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Ergodentheorie Die ist ein Teilgebiet der Mathematik das sowohl der Maßtheorie und Stochastik als auch der Theorie dynam

Ergodentheorie

Die Ergodentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sowohl der Maßtheorie und Stochastik als auch der Theorie dynamischer Systeme zugeordnet wird. Die Ursprünge der Ergodentheorie liegen in der statistischen Physik. Der Name leitet sich von griechischen έργον ‚Werk‘ und όδος ‚Weg‘ ab. Einzelheiten des physikalischen Begriffs siehe Ergodizität.

Vorbereitungen Bearbeiten

Beispiel einer (Lebesgue-) maßerhaltenden Abbildung: mit

Man nennt zu einem Wahrscheinlichkeitsraum eine messbare Abbildung maßerhaltend, falls das Bildmaß von unter wieder ist, d. h. für alle Mengen aus der σ-Algebra . Entsprechend heißt das 4-Tupel maßerhaltendes dynamisches System.

Eine Menge heißt außerdem -invariant, falls sie mit ihrem Urbild übereinstimmt, wenn also gilt. Das Mengensystem aller -invarianten Mengen bildet hierbei eine σ-Algebra. Analog dazu heißt eine Menge quasi-invariant, falls die symmetrische Differenz der Menge mit ihrem Urbild bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes eine Nullmenge bildet, also wenn gilt .

Definition Bearbeiten

Eine maßerhaltende Transformation heißt nun ergodisch, falls für alle -invarianten Mengen gilt, dass . Die Mengen bilden also eine P-triviale σ-Algebra. Das 4-Tupel bestehend aus Wahrscheinlichkeitsraum und ergodischer maßerhaltender Abbildung heißt dementsprechend ergodisches dynamisches System.

Neben dieser Definition gibt es eine Reihe äquivalenter Charakterisierungen. Falls ein maßerhaltendes dynamisches System ist, dann sind folgende Aussagen äquivalent:

  • ist ergodisches maßerhaltendes System.
  • Für jede quasi-invariante Menge gilt entweder oder .
  • Jede -messbare Funktion ist -fast sicher konstant.
  • Für alle gilt: .

Anwendungen Bearbeiten

Mathematisch gesehen stellt der Birkhoffsche Ergodensatz für ergodische Maßtransformationen eine Variante des Starken Gesetzes der großen Zahlen dar. Dabei können durchaus auch abhängige Zufallsvariablen betrachtet werden. Dasselbe gilt für den Lp-Ergodensatz.

Beispiele ergodischer Abbildungen Bearbeiten

Rotation auf dem Einheitskreis Bearbeiten

Betrachte das System bestehend aus der Menge , der Borel-σ-Algebra , dem Lebesguemaß und der Abbildung . Dieses System ist für alle maßerhaltend. Es ist zudem genau dann ergodisch, wenn nicht rational ist, sprich wenn gilt .

Bernoulli-Shift Bearbeiten

Auch beim Bernoulli-Shift handelt es sich um eine ergodische Abbildung: Betrachte den Grundraum der --Folgen mit zugehöriger Produkt-σ-Algebra und zugehörigem unendlichen Produktmaß definiert durch . Bei der Bernoulli-Abbildung handelt es sich um dem Linksshift auf dem Grundraum , das heißt ist definiert als

Dann ist das 4-Tupel ein ergodisches dynamisches System.

Gauß-Abbildung Bearbeiten

Sei der Grundraum und die entsprechende Borelsche σ-Algebra. Definiere die Gauß-Abbildung durch

Falls nun als Maß das Gaußmaß , , gewählt wird, so handelt es sich bei um ein ergodisches dynamisches System.

