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Lp Ergodensatz Der auch statistischer Ergodensatz genannt ist ein zentraler Satz der Ergodentheorie einem Teilgebiet der

Lp-Ergodensatz

Der Lp-Ergodensatz, auch statistischer Ergodensatz genannt, ist ein zentraler Satz der Ergodentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, das in dem Bereich zwischen Maßtheorie, Theorie dynamischer Systeme und Wahrscheinlichkeitstheorie anzusiedeln ist. Er beschäftigt sich damit, unter welchen Umständen bei der Iteration einer Abbildung die Mittelwerte über die Iterationen mit den Mittelwerten der Funktion übereinstimmen. Im Gegensatz zum individuellen Ergodensatz beschäftigt sich der -Ergodensatz mit der Konvergenz im p-ten Mittel und nicht mit der fast sicheren Konvergenz. Der Satz wurde 1930/31 von John von Neumann bewiesen, jedoch erst 1932 veröffentlicht. Ein kompakter Beweis ist beispielsweise mittels des Hopf'schen Maximal-Ergodenlemmas und des individuellen Ergodensatzes möglich. Der Satz lässt sich auch allgemeiner auf Hilberträumen mit isometrischen Operatoren und der Normkonvergenz formulieren.

Aussage Bearbeiten

Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum und eine maßerhaltende Abbildung sowie die σ-Algebra der T-invarianten Ereignisse. Sei der Raum aller -fach Lebesgue-integrierbaren Funktionen (siehe auch Lp-Raum), kurz mit bezeichnet, sowie der bedingte Erwartungswert von bezüglich der σ-Algebra .

Ist , dann gilt für alle , dass auch in liegt und

Hierbei bezeichnet die Lp-Norm.

Ist P-trivial (bzw. äquivalent dazu eine ergodische Transformation), so gilt und demnach

Die Mittelwerte der iterierten Abbildungen konvergieren also im p-ten Mittel gegen den (bedingten) Erwartungswert.

Anwendung in der Stochastik Bearbeiten

Der -Ergodensatz lässt sich wie folgt auf stochastische Prozesse anwenden: Dazu betrachtet man einen kanonischen Prozess auf dem Wahrscheinlichkeitsraum , wobei ein polnischer Raum wie beispielsweise eine endliche oder abzählbar unendliche Menge oder der ist. Die Transformation definiert man dann als den Shift , der gegeben ist durch

Für den stochastischen Prozess gilt also und ist genau dann ein maßerhaltendes dynamisches System, wenn ein stationärer stochastischer Prozess ist.

Setzt man nun , wobei sein soll, sowie , so folgt, dass für stationäre Prozesse

gilt. Ist wieder eine P-triviale σ-Algebra (bzw. eine ergodische Transformation oder ein ergodischer stochastischer Prozess), so folgt genauso wie oben, dass ist.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 454

