Mit L 1 1 2 L L displaystyle L 1 frac 1 2 L L nbsp und L 2 1 2 i L L displaystyle L 2 frac 1 2 mathrm i L L nbsp ergibt sich dann dass die Drehimpulsoperatoren auf die Komponenten von Spin 1 2 Zustanden durch Multiplikation mit den halben Pauli Matrizen wirken Zugeordnete Drehgruppe Zusammenhang mit Spin 1 2 Systemen BearbeitenDie lineare Hulle der mit i displaystyle mathrm i nbsp multiplizierten 5 Pauli Matrizen i s 1 i s 2 i s 3 displaystyle mathrm i sigma 1 mathrm i sigma 2 mathrm i sigma 3 nbsp ist mit der ublichen Matrizenmultiplikation eine Lie Algebra Aufgrund der mit n s n 1 s 1 n 2 s 2 n 3 s 3 displaystyle vec n cdot vec sigma n 1 sigma 1 n 2 sigma 2 n 3 sigma 3 nbsp fur jeden Einheitsvektor n R 3 displaystyle vec n in mathbb R 3 nbsp geltenden Identitat 6 exp i a 2 n s s 0 cos a 2 i n s sin a 2 displaystyle exp left mathrm i tfrac alpha 2 vec n cdot vec sigma right sigma 0 cos tfrac alpha 2 mathrm i vec n cdot vec sigma sin tfrac alpha 2 nbsp sind diese drei Matrizen die Generatoren der komplexen Drehgruppe S U 2 displaystyle SU 2 nbsp Der Faktor 1 2 in der obigen Gleichung ist zwar mathematisch verzichtbar Die Gleichung wird jedoch in der physikalischen Anwendung haufig in genau dieser Form benotigt Denn wie in der Einleitung erwahnt stellen in der Quantenphysik die Matrizen S i ℏ 2 s i displaystyle S i tfrac hbar 2 sigma i nbsp die Operatoren fur die Spinkomponenten eines Spin 1 2 Systems beispielsweise eines Elektrons dar Andererseits beschreibt die durch den Exponentialausdruck gegebene Matrix die Veranderung des Spinzustands bei einer raumlichen Drehung a displaystyle alpha nbsp ist dabei der Drehwinkel n displaystyle vec n nbsp die Drehachse Fur a 2 p displaystyle alpha 2 pi nbsp ergibt sich exp i p n s s 0 displaystyle exp bigl mathrm i pi vec n cdot vec sigma bigr sigma 0 nbsp d h der Zustandsvektor eines Spin 1 2 Systems wird durch Drehung um den Winkel 2 p displaystyle 2 pi nbsp in sein Negatives und erst durch Drehung um den Winkel 4 p displaystyle 4 pi nbsp wieder in sich selbst ubergefuhrt Spinordrehungen Eigenvektoren BearbeitenDie Matrix s 3 displaystyle sigma 3 nbsp hat die Eigenvektoren x 31 1 0 x 32 0 1 displaystyle chi 31 begin pmatrix 1 0 end pmatrix quad chi 32 begin pmatrix 0 1 end pmatrix nbsp wie man leicht erkennen kann s 3 x 31 1 0 0 1 1 0 1 0 s 3 x 32 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 displaystyle sigma 3 chi 31 begin pmatrix 1 amp 0 0 amp 1 end pmatrix begin pmatrix 1 0 end pmatrix begin pmatrix 1 0 end pmatrix quad sigma 3 chi 32 begin pmatrix 1 amp 0 0 amp 1 end pmatrix begin pmatrix 0 1 end pmatrix begin pmatrix 0 1 end pmatrix 1 begin pmatrix 0 1 end pmatrix nbsp entsprechend den Eigenwerten 1 displaystyle pm 1 nbsp Die Eigenvektoren von s 1 displaystyle sigma 1 nbsp sind x 11 1 1 x 12 1 1 displaystyle chi 11 begin pmatrix 1 1 end pmatrix quad chi 12 begin pmatrix 1 1 end pmatrix nbsp s 1 x 11 0 1 1 0 1 1 1 1 s 1 x 12 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 displaystyle sigma 1 chi 11 begin pmatrix 0 amp 1 1 amp 0 end pmatrix begin pmatrix 1 1 end pmatrix