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Spezielle unitäre Gruppe Die spezielle unitäre Gruppe S U n displaystyle mathrm SU n besteht aus den unitären n n Matriz

Spezielle unitäre Gruppe

Die spezielle unitäre Gruppe besteht aus den unitären n×n-Matrizen mit komplexen Einträgen, deren Determinante 1 beträgt. Sie ist eine kompakte, einfache Lie-Gruppe der reellen Dimension insbesondere auch eine differenzierbare Mannigfaltigkeit.

Ferner ist sie eine Untergruppe der unitären Gruppe sowie der speziellen linearen Gruppe .

Lie-Algebra Bearbeiten

Die zu korrespondierende Lie-Algebra entspricht dem Tangentialraum am Einselement der Gruppe. Sie besteht aus dem Raum aller schiefhermiteschen Matrizen mit Spur 0. Die surjektive Abbildung

bildet ein Element der Lie-Algebra auf die Gruppe ab.

Zentrum Bearbeiten

Das Zentrum von besteht aus allen Vielfachen der Einheitsmatrix , die in liegen. Da , müssen diese Vielfachen -te Einheitswurzeln sein. Daher ist das Zentrum isomorph zur Restklassengruppe .

Bedeutung in der Physik Bearbeiten

Die spezielle unitäre Gruppe spielt eine besondere Rolle in der theoretischen Physik, da das derzeitige Standardmodell der Elementarteilchenphysik mehrere -Symmetrien aufweist. So ist die interne Symmetriegruppe des Standardmodells durch gegeben (wobei sich die drei Faktoren auf unterschiedliche Freiheitsgrade beziehen, nämlich Farbe, Flavour und elektrische Ladung). Darüber hinaus gibt es die näherungsweise gültige -Symmetrie zur Klassifikation von Hadronen, die aus den „leichten“ up-, down- und strange-Quarks bestehen (die Massen dieser Quarks werden vernachlässigt, die drei „schweren“ Quarks werden von dieser Gruppe nicht beschrieben).

Ferner ist der kompakte Anteil der speziellen orthochronen Lorentzgruppe isomorph zu .

Die Gruppe ist zugleich die sogenannte Doppelgruppe der gewöhnlichen Drehgruppe im dreidimensionalen Raum:

SU(2) als „Überlagerung“ der Drehgruppe SO(3) Bearbeiten

Die SU(2), die Gruppe der „komplexen Drehungen“ des zweidimensionalen komplexen Raumes , mit Hauptanwendungen in der Quantenmechanik (→ Spindrehimpuls), wird von den drei Pauli-Matrizen erzeugt. Sie ist die zweiblättrige Überlagerungsgruppe der SO(3), der Drehgruppe des dreidimensionalen reellen Raumes , die von den Ortsdrehimpulsen erzeugt wird. Es gilt mit der imaginären Einheit :

mit reellen Vektorkomponenten und , den „Drehwinkeln“  ( durchläuft beispielsweise das Intervall ), und mit den in die drei Pauli-Matrizen umgewandelten Basiselementen der Quaternionen, also dem aus den drei 2×2-Pauli-Matrizen gebildeten formalen Drei-Vektor  (in der Sprache der Physik: „dem doppelten(!) Spindrehimpuls-Operator“). Der Punkt bedeutet das formale Skalarprodukt, Der scheinbar nur physikalisch motivierte Faktor 1/2 hat mathematisch u. a. zur Folge, dass sich die Spinoren im Gegensatz zu Vektoren nicht schon bei Drehungen um , sondern erst bei dem doppelten  Wert reproduzieren. Dagegen erhält man die gewöhnliche Drehgruppe im dreidimensionalen reellen Raum, die SO(3), indem man durch den Ortsdrehimpuls-Operator ersetzt (ausgedrückt durch Differentialquotienten, z. B. ). Dabei wurde , die reduzierte Plancksche Konstante, wie üblich durch Eins ersetzt, und ist der Azimutalwinkel (Drehung um die z-Achse). Jetzt reicht die Drehung um 360 o aus, um eine gewöhnliche Funktion – statt eines Spinors – zu reproduzieren.

In analoger Weise wird die SU(3), die Symmetriegruppe der Quantenchromodynamik, von den acht Gell-Mann-Matrizen erzeugt. Die Drehgruppe im , die SO(4), passt in diesem Fall schon aus Dimensionsgründen nicht zur SU(3), sondern es gilt SO(4)=SU(2) × SU(2) (siehe erneut den Artikel Quaternionen).

