Geodätischer Fluss In Mathematik und Physik beschreibt der geodätische Fluss eine Bewegung entlang kürzester Verbindungs

Geodätischer Fluss

In Mathematik und Physik beschreibt der geodätische Fluss eine Bewegung entlang kürzester Verbindungsstrecken (Geodäten). Weil Geodäten nicht nur von ihrem Ausgangspunkt, sondern auch von ihrer Ausgangsrichtung abhängen, kann der geodätische Fluss nur auf dem Tangentialbündel definiert werden.

Definition Bearbeiten

Es sei eine vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Tangentialbündel . Nach dem Satz von Hopf-Rinow gibt es für jeden Tangentialvektor eine eindeutige Geodäte

mit

Wir definieren nun

durch

Dies definiert einen Fluss auf , d. h. es gilt und .

Häufig wird auch die Einschränkung des geodätischen Flusses auf das Einheitstangentialbündel als geodätischer Fluss bezeichnet.

Geodätischer Fluss als Hamiltonscher Fluss Bearbeiten

Der geodätische Fluss ist der Hamiltonsche Fluss der in lokalen Koordinaten durch

Hierbei bezeichnet die Einträge der zur Riemannschen Metrik inversen Matrix.

Physik Bearbeiten

Die Eulerschen Gleichungen für die Bewegung eines starren Körpers lassen sich interpretieren als geodätischer Fluss auf der Lie-Gruppe .

Die Eulerschen Gleichungen zur Fluiddynamik eines inviskosen inkompressiblen Flusses lassen sich interpretieren als geodätischer Fluss auf der unendlich-dimensionalen Lie-Gruppe der maßerhaltenden Abbildungen.

Beide Interpretationen gehen auf Wladimir Arnold zurück.

Geodätischer Fluss auf Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Schnittkrümmung Bearbeiten

Im Folgenden sei eine Riemannsche Mannigfaltigkeit nichtpositiver Schnittkrümmung.

Maßtheorie Bearbeiten

Der geodätische Fluss erhält das Liouville-Maß. Wenn kompakt ist, dann ist der geodätische Fluss ergodisch. Weiterhin ist er in diesem Fall exponentiell mischend, hat positive Entropie, dichte Orbiten, die Menge der periodischen Orbiten ist dicht und es gibt unendlich viele (linear unabhängige) invariante Maße.

Stabile und instabile Mannigfaltigkeiten Bearbeiten

Wenn strikt negative Schnittkrümmung hat (und auch noch unter schwächeren Voraussetzungen) ist der geodätische Fluss ein Anosov-Fluss.

Beziehung zur Dynamik der Sphäre im Unendlichen Bearbeiten

Wenn nichtpositive Schnittkrümmung hat und der geodätische Fluss nicht-wandernd ist, dann hat die Wirkung von auf der Sphäre im Unendlichen genau dann dichte Orbiten, wenn der geodätische Fluss auf dem Einheitstangentialbündel dichte Orbiten hat.

Beispiel: Hyperbolische Ebene Bearbeiten

Das Poincaré-Modell der hyperbolischen Ebene, verschiedene im selben Punkt endende Geodäten (in rot) und ein zugehöriger Horozykel (in blau).

Es sei die hyperbolische Ebene und ihr Einheitstangentialbündel. Die Wirkung der Gruppe der orientierungserhaltenden Isometrien

auf induziert eine Bijektion zwischen und . Wir betrachten die Wirkung von auf als Links-Wirkung. Dann entspricht der geodätische Fluss der Rechts-Wirkung von auf . Die stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten des geodätischen Flusses sind die Einschränkungen des Einheitstangentialbündels auf die Horozykel, algebraisch lassen sie sich beschreiben als die Nebenklassen von bzw. .