Weblinks Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Der Lp Ergodensatz auch statistischer Ergodensatz genannt ist ein zentraler Satz der Ergodentheorie einem Teilgebiet der Mathematik das in dem Bereich zwischen Masstheorie Theorie dynamischer Systeme und Wahrscheinlichkeitstheorie anzusiedeln ist Er beschaftigt sich damit unter welchen Umstanden bei der Iteration einer Abbildung die Mittelwerte uber die Iterationen mit den Mittelwerten der Funktion ubereinstimmen Im Gegensatz zum individuellen Ergodensatz beschaftigt sich der L p displaystyle mathcal L p Ergodensatz mit der Konvergenz im p ten Mittel und nicht mit der fast sicheren Konvergenz Der Satz wurde 1930 31 von John von Neumann bewiesen jedoch erst 1932 veroffentlicht 1 Ein kompakter Beweis ist beispielsweise mittels des Hopf schen Maximal Ergodenlemmas und des individuellen Ergodensatzes moglich Der Satz lasst sich auch allgemeiner auf Hilbertraumen mit isometrischen Operatoren und der Normkonvergenz formulieren Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 2 Anwendung in der Stochastik 3 Einzelnachweise 4 Weblinks 5 LiteraturAussage BearbeitenGegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum W A P displaystyle Omega mathcal A P nbsp und T W W displaystyle T Omega to Omega nbsp eine masserhaltende Abbildung sowie I displaystyle mathcal I nbsp die s Algebra der T invarianten Ereignisse Sei L p W A P displaystyle mathcal L p Omega mathcal A P nbsp der Raum aller p displaystyle p nbsp fach Lebesgue integrierbaren Funktionen siehe auch Lp Raum kurz mit L p displaystyle mathcal L p nbsp bezeichnet sowie E g S displaystyle operatorname E g mathcal S nbsp der bedingte Erwartungswert von g displaystyle g nbsp bezuglich der s Algebra S displaystyle mathcal S nbsp Ist p 1 displaystyle p in 1 infty nbsp dann gilt fur alle f L p displaystyle f in mathcal L p nbsp dass auch E f I displaystyle operatorname E f mathcal I nbsp in L p displaystyle mathcal L p nbsp liegt und lim n 1 n i 0 n 1 f T i E f I L p 0 displaystyle lim n to infty biggl Vert frac 1 n sum i 0 n 1 f circ T i operatorname E f mathcal I biggr Vert mathcal L p 0 nbsp Hierbei bezeichnet L p displaystyle cdot mathcal L p nbsp die Lp Norm Ist I displaystyle mathcal I nbsp P trivial bzw aquivalent dazu T displaystyle T nbsp eine ergodische Transformation so gilt E f I E f displaystyle operatorname E f mathcal I operatorname E f nbsp und demnach lim n 1 n i 0 n 1 f T i E f L p 0 displaystyle lim n to infty biggl Vert frac 1 n sum i 0 n 1 f circ T i operatorname E f biggr Vert mathcal L p 0 nbsp Die Mittelwerte der iterierten Abbildungen konvergieren also im p ten Mittel gegen den bedingten Erwartungswert Anwendung in der Stochastik BearbeitenDer L p displaystyle mathcal L p nbsp Ergodensatz lasst sich wie folgt auf stochastische Prozesse anwenden Dazu betrachtet man einen kanonischen Prozess X X n n N displaystyle X X n n in mathbb N nbsp auf dem Wahrscheinlichkeitsraum W A P E N B E E P displaystyle Omega mathcal A P E mathbb N mathcal B E otimes E P nbsp wobei E displaystyle E nbsp ein polnischer Raum wie beispielsweise eine endliche oder abzahlbar unendliche Menge oder der R n displaystyle mathbb R n nbsp ist Die Transformation definiert man dann als den Shift t W W displaystyle tau Omega to Omega nbsp der gegeben ist durch t w n n N w n 1 n N displaystyle tau omega n n in mathbb N omega n 1 n in mathbb N nbsp Fur den stochastischen Prozess gilt also X n w X 0 t n w displaystyle X n omega X 0 tau n omega nbsp und W A P t displaystyle Omega mathcal A P tau nbsp ist genau dann ein masserhaltendes dynamisches System wenn X displaystyle X nbsp ein stationarer stochastischer Prozess ist Setzt man nun f X 0 displaystyle f X 0 nbsp wobei X 0 L p displaystyle X 0 in mathcal L p nbsp sein soll sowie t T displaystyle tau T nbsp so folgt dass fur stationare Prozesse lim n 1 n i 0 n 1 X i E X 0 I L p 0 displaystyle lim n to infty biggl Vert frac 1 n sum i 0 n 1 X i operatorname E X 0 mathcal I biggr Vert mathcal L p 0 nbsp gilt Ist I displaystyle mathcal I nbsp wieder eine P triviale s Algebra bzw t displaystyle tau nbsp eine ergodische Transformation oder X displaystyle X nbsp ein ergodischer stochastischer Prozess so folgt genauso wie oben dass E X 0 I E X 0 displaystyle operatorname E X 0 mathcal I operatorname E X 0 nbsp ist Einzelnachweise Bearbeiten Achim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 2013 S 454Weblinks BearbeitenD V Anosov Von Neumann ergodic theorem In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Literatur BearbeitenManfred Einsiedler Klaus Schmidt Dynamische Systeme Ergodentheorie und topologische Dynamik Springer Basel 2014 ISBN 978 3 0348 0633 6 doi 10 1007 978 3 0348 0634 3 Achim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 36017 6 doi 10 1007 978 3 642 36018 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Lp Ergodensatz amp oldid 175108266