Literatur Bearbeiten

Lehrbücher Bearbeiten

  • Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren. Vieweg, Braunschweig u. a. 1999, ISBN 3-528-06432-3.
  • Nicolas Bourbaki: Lie Groups and Lie Algebras. Springer, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-42650-7, Chapters 4–6.
  • Theodor Bröcker, Tammo tom Dieck: Representations of Compact Lie Groups (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 98). Corrected 2nd printing. Springer, New York NY u. a. 1995, ISBN 3-540-13678-9.
  • Walter Pfeifer: The Lie Algebras su(N). An Introduction. Birkhäuser, Basel u. a. 2003, ISBN 3-7643-2418-X.

Artikel Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise und Kommentare Bearbeiten

  1. Dass nicht , sondern der Spindrehimpuls-Operator ist, ergibt sich u. a. aus der zugehörigen Lie-Algebra, der Drehimpulsalgebra.
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Veröffentlichungsdatum:
Die spezielle unitare Gruppe S U n displaystyle mathrm SU n besteht aus den unitaren n n Matrizen mit komplexen Eintragen deren Determinante 1 betragt Sie ist eine kompakte einfache Lie Gruppe der reellen Dimension n 2 1 displaystyle n 2 1 insbesondere auch eine differenzierbare Mannigfaltigkeit Ferner ist sie eine Untergruppe der unitaren Gruppe U n displaystyle mathrm U n sowie der speziellen linearen Gruppe S L n C displaystyle mathrm SL n mathbb C Inhaltsverzeichnis 1 Lie Algebra 2 Zentrum 3 Bedeutung in der Physik 4 SU 2 als Uberlagerung der Drehgruppe SO 3 5 Literatur 5 1 Lehrbucher 5 2 Artikel 6 Weblinks 7 Einzelnachweise und KommentareLie Algebra BearbeitenDie zu S U n displaystyle mathrm SU n nbsp korrespondierende Lie Algebra s u n displaystyle mathfrak su n nbsp entspricht dem Tangentialraum am Einselement der Gruppe Sie besteht aus dem Raum aller schiefhermiteschen Matrizen mit Spur 0 Die surjektive Abbildung f s u n S U n g exp g displaystyle f colon mathfrak su n to mathrm SU n quad quad g mapsto exp g nbsp bildet ein Element der Lie Algebra auf die Gruppe ab Zentrum BearbeitenDas Zentrum von S U n displaystyle mathrm SU n nbsp besteht aus allen Vielfachen 3 E n displaystyle xi E n nbsp der Einheitsmatrix E n displaystyle E n nbsp die in S U n displaystyle mathrm SU n nbsp liegen Da det 3 E n 3 n 1 displaystyle det xi E n xi n 1 nbsp mussen diese Vielfachen n displaystyle n nbsp te Einheitswurzeln sein Daher ist das Zentrum isomorph zur Restklassengruppe Z n Z displaystyle mathbb Z n mathbb Z nbsp Bedeutung in der Physik BearbeitenDie spezielle unitare Gruppe spielt eine besondere Rolle in der theoretischen Physik da das derzeitige Standardmodell der Elementarteilchenphysik mehrere S U n displaystyle mathrm SU n nbsp Symmetrien aufweist So ist die interne Symmetriegruppe des Standardmodells durch S U 3 S U 2 U 1 displaystyle mathrm SU 3 times mathrm SU 2 times mathrm U 1 nbsp gegeben wobei sich die drei Faktoren auf unterschiedliche Freiheitsgrade beziehen namlich Farbe Flavour und elektrische Ladung Daruber hinaus gibt es die naherungsweise gultige S U 3 displaystyle mathrm SU 3 nbsp Symmetrie zur Klassifikation von Hadronen die aus den leichten up down und strange Quarks bestehen die Massen dieser Quarks werden vernachlassigt die drei schweren Quarks werden von dieser Gruppe nicht beschrieben Ferner ist der kompakte Anteil der speziellen orthochronen Lorentzgruppe isomorph zu S U 2 S U 2 displaystyle mathrm SU 2 times mathrm SU 2 nbsp Die Gruppe S U 2 displaystyle mathrm SU 2 nbsp ist zugleich die sogenannte Doppelgruppe der gewohnlichen Drehgruppe S O 3 displaystyle mathrm SO 3 nbsp im dreidimensionalen Raum SU 2 als Uberlagerung der Drehgruppe SO 