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Wiener Chintschin Theorem Das auch Wiener Chintchin Kriterium oder Chintschin Kolmogorow Theorem nach Alexander Chintsch

Wiener-Chintschin-Theorem

Das Wiener-Chintschin-Theorem (auch Wiener-Chintchin-Kriterium oder Chintschin-Kolmogorow-Theorem, nach Alexander Chintschin, Norbert Wiener und Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow) ist ein Satz in der Stochastik und Signalverarbeitung. Er besagt, dass die spektrale Leistungsdichte eines stationären Zufallsprozesses die Fourier-Transformierte der korrespondierenden Autokorrelationsfunktion ist.

Der Satz gilt auch trivialerweise, d. h. durch Einsetzen der Fourier-Transformierten, die in diesem Fall anders als bei Zufallsprozess-Signalen existieren, für die stetigen Funktionen periodischer Signale, und kann somit auf ein durch Rauschen gestörtes periodisches Signal angewandt werden.

Formulierung in der Signalverarbeitung Bearbeiten

Für zeitkontinuierliche Signale hat das Theorem die Gestalt ( steht für die imaginäre Einheit, für die Frequenz):

mit der Autokorrelationsfunktion:

Dabei ist der Erwartungswert des Produktes .

Die spektrale Leistungsdichte der Funktion ist außerdem bei Existenz der Fourier-Transformierten des Signals definiert als:

Für „Rauschsignale“ existiert die Fourier-Transformierte allerdings im Allgemeinen nicht. Der Name spektrale Leistungsdichte (PSD, Power Spectral Density) kommt daher, dass das Signal häufig eine Spannung ist und die Autokorrelationsfunktion dann eine Energie liefert. „Spektrale Dichte“ besagt, dass die Leistung als Funktion der Frequenz pro Frequenzintervall angegeben wird. Die PSD erlaubt Aussagen über das Vorliegen von Periodizitäten in verrauschten Signalen. Nach dem Wiener-Chintchin-Theorem kann die PSD aus der Autokorrelationsfunktion gewonnen werden. Für die Detektion periodischer Signale im Rauschhintergrund wurde die Autokorrelationsfunktion allerdings schon früher angewandt, z. B. von George Udny Yule in den 1920er Jahren.

Umgekehrt ergibt sich auch die Autokorrelationsfunktion als Fourier-Rücktransformierte der spektralen Leistungsdichte:

Bemerkung: bei Formulierung mit der Kreisfrequenz lauten die entsprechenden Formeln:

Das ist die eigentlich übliche Form der Fourier-Transformation, hier wird wie in der Signaltheorie eine Formulierung ohne Kreisfrequenz gewählt (siehe Fourier-Transformation).

Berechnungen im Frequenzraum sind über dieses Theorem gegen solche im Zeitraum austauschbar, ähnlich wie bei dem Lp-Ergodensatz und dem individuellen Ergodensatz bzw. der Ergodenhypothese, die bei typischen Systemen der statistischen Mechanik die Vertauschbarkeit von Zeit- und Ensemblemittel aussagt.

Im Falle zeitdiskreter Signale (einer Zeitreihe mit N Termen) hat das Wiener-Chintschin-Theorem eine ähnliche Form:

Die Summe wird dabei in Anwendungen auf endlich viele () Terme begrenzt.

Weiterhin ist die Autokorrelationsfunktion und das Leistungsdichtespektrum von .

Mathematische Formulierung Bearbeiten

ist die charakteristische Funktion einer Wahrscheinlichkeitsverteilung mit Dichtefunktion genau dann, falls es eine Funktion gibt mit

so dass

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist dann gegeben durch

mit der charakteristischen Funktion von ; letztere entspricht bis auf Vorfaktoren der Fourier-Transformation von .

Das Theorem ist ein Spezialfall der Plancherel-Formel (auch Satz von Plancherel genannt).

Oder in der ursprünglichen Formulierung von Chintchin:

ist dann und nur dann die Korrelationsfunktion eines reellen stationären Zufallsprozesses , falls

mit einer Verteilungsfunktion .

Anwendung in der Systemanalyse Bearbeiten

Das Theorem erlaubt es, lineare zeitinvariante Systeme (LTI-Systeme), wie elektrische Schaltkreise mit linearen Bauelementen, zu untersuchen, wenn deren Ein- und Ausgangssignale nicht quadratintegrabel sind und somit keine Fourier-Transformierten existieren, wie im Fall zufälliger Signale (Rauschen).

Nach der Theorie der LTI-Systeme ist die Fourier-Transformierte der Autokorrelationsfunktion des Ausgangssignals nämlich gleich derjenigen des Eingangssignals multipliziert mit dem Betragsquadrat des Frequenzganges, also der Fourier-Transformierten der Impulsantwort des Systems.

Nach dem Wiener-Chintchin-Theorem ist die Fourier-Transformierte der Autokorrelationsfunktion gleich der spektralen Leistungsdichte, und somit die Leistungsdichte des Ausgangssignals gleich der Leistungsdichte des Eingangssignals, multipliziert mit der Leistungs-Übertragungsfunktion, analog zum Fall periodischer Signale bei LTIs.