begin pmatrix 1 1 end pmatrix quad sigma 1 chi 12 begin pmatrix 0 amp 1 1 amp 0 end pmatrix begin pmatrix 1 1 end pmatrix begin pmatrix 1 1 end pmatrix 1 begin pmatrix 1 1 end pmatrix nbsp und die Eigenvektoren von s 2 displaystyle sigma 2 nbsp x 21 1 i x 22 i 1 displaystyle chi 21 begin pmatrix 1 mathrm i end pmatrix quad chi 22 begin pmatrix mathrm i 1 end pmatrix nbsp s 2 x 21 0 i i 0 1 i 1 i s 2 x 22 0 i i 0 i 1 i 1 1 i 1 displaystyle sigma 2 chi 21 begin pmatrix 0 amp mathrm i mathrm i amp 0 end pmatrix begin pmatrix 1 mathrm i end pmatrix begin pmatrix 1 mathrm i end pmatrix quad sigma 2 chi 22 begin pmatrix 0 amp mathrm i mathrm i amp 0 end pmatrix begin pmatrix mathrm i 1 end pmatrix begin pmatrix mathrm i 1 end pmatrix 1 begin pmatrix mathrm i 1 end pmatrix nbsp Kronecker Produkt von Pauli Matrizen BearbeitenIn der Mathematik konnen mit Hilfe des Tensorprodukts Kronecker Produkts von Pauli Matrizen mit Einheitsmatrix die Darstellungen der hoheren Clifford Algebren uber den reellen Zahlen aufgebaut werden Pauli Matrizen konnen zur Darstellung von Hamilton Operatoren und zur Naherung der Exponentialfunktion solcher Operatoren verwendet werden Sind s 0 s 1 s 2 s 3 displaystyle sigma 0 sigma 1 sigma 2 sigma 3 nbsp die vier Pauli Matrizen so kann man mit Hilfe des Kronecker Produkt hoherdimensionale Matrizen erzeugen p s m 1 s m 2 s m n m 1 m 2 m n 0 1 2 3 n N displaystyle p sigma mu 1 otimes sigma mu 2 otimes otimes sigma mu n quad quad mu 1 mu 2 mu n in 0 1 2 3 quad quad n in mathbb N nbsp Eigenschaften der Pauli Matrizen vererben sich auf diese Matrizen Sind p 1 displaystyle p 1 nbsp und p 2 displaystyle p 2 nbsp zwei Kronecker Produkte von Pauli Matrizen so gilt p 1 displaystyle p 1 nbsp und p 2 displaystyle p 2 nbsp sind 2 n 2 n displaystyle 2 n times 2 n nbsp Matrizen p 1 2 p 2 2 1 displaystyle p 1 2 p 2 2 1 qquad nbsp Die 2 n 2 n displaystyle 2 n times 2 n nbsp Einheitsmatrix p 1 p 2 p 2 p 1 displaystyle p 1 p 2 p 2 p 1 nbsp oder p 1 p 2 p 2 p 1 displaystyle p 1 p 2 p 2 p 1 qquad nbsp Kommutativitat Spur s m 1 s m 2 s m n 2 n d m 1 0 d m 2 0 d m n 0 displaystyle operatorname Spur sigma mu 1 otimes sigma mu 2 otimes otimes sigma mu n 2 n delta mu 1 0 delta mu 2 0 delta mu n 0 nbsp Die Kronecker Produkte von Pauli Matrizen sind linear unabhangig und bilden eine Basis im Vektorraum der 2 n 2 n displaystyle 2 n times 2 n nbsp Matrizen Hamilton Operatoren H displaystyle H nbsp vieler physikalischer Modelle lassen sich aufgrund der Basiseigenschaft als Summe solcher Matrizen ausdrucken Linearkombination Insbesondere lassen sich Erzeuger und Vernichter von Fermionen die endlich viele Zustande einnehmen konnen einfach durch sie ausdrucken H k 0 N h k p k displaystyle H sum k 0 N h k p k quad nbsp mit N N h k R p k displaystyle quad N in mathbb N h k in mathbb R p k nbsp ist Kronecker Produkt von Pauli Matrizen Beispiele fur derartige Modelle sind Hubbard Modell Heisenberg Modell und Anderson Modell Das Kronecker Produkt von Pauli Matrizen tritt bei der Beschreibung von Spin 1 2 Systemen auf die aus mehreren Teilsystemen