Geschichte Bearbeiten

Die heute als Ergodensatz bekannte Übereinstimmung von Zeit- und Raummittel (Proportionalität der Aufenthaltswahrscheinlichkeit zum Volumen eines räumlichen Gebiets) wurde 1877 von Boltzmann formuliert und von Birkhoff 1932 mathematisch bewiesen, wobei man für den mathematischen Beweis eine Nullmenge von Punkten ausschließen muss. Vor Birkhoff hatten bereits von Neumann und Hopf einen L2-Ergodensatz bewiesen. Den ersten Ergodizitätsbeweis in einer speziellen Situation fand 1924 Artin für den geodätischen Fluss auf der Modulfläche. Neben ihrer ursprünglichen Herkunft aus der statistischen Physik hat Ergodentheorie heute Anwendungen in zahlreichen Gebieten der Physik und Mathematik bis hin zu Geometrie und Zahlentheorie.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

Historisch Bearbeiten

Modern Bearbeiten

  • D. V. Anosov: Ergodic theory. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org [abgerufen am 30. Juli 2019]).Vorlage:EoM/id
  • Wladimir Igorewitsch Arnold, André Avez: Ergodic Problems of Classical Mechanics. W. A. Benjamin, New York 1968 (englisch).
  • Leo Breiman: Probability. Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992, ISBN 0-89871-296-3, Kap. 6 (englisch, Erstausgabe: Addison-Wesley, 1968).
  • Peter Walters: An introduction to ergodic theory. Springer, New York 1982, ISBN 0-387-95152-0 (englisch).
  • Tim Bedford, Michael Keane, Caroline Series (Hrsg.): Ergodic theory, symbolic dynamics and hyperbolic spaces. Oxford University Press, 1991, ISBN 0-19-853390-X (englisch).
  • Joseph M. Rosenblatt, Máté Weirdl: Pointwise ergodic theorems via harmonic analysis. In: Karl E. Petersen, Ibrahim A. Salama (Hrsg.): Ergodic Theory and its Connections with Harmonic Analysis, Proceedings of the 1993 Alexandria Conference. Cambridge University Press, Cambridge 1995, ISBN 0-521-45999-0 (englisch).
  • Manfred Einsiedler, Thomas Ward: Ergodic theory with a view towards number theory (= Graduate Texts in Mathematics. Band 259). Springer London, London 2011, ISBN 978-0-85729-020-5 (englisch).

