Die Gell Mann Matrizen benannt nach Murray Gell Mann sind eine mogliche Darstellung der infinitesimalen Generatoren der speziellen unitaren Gruppe SU 3 Diese Gruppe hat acht hermitesche Generatoren die man als T j displaystyle T j mit j 1 8 displaystyle j 1 dotsc 8 schreiben kann Sie erfullen die Kommutatorrelation siehe Lie Algebra T a T b i f a b c T c displaystyle left T a T b right mathrm i f abc T c wobei die Einsteinsche Summenkonvention verwendet wurde Die f a b c displaystyle f abc werden als Strukturkonstanten bezeichnet und sind komplett antisymmetrisch bezuglich Vertauschung der Indizes Fur die SU 3 haben sie die Werte f 123 1 f 147 f 246 f 257 f 345 1 2 f 156 f 367 1 2 f 458 f 678 3 2 displaystyle f 123 1 f 147 f 246 f 257 f 345 frac 1 2 f 156 f 367 frac 1 2 f 458 f 678 frac sqrt 3 2 Jeden Satz von Matrizen die die Kommutatorrelation erfullen kann man als Generatoren der Gruppe verwenden Die Gell Mann Matrizen sind ein Standardsatz solcher Matrizen Mit den obigen Generatoren sind sie analog zu den Pauli Matrizen verknupft durch T a 1 2 l a displaystyle T a frac 1 2 lambda a Sie sind als 3 3 Matrizen gewahlt und haben die Form l 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 displaystyle lambda 1 begin pmatrix 0 amp 1 amp 0 1 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 0 end pmatrix l 2 0 i 0 i 0 0 0 0 0 displaystyle lambda 2 begin pmatrix 0 amp mathrm i amp 0 mathrm i amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 0 end pmatrix l 3 1 0 0 0 1 0 0 0 0 displaystyle lambda 3 begin pmatrix 1 amp 0 amp 0 0 amp 1 amp 0 0 amp 0 amp 0 end pmatrix l 4 0 0 1 0 0 0 1 0 0 displaystyle lambda 4 begin pmatrix 0 amp 0 amp 1 0 amp 0 amp 0 1 amp 0 amp 0 end pmatrix l 5 0 0 i 0 0 0 i 0 0 displaystyle lambda 5 begin pmatrix 0 amp 0 amp mathrm i 0 amp 0 amp 0 mathrm i amp 0 amp 0 end pmatrix l 6 0 0 0 0 0 1 0 1 0 displaystyle lambda 6 begin pmatrix 0 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 1 0 amp 1 amp 0 end pmatrix l 7 0 0 0 0 0 i 0 i 0 displaystyle lambda 7 begin pmatrix 0 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp mathrm i 0 amp mathrm i amp 0 end pmatrix l 8 1 3 1 0 0 0 1 0 0 0 2 displaystyle lambda 8 frac 1 sqrt 3 begin pmatrix 1 amp 0 amp 0 0 amp 1 amp 0 0 amp 0 amp 2 end pmatrix Die ersten drei l 1 l 2 l 3 displaystyle lambda 1 lambda 2 lambda 3 erkennt man praktisch als die drei Pauli Matrizen wieder die eine SU 2 Untergruppe erzeugen Die l displaystyle lambda Matrizen haben folgende Eigenschaften Sie sind hermitesch haben also nur reelle Eigenwerte Sie sind spurlos das heisst tr l i 0 displaystyle operatorname tr lambda i 0 Sie sind orthogonal bezuglich des Frobenius Skalarprodukts das heisst tr l i l j 2 d i j displaystyle operatorname tr lambda i lambda j 2 delta ij Anwendung finden sie z B bei Berechnungen in der Quantenchromodynamik die durch eine SU 3 Theorie beschrieben wird Daraus kann man auch die Wahl als 3 3 Matrizen verstehen da die Matrizen auf Farbladungstriplets wirken sollen Siehe auch BearbeitenStandardmodell Eichgruppe SU 3 SU 2 U 1 QuarksLiteratur BearbeitenHoward Georgi Lie algebras in particle physics ISBN 0 7382 0233 9 J J J Kokkedee The Quark model OCLC 474207457 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Gell Mann Matrizen amp oldid 238529328