aufgebaut sind Der Zusammenhang ist dadurch gegeben dass das Tensorprodukt zweier Operatoren in der zugehorigen Matrixdarstellung gerade durch das Kronecker Produkt der Matrizen gegeben ist siehe Kronecker Produkt Zusammenhang mit Tensorprodukten Naherung der Exponentialfunktion des Hamilton Operators Bearbeiten Haufig interessiert man sich fur die Exponentialfunktion des Hamilton Operators exp b H l 0 b l l k 0 N h k p k l displaystyle exp beta H sum l 0 infty frac beta l l biggl sum k 0 N h k p k biggr l nbsp mit b R displaystyle beta in mathbb R nbsp Aufgrund der Kommutativitat kann man in einem Produkt die Matrizen beliebig anordnen Ist p displaystyle pi nbsp eine Permutation so ist p p 1 p p 2 p p n a p 1 p 2 p n displaystyle p pi 1 p pi 2 p pi n ap 1 p 2 p n nbsp mit n N a 1 1 displaystyle n in mathbb N a in 1 1 nbsp Deshalb existieren rationale Zahlen E k 1 k 2 k N displaystyle E k 1 k 2 k N nbsp mit exp b H k 1 0 k 2 0 k N 0 E k 1 k 2 k N b h 1 k 1 b h 2 k 2 b h N k N p 1 k 1 p 2 k 2 p N k N displaystyle exp beta H sum k 1 0 infty sum k 2 0 infty sum k N 0 infty E k 1 k 2 k N beta h 1 k 1 beta h 2 k 2 beta h N k N p 1 k 1 p 2 k 2 p N k N nbsp Diese rationalen Zahlen sind von Ausnahmen abgesehen schwer zu berechnen Eine erste Naherung ergibt sich indem man nur Summanden berucksichtigt die aus kommutierenden Matrizen bestehen E k 1 k 2 k N 0 displaystyle E k 1 k 2 k N 0 nbsp falls ein Paar 1 a b N displaystyle 1 leq a b leq N nbsp mit p a p b p b p a displaystyle p a p b p b p a nbsp und k a k b gt 0 displaystyle k a k b gt 0 nbsp existiert E k 1 k 2 k N 1 k 1 1 k 2 1 k N displaystyle E k 1 k 2 k N frac 1 k 1 frac 1 k 2 frac 1 k N nbsp sonstDie Naherung lasst sich weiter verbessern indem man Paare Tripel von nicht kommutierenden Matrizen berucksichtigt Siehe auch BearbeitenGell Mann MatrizenLiteratur BearbeitenWilli Hans Steeb Kronecker Product of Matrices and Applications B I Wissenschaftsverlag Mannheim 1991 ISBN 3 411 14811 X Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Pauli Matrices In MathWorld englisch Einzelnachweise und Anmerkungen Bearbeiten Wolfgang Pauli Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons In Zeitschrift fur Physik Band 43 1927 S 601 Nummerierung nach The Small Groups library zitiert nach R J Mathar Zykel Graphen Plots endlicher Gruppen bis zur Ordnung 36 2014 abgerufen im 1 Januar 1 R J Mathar Zykel Graphen Plots endlicher Gruppen bis zur Ordnung 36 2014 abgerufen im 1 Januar 1 Mikio Nakahara Geometry topology and physics CRC Press 2003 S xxii ff Google Books Durch die Multiplikation mit i displaystyle pm mathrm i nbsp entstehen aus hermiteschen Matrizen schiefhermitesche Matrizen Eine Darstellung mit Hilfe von Hermiteschen Operatoren und Matrizen wird von Physikern bevorzugt weil in der Quantenmechanik messbare Grossen sog Observablen stets durch Hermitesche Operatoren beschrieben werden Charles Misner Kip S Thorne John A Wheeler Gravitation W H Freeman San Francisco 1973 ISBN 0 7167 0344 0 S 1142 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Pauli Matrizen amp oldid 239072901