Siehe auch Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Anmerkungen Bearbeiten

  1. Alexander Chintchin: Korrelationstheorie der stationären stochastischen Prozesse. In: Mathematische Annalen Band 109, 1934. Als „Satz von Chintchin über die Korrelationsfunktion“ bewiesen z. B. in Gnedenko: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie. Verlag Harri Deutsch 1978, Seite 310.
  2. Norbert Wiener: Generalized harmonic analysis. In: Acta Mathematica Band 55, 1930, sowie in seinem Buch Extrapolation, Intrapolation and Smoothing of Stationary Time Series. MIT 1949. Bekannt wurde die diskrete Version auch durch die Artikel von Norman Levinson, Journal of Mathematical Physics Bd. 25, 1957, S. 261, Bd. 20, S. 110
  3. Eine Zufallsprozess (eine Zufallsfunktion) heißt stationär, wenn die Kovarianz für alle Zeitpunkte gleich ist. Genauer handelt es sich um stationäre Zufallsprozesse im weiteren Sinn"(Wide Sense Stationary Random Processes).
  4. W. Feller Introduction to probability theory, Bd. 2, S. 640
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Veröffentlichungsdatum:
Das Wiener Chintschin Theorem auch Wiener Chintchin Kriterium oder Chintschin Kolmogorow Theorem nach Alexander Chintschin 1 Norbert Wiener 2 und Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow ist ein Satz in der Stochastik und Signalverarbeitung Er besagt dass die spektrale Leistungsdichte eines stationaren 3 Zufallsprozesses die Fourier Transformierte der korrespondierenden Autokorrelationsfunktion ist Der Satz gilt auch trivialerweise d h durch Einsetzen der Fourier Transformierten die in diesem Fall anders als bei Zufallsprozess Signalen existieren fur die stetigen Funktionen periodischer Signale und kann somit auf ein durch Rauschen gestortes periodisches Signal angewandt werden Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung in der Signalverarbeitung 2 Mathematische Formulierung 3 Anwendung in der Systemanalyse 4 Siehe auch 5 Weblinks 6 AnmerkungenFormulierung in der Signalverarbeitung BearbeitenFur zeitkontinuierliche Signale hat das Theorem die Gestalt j displaystyle mathrm j nbsp steht fur die imaginare Einheit f displaystyle f nbsp fur die Frequenz S x x f r x x t e j 2 p f t d t displaystyle S xx f int infty infty r xx tau mathrm e mathrm j 2 pi f tau d tau nbsp mit der Autokorrelationsfunktion r x x t E x t x t t lim T F 1 T F T F 2 T F 2 x t x t t d t displaystyle r xx tau E left x t cdot x t tau right lim T F to infty frac 1 T F int T F 2 T F 2 x t cdot x t tau dt nbsp Dabei ist E displaystyle E nbsp der Erwartungswert des Produktes x t x t t displaystyle x t cdot x t tau nbsp Die spektrale Leistungsdichte S x x f displaystyle S xx f nbsp der Funktion x t displaystyle x t nbsp ist ausserdem bei Existenz der Fourier Transformierten x f displaystyle hat x f nbsp des Signals x t displaystyle x t nbsp definiert als S x x f x f 2 displaystyle S xx f left hat x f right 2 nbsp Fur Rauschsignale existiert die Fourier Transformierte x f displaystyle hat x f nbsp allerdings im Allgemeinen nicht Der Name spektrale Leistungsdichte PSD Power Spectral Density kommt daher dass das Signal x t displaystyle x t nbsp haufig eine Spannung ist und die Autokorrelationsfunktion dann eine Energie liefert Spektrale Dichte besagt dass die Leistung als Funktion der Frequenz pro Frequenzintervall angegeben wird Die PSD erlaubt Aussagen uber das Vorliegen von Periodizitaten in verrauschten Signalen Nach dem Wiener Chintchin Theorem kann die PSD aus der Autokorrelationsfunktion gewonnen werden Fur die Detektion periodischer Signale im Rauschhintergrund wurde die Autokorrelationsfunktion allerdings schon fruher angewandt z B von George Udny Yule in den 1920er Jahren Umgekehrt ergibt sich auch die Autokorrelationsfunktion als Fourier Rucktransformierte der spektralen Leistungsdichte r x x t S x x f e j 2 p f t d f displaystyle r xx tau int infty infty S xx f mathrm e mathrm j 2 pi f tau df nbsp Bemerkung bei Formulierung mit der Kreisfrequenz w 2 p f displaystyle omega 2 pi f nbsp lauten die entsprechenden Formeln S x x w r x x t e j w t d t displaystyle S xx omega int infty infty r xx tau mathrm e mathrm j omega tau d tau nbsp r x x t 1 2 p S x x w e j w t d w displaystyle r xx tau frac 1 2 pi int infty infty S xx omega mathrm e mathrm j omega tau d omega nbsp Das ist die eigentlich ubliche Form der Fourier Transformation hier wird wie in der Signaltheorie eine Formulierung ohne