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Die Ergodentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik das sowohl der Masstheorie und Stochastik als auch der Theorie dynamischer Systeme zugeordnet wird Die Ursprunge der Ergodentheorie liegen in der statistischen Physik Der Name leitet sich von griechischen ergon Werk und odos Weg ab Einzelheiten des physikalischen Begriffs siehe Ergodizitat Inhaltsverzeichnis 1 Vorbereitungen 2 Definition 3 Anwendungen 4 Beispiele ergodischer Abbildungen 4 1 Rotation auf dem Einheitskreis 4 2 Bernoulli Shift 4 3 Gauss Abbildung 5 Geschichte 6 Siehe auch 7 Literatur 7 1 Historisch 7 2 Modern 8 WeblinksVorbereitungen Bearbeiten nbsp Beispiel einer Lebesgue masserhaltenden Abbildung T 0 1 0 1 displaystyle T colon 0 1 rightarrow 0 1 nbsp mit x 2 x mod 1 displaystyle x mapsto 2x mod 1 nbsp Man nennt zu einem Wahrscheinlichkeitsraum W A P displaystyle Omega mathcal A P nbsp eine messbare Abbildung T displaystyle T nbsp masserhaltend falls das Bildmass von P displaystyle P nbsp unter T displaystyle T nbsp wieder P displaystyle P nbsp ist d h P T 1 A P A displaystyle P T 1 A P A nbsp fur alle Mengen A displaystyle A nbsp aus der s Algebra A displaystyle mathcal A nbsp Entsprechend heisst das 4 Tupel W A P T displaystyle Omega mathcal A P T nbsp masserhaltendes dynamisches System Eine Menge A displaystyle A nbsp heisst ausserdem T displaystyle T nbsp invariant falls sie mit ihrem Urbild ubereinstimmt wenn also T 1 A A displaystyle T 1 A A nbsp gilt Das Mengensystem aller T displaystyle T nbsp invarianten Mengen I displaystyle mathcal I nbsp bildet hierbei eine s Algebra Analog dazu heisst eine Menge B displaystyle B nbsp quasi invariant falls die symmetrische Differenz der Menge mit ihrem Urbild bezuglich des Wahrscheinlichkeitsmasses P displaystyle P nbsp eine Nullmenge bildet also wenn gilt P B T 1 B 0 displaystyle P B triangle T 1 B 0 nbsp Definition BearbeitenEine masserhaltende Transformation heisst nun ergodisch falls fur alle T displaystyle T nbsp invarianten Mengen A displaystyle A nbsp gilt dass P A 0 1 displaystyle P A in 0 1 nbsp Die Mengen bilden also eine P triviale s Algebra Das 4 Tupel W A P T displaystyle Omega mathcal A P T nbsp bestehend aus Wahrscheinlichkeitsraum W A P displaystyle Omega mathcal A P nbsp und ergodischer masserhaltender Abbildung T displaystyle T nbsp heisst dementsprechend ergodisches dynamisches System Neben dieser Definition gibt es eine Reihe aquivalenter Charakterisierungen Falls W A P T displaystyle Omega mathcal A P T nbsp ein masserhaltendes dynamisches System ist dann sind folgende Aussagen aquivalent W A P T displaystyle Omega mathcal A P T nbsp ist ergodisches masserhaltendes System Fur jede quasi invariante Menge A A displaystyle A in mathcal A nbsp gilt entweder P A 0 displaystyle P A 0 nbsp oder P A 1 displaystyle P A 1 nbsp Jede I displaystyle mathcal I nbsp messbare Funktion f W R displaystyle f Omega to mathbb R nbsp ist P displaystyle P nbsp fast sicher konstant Fur alle A B A displaystyle A B in mathcal A nbsp gilt lim n 1 n k 0 n 1 P A T k B P A P B displaystyle lim n to infty frac 1 n sum k 0 n 1 P left A cap T k B right P A P B nbsp Anwendungen BearbeitenMathematisch gesehen stellt der Birkhoffsche Ergodensatz fur ergodische Masstransformationen eine Variante des Starken Gesetzes der grossen Zahlen dar Dabei konnen durchaus auch abhangige Zufallsvariablen betrachtet werden Dasselbe gilt fur den Lp Ergodensatz Beispiele ergodischer Abbildungen BearbeitenRotation auf dem Einheitskreis Bearbeiten Betrachte das System W A P T displaystyle Omega mathcal A P T nbsp bestehend aus der Menge W R Z displaystyle Omega mathbb R mathbb Z nbsp der Borel s Algebra A B W displaystyle mathcal A mathcal B Omega nbsp dem Lebesguemass P l displaystyle P lambda nbsp und der Abbildung T W W x x a mod 1 displaystyle T Omega to Omega x mapsto x alpha bmod 1 nbsp Dieses System ist fur alle a R displaystyle alpha in mathbb R nbsp masserhaltend Es ist zudem genau dann ergodisch wenn a displaystyle alpha nbsp nicht rational ist sprich wenn gilt a R Q displaystyle alpha in mathbb R setminus mathbb Q nbsp Bernoulli Shift Bearbeiten Auch beim Bernoulli Shift handelt es sich um eine ergodische Abbildung Betrachte den Grundraum der 0 displaystyle 0 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp Folgen W 0 1 N displaystyle Omega 0 1 mathbb N nbsp mit zugehoriger Produkt s Algebra A displaystyle mathcal A nbsp und zugehorigem unendlichen Produktmass P displaystyle P nbsp definiert durch P i 0 P i 1 1 2 displaystyle P i 0 P i 1 frac 1 2 nbsp Bei der Bernoulli Abbildung T displaystyle T nbsp handelt es sich um dem Linksshift auf dem Grundraum W displaystyle Omega nbsp das heisst T displaystyle T nbsp ist definiert als T 0 1 N 0 1 N T x n x n 1 displaystyle T 0 1 mathbb N to 0 1 mathbb N T x n x n 1 nbsp Dann ist das 4 Tupel 0 1 N A P T displaystyle 0 1 mathbb N mathcal A P T nbsp ein ergodisches dynamisches System Gauss Abbildung Bearbeiten Sei der Grundraum W 0 1 displaystyle Omega 0 1 nbsp und A B 0 1 displaystyle mathcal A mathcal B 0 1 nbsp die entsprechende Borelsche s Algebra Definiere die Gauss Abbildung T displaystyle T nbsp durch T 0 1 0 1 T x 1 x mod 1 x 0 0 x 0 displaystyle T 0 1 to 0 1 T x begin cases tfrac 1 x bmod 1 amp x neq 0 0 amp x 0 end cases nbsp Falls nun als Mass das Gaussmass v A 1 ln 2 A 1 1 x d l x displaystyle text v A tfrac 1 ln 2 int A tfrac 1 1 x mathrm d lambda x nbsp A B 0 1 displaystyle A in mathcal B 0 1 nbsp gewahlt wird so handelt es sich bei 0 1 B 0 1 T v displaystyle 0 1 mathcal B 0 1 T v nbsp um ein ergodisches dynamisches System Geschichte BearbeitenDie heute als Ergodensatz bekannte Ubereinstimmung von Zeit und Raummittel Proportionalitat der Aufenthaltswahrscheinlichkeit zum Volumen eines raumlichen Gebiets wurde 1877 von Boltzmann formuliert und von Birkhoff 1932 mathematisch bewiesen wobei man fur den mathematischen Beweis eine Nullmenge von Punkten ausschliessen muss Vor Birkhoff hatten bereits von Neumann und Hopf einen L2 Ergodensatz bewiesen Den ersten Ergodizitatsbeweis in einer speziellen Situation fand 1924 Artin fur den geodatischen Fluss auf der Modulflache Neben ihrer ursprunglichen Herkunft aus der statistischen Physik hat Ergodentheorie heute Anwendungen in zahlreichen Gebieten der Physik und Mathematik bis hin zu Geometrie und Zahlentheorie Siehe auch BearbeitenErgodizitat Ergodisches Mass Ergodische Abbildung Ergodenhypothese Ergodischer stochastischer ProzessLiteratur BearbeitenHistorisch Bearbeiten G D Birkhoff Proof of the ergodic theorem 1931 Proc Natl Acad Sci U S A 17 S 656 660 doi 10 1073 pnas 17 2 656 JSTOR 86016 J von Neumann Proof of the Quasi ergodic Hypothesis 1932 Proc Natl Acad Sci USA 18 S 70 82 doi 10 1073 pnas 18 1 70 JSTOR 86165 J von Neumann Physical Applications of the Ergodic Hypothesis 1932 Proc Natl Acad Sci USA 18 S 263 266 doi 10 1073 pnas 18 3 263 JSTOR 86260 E Hopf Statistik der geodatischen Linien in Mannigfaltigkeiten negativer Krummung 1939 Leipzig Ber Verhandl Sachs Akad Wiss 91 S 261 304 S V Fomin and I M Gelfand Geodesic flows on manifolds of constant negative curvature 1952 Uspehi Mat Nauk 7 no 1 S 118 137 F I Mautner Geodesic flows on symmetric Riemann spaces 1957 Ann of Math 65 S 416 431 JSTOR 1970054 C C Moore Ergodicity of flows on homogeneous spaces 1966 Amer J Math 88 S 154 178 JSTOR 2373052Modern Bearbeiten D V Anosov Ergodic theory In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org abgerufen am 30 Juli 2019 Vorlage EoM id Wladimir Igorewitsch Arnold Andre Avez Ergodic Problems of Classical Mechanics W A Benjamin New York 1968 englisch Leo Breiman Probability Society for Industrial and Applied Mathematics 1992 ISBN 0 89871 296 3 Kap 6 englisch Erstausgabe Addison Wesley 1968 Peter Walters An introduction to ergodic theory Springer New York 1982 ISBN 0 387 95152 0 englisch Tim Bedford Michael Keane Caroline Series Hrsg Ergodic theory symbolic dynamics and hyperbolic spaces Oxford University Press 1991 ISBN 0 19 853390 X englisch Joseph M Rosenblatt Mate Weirdl Pointwise ergodic theorems via harmonic analysis In Karl E Petersen Ibrahim A Salama Hrsg Ergodic Theory and its Connections with Harmonic Analysis Proceedings of the 1993 Alexandria Conference Cambridge University Press Cambridge 1995 ISBN 0 521 45999 0 englisch Manfred Einsiedler Thomas Ward Ergodic theory with a view towards number theory Graduate Texts in Mathematics Band 259 Springer London London 2011 ISBN 978 0 85729 020 5 englisch Weblinks Bearbeitenwww fa uni tuebingen de Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ergodentheorie amp oldid 221741169