Strukturkonstanten enthalten in der Mathematik die gesamten Informationen einer endlichdimensionalen Lie Algebra und somit insbesondere alle lokalen Informationen jeder ihr zugeordneten Lie Gruppe Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Beispiel 4 LiteraturDefinition BearbeitenSei V displaystyle V nbsp eine endlichdimensionale Lie Algebra mit der Lie Klammer displaystyle cdot cdot nbsp und sei x 1 x n displaystyle x 1 ldots x n nbsp eine Vektorraumbasis dieser Lie Algebra Da in Vektorraumen jedes Element als Linearkombination bezuglich einer Basis darstellbar ist existiert fur alle i j 1 n displaystyle i j in 1 ldots n nbsp die Zerlegung x i x j k 1 n c i j k x k displaystyle x i x j sum k 1 n c ij k x k nbsp der Lie Klammer der Lie Algebra Die n 3 displaystyle n 3 nbsp Konstanten c i j k C displaystyle c ij k in mathbb C nbsp d h aus der Menge der komplexen Zahlen heissen Strukturkonstanten der Lie Algebra Eigenschaften BearbeitenAntisymmetrie Die Strukturkonstanten sind aufgrund der Antisymmetrie der Lie Klammer antisymmetrisch in den unteren Indizes c i j k c j i k displaystyle c ij k c ji k nbsp dd Daraus folgt fur Strukturkonstanten mit identischen unteren Indizes c i i k 0 displaystyle c ii k 0 nbsp Jacobi Identitat Aufgrund der Jacobi Identitat fur die Lie Klammer folgt eine Jacobi Identitat fur die Strukturkonstanten l 1 n c i l m c j k l c j l m c k i l c k l m c i j l 0 displaystyle sum l 1 n left c il m c jk l c jl m c ki l c kl m c ij l right 0 nbsp dd Tensorstruktur Die Strukturkonstanten sind 2 1 displaystyle 2 1 nbsp Tensoren Das heisst bei einem Basiswechsel x i x i j 1 n a i j x j displaystyle textstyle x i to x i sum j 1 n a i j x j nbsp gilt k 1 n c i j k a k l r s 1 n c r s l a i r a j s displaystyle sum k 1 n c ij k a k l sum r s 1 n c rs l a i r a j s nbsp dd Beispiel BearbeitenAls Beispiel fur Strukturkonstanten sei die in der Physik wichtige Lie Algebra s u 2 displaystyle mathfrak su 2 nbsp in der Basis der Pauli Matrizen s i i 1 2 3 displaystyle sigma i i 1 2 3 nbsp gegeben Die Lie Klammer in dieser Darstellung ist der Kommutator und es gilt s i s j k 1 3 2 i e i j k s k displaystyle sigma i sigma j sum k 1 3 2 mathrm i varepsilon ij k sigma k nbsp mit dem total antisymmetrischen Levi Civita Symbol e i j k displaystyle varepsilon ij k nbsp Literatur BearbeitenManfred Bohm Lie Gruppen und Lie Algebren in der Physik Springer Berlin 2011 ISBN 978 3 642 20378 7 S 179 180 Hans Samelson Notes on Lie Algebras Springer New York 1990 ISBN 978 0 387 97264 0 S 5 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Strukturkonstante amp oldid 184064844