Kreisfrequenz gewahlt siehe Fourier Transformation Berechnungen im Frequenzraum sind uber dieses Theorem gegen solche im Zeitraum austauschbar ahnlich wie bei dem Lp Ergodensatz und dem individuellen Ergodensatz bzw der Ergodenhypothese die bei typischen Systemen der statistischen Mechanik die Vertauschbarkeit von Zeit und Ensemblemittel aussagt Im Falle zeitdiskreter Signale einer Zeitreihe mit N Termen hat das Wiener Chintschin Theorem eine ahnliche Form S x x f k r x x k e j 2 p k f displaystyle S xx f sum k infty infty r xx k mathrm e mathrm j 2 pi kf nbsp Die Summe wird dabei in Anwendungen auf endlich viele p lt N displaystyle p lt N nbsp Terme begrenzt Weiterhin ist r x x k E x n x n k 1 N n N x n x n k displaystyle r xx k E left x n x n k right frac 1 N sum n N x n x n k nbsp die Autokorrelationsfunktion und S x x f displaystyle S xx f nbsp das Leistungsdichtespektrum von x n displaystyle x n nbsp Mathematische Formulierung Bearbeitenϕ u displaystyle phi u nbsp ist die charakteristische Funktion einer Wahrscheinlichkeitsverteilung mit Dichtefunktion f displaystyle f nbsp genau dann falls es eine Funktion x t displaystyle x t nbsp gibt mit x 2 x t x t d t 1 displaystyle Vert x Vert 2 int infty infty x t x t dt 1 nbsp so dass ϕ u x t x t u d t displaystyle phi u int infty infty x t x t u dt nbsp Die Wahrscheinlichkeitsverteilung f displaystyle f nbsp ist dann gegeben durch f x 2 displaystyle f hat x 2 nbsp dd mit der charakteristischen Funktion x displaystyle hat x nbsp von x displaystyle x nbsp letztere entspricht bis auf Vorfaktoren der Fourier Transformation von x displaystyle x nbsp Das Theorem ist ein Spezialfall der Plancherel Formel 4 auch Satz von Plancherel genannt Oder in der ursprunglichen Formulierung von Chintchin R u x t x t u d t displaystyle R u int infty infty x t x t u dt nbsp ist dann und nur dann die Korrelationsfunktion eines reellen stationaren Zufallsprozesses x t displaystyle x t nbsp falls R u cos u t d F t displaystyle R u int infty infty cos ut dF t nbsp mit einer Verteilungsfunktion F t displaystyle F t nbsp Anwendung in der Systemanalyse BearbeitenDas Theorem erlaubt es lineare zeitinvariante Systeme LTI Systeme wie elektrische Schaltkreise mit linearen Bauelementen zu untersuchen wenn deren Ein und Ausgangssignale nicht quadratintegrabel sind und somit keine Fourier Transformierten existieren wie im Fall zufalliger Signale Rauschen Nach der Theorie der LTI Systeme ist die Fourier Transformierte der Autokorrelationsfunktion des Ausgangssignals namlich gleich derjenigen des Eingangssignals multipliziert mit dem Betragsquadrat des Frequenzganges also der Fourier Transformierten der Impulsantwort des Systems Nach dem Wiener Chintchin Theorem ist die Fourier Transformierte der Autokorrelationsfunktion gleich der spektralen Leistungsdichte und somit die Leistungsdichte des Ausgangssignals gleich der Leistungsdichte des Eingangssignals multipliziert mit der Leistungs Ubertragungsfunktion analog zum Fall periodischer Signale bei LTIs Siehe auch BearbeitenKoharenz Physik Wiener Chintschin TheoremWeblinks BearbeitenBernd Pompe Verfahren der stochastischen Signalverarbeitung Memento vom 25 Juni 2007 im Internet Archive PDF Datei 2 0 MB Alexander Chintchin Korrelationstheorie der stationaren stochastischen Prozesse In Mathematische Annalen Band 109 1934 Anmerkungen Bearbeiten Alexander Chintchin Korrelationstheorie der stationaren stochastischen Prozesse In Mathematische Annalen Band 109 1934 Als Satz von Chintchin uber die Korrelationsfunktion bewiesen z B in Gnedenko Einfuhrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie Verlag Harri Deutsch 1978 Seite 310 Norbert Wiener Generalized harmonic analysis In Acta Mathematica Band 55 1930 sowie in seinem Buch Extrapolation Intrapolation and Smoothing of Stationary Time Series MIT 1949 Bekannt wurde die diskrete Version auch durch die Artikel von Norman Levinson Journal of Mathematical Physics Bd 25 1957 S 261 Bd 20 S 110 Eine Zufallsprozess eine Zufallsfunktion x displaystyle x nbsp heisst stationar wenn die Kovarianz E x t x t t displaystyle E left x t x t tau right nbsp fur alle Zeitpunkte t displaystyle t nbsp gleich ist Genauer handelt es sich um stationare Zufallsprozesse im weiteren Sinn Wide Sense Stationary Random Processes W Feller Introduction to probability theory Bd 2 S 640 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Wiener Chintschin Theorem amp oldid 200732253