3 BearbeitenDie SU 2 die Gruppe der komplexen Drehungen des zweidimensionalen komplexen Raumes C 2 displaystyle mathbb C 2 nbsp mit Hauptanwendungen in der Quantenmechanik Spindrehimpuls wird von den drei Pauli Matrizen s i displaystyle sigma i nbsp erzeugt Sie ist die zweiblattrige Uberlagerungsgruppe der SO 3 der Drehgruppe des dreidimensionalen reellen Raumes R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp die von den Ortsdrehimpulsen erzeugt wird Es gilt mit der imaginaren Einheit i displaystyle mathrm i nbsp S U 2 exp i 2 a s a R 3 displaystyle mathrm SU 2 left left exp left tfrac mathrm i 2 vec alpha cdot vec sigma right right vec alpha in mathbb R 3 right nbsp mit reellen Vektorkomponenten a 1 a 2 displaystyle alpha 1 alpha 2 nbsp und a 3 displaystyle alpha 3 nbsp den Drehwinkeln a 3 displaystyle alpha 3 nbsp durchlauft beispielsweise das Intervall 2 p 2 p displaystyle 2 pi 2 pi nbsp und mit den in die drei Pauli Matrizen umgewandelten Basiselementen der Quaternionen also dem aus den drei 2 2 Pauli Matrizen gebildeten formalen Drei Vektor s displaystyle vec sigma nbsp in der Sprache der Physik dem doppelten 1 Spindrehimpuls Operator Der Punkt bedeutet das formale Skalarprodukt a s a 1 s 1 a 2 s 2 a 3 s 3 displaystyle vec alpha cdot vec sigma alpha 1 sigma 1 alpha 2 sigma 2 alpha 3 sigma 3 nbsp Der scheinbar nur physikalisch motivierte Faktor 1 2 hat mathematisch u a zur Folge dass sich die Spinoren im Gegensatz zu Vektoren nicht schon bei Drehungen um 2 p 360 displaystyle 2 pi 360 circ nbsp sondern erst bei dem doppelten Wert reproduzieren Dagegen erhalt man die gewohnliche Drehgruppe im dreidimensionalen reellen Raum die SO 3 indem man s 2 displaystyle vec sigma 2 nbsp durch den Ortsdrehimpuls Operator L displaystyle vec mathcal L nbsp ersetzt ausgedruckt durch Differentialquotienten z B L 3 i f displaystyle mathcal L 3 tfrac partial mathrm i partial varphi nbsp Dabei wurde ℏ displaystyle hbar nbsp die reduzierte Plancksche Konstante wie ublich durch Eins ersetzt und f displaystyle varphi nbsp ist der Azimutalwinkel Drehung um die z Achse Jetzt reicht die Drehung um 360 o aus um eine gewohnliche Funktion statt eines Spinors zu reproduzieren In analoger Weise wird die SU 3 die Symmetriegruppe der Quantenchromodynamik von den acht Gell Mann Matrizen erzeugt Die Drehgruppe im R 4 displaystyle mathbb R 4 nbsp die SO 4 passt in diesem Fall schon aus Dimensionsgrunden nicht zur SU 3 sondern es gilt SO 4 SU 2 SU 2 siehe erneut den Artikel Quaternionen Literatur BearbeitenLehrbucher Bearbeiten Joachim Hilgert Karl Hermann Neeb Lie Gruppen und Lie Algebren Vieweg Braunschweig u a 1999 ISBN 3 528 06432 3 Nicolas Bourbaki Lie Groups and Lie Algebras Springer Berlin u a 2002 ISBN 3 540 42650 7 Chapters 4 6 Theodor Brocker Tammo tom Dieck Representations of Compact Lie Groups Graduate Texts in Mathematics Bd 98 Corrected 2nd printing Springer New York NY u a 1995 ISBN 3 540 13678 9 Walter Pfeifer The Lie Algebras su N An Introduction Birkhauser Basel u a 2003 ISBN 3 7643 2418 X Artikel Bearbeiten Jonathan L Rosner An Introduction to Standard Model Physics TASI 1987 Scanned version from KEK Erhard Scholz Introducing Groups into Quantum Theory 1926 1930 arxiv math HO 0409571Weblinks BearbeitenEric Weisstein Special Unitary Group In MathWorld englisch Einzelnachweise und Kommentare Bearbeiten Dass nicht s displaystyle vec sigma nbsp sondern s 2 displaystyle vec sigma 2 nbsp der Spindrehimpuls Operator ist ergibt sich u a aus der zugehorigen Lie Algebra der Drehimpulsalgebra Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Spezielle unitare Gruppe amp oldid 193407527