Literatur Bearbeiten

Patrick Eberlein: Geodesic flows in manifolds of nonpositive curvature. In: Proc. Sympos. Pure Math. Band 69, 2001, S. 525–571. (citeseerx.ist.psu.edu; PDF)

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

V. Arnold: Sur la géométrie différentielle des groupes de Lie de dimension infinie et ses applications à l'hydrodynamique des fluides parfaits. In: Ann. Inst. Fourier. (Grenoble). Band 16, Nr. 1, 1966, S. 319–361.
D. V. Anosov: Geodesic flows on closed Riemannian manifolds of negative curvature. In: Trudy Mat. Inst. Steklov. Volume 90, 1967, S. 3–210. (online)
W. Ballmann, M. Brin: On the ergodicity of geodesic flows. In: Erg. Th. Dyn. Syst. 2, 1982, S. 311–315.

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Veröffentlichungsdatum: November 20, 2023, 14:13 pm

In Mathematik und Physik beschreibt der geodatische Fluss eine Bewegung entlang kurzester Verbindungsstrecken Geodaten Weil Geodaten nicht nur von ihrem Ausgangspunkt sondern auch von ihrer Ausgangsrichtung abhangen kann der geodatische Fluss nur auf dem Tangentialbundel definiert werden Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Geodatischer Fluss als Hamiltonscher Fluss 3 Physik 4 Geodatischer Fluss auf Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Schnittkrummung 4 1 Masstheorie 4 2 Stabile und instabile Mannigfaltigkeiten 4 3 Beziehung zur Dynamik der Sphare im Unendlichen 4 4 Beispiel Hyperbolische Ebene 5 Literatur 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEs sei M displaystyle M nbsp eine vollstandige Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Tangentialbundel T M displaystyle TM nbsp Nach dem Satz von Hopf Rinow gibt es fur jeden Tangentialvektor v T x M x M displaystyle v in T x M x in M nbsp eine eindeutige Geodate g v M displaystyle gamma v colon infty infty to M nbsp mit g v 0 x g v 0 v 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fur die Bewegung eines starren Korpers lassen sich interpretieren als geodatischer Fluss auf der Lie Gruppe I s o m R 3 displaystyle mathrm Isom mathbb R 3 nbsp Die Eulerschen Gleichungen zur Fluiddynamik eines inviskosen inkompressiblen Flusses lassen sich interpretieren als geodatischer Fluss auf der unendlich dimensionalen Lie Gruppe S d i f f R 3 displaystyle mathrm Sdiff mathbb R 3 nbsp der masserhaltenden Abbildungen Beide Interpretationen gehen auf Wladimir Arnold zuruck 1 Geodatischer Fluss auf Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Schnittkrummung BearbeitenIm Folgenden sei M displaystyle M nbsp eine Riemannsche Mannigfaltigkeit nichtpositiver Schnittkrummung Masstheorie Bearbeiten Der geodatische Fluss erhalt das Liouville Mass Wenn M displaystyle M nbsp kompakt ist dann ist der geodatische Fluss ergodisch 2 3 Weiterhin ist er in diesem Fall exponentiell mischend hat positive Entropie dichte Orbiten die Menge der periodischen Orbiten ist dicht und es gibt unendlich viele linear unabhangige invariante Masse Stabile und instabile Mannigfaltigkeiten Bearbeiten Wenn M displaystyle M nbsp strikt negative Schnittkrummung hat und auch noch unter schwacheren Voraussetzungen ist der geodatische Fluss ein Anosov Fluss Beziehung zur Dynamik der Sphare im Unendlichen Bearbeiten Wenn M displaystyle M nbsp nichtpositive Schnittkrummung hat und der geodatische Fluss nicht wandernd ist dann hat die Wirkung von p 1 M displaystyle pi 1 M nbsp auf der Sphare im Unendlichen M displaystyle partial infty widetilde M nbsp genau dann dichte Orbiten wenn der geodatische Fluss auf dem Einheitstangentialbundel dichte Orbiten hat Beispiel Hyperbolische Ebene Bearbeiten nbsp Das Poincare Modell der hyperbolischen Ebene verschiedene im selben Punkt endende Geodaten in rot und ein zugehoriger Horozykel in blau Es sei H 2 displaystyle H 2 nbsp die hyperbolische Ebene und T 1 H 2 displaystyle T 1 H 2 nbsp ihr Einheitstangentialbundel Die Wirkung der Gruppe der orientierungserhaltenden Isometrien I s o m H 2 P S L 2 R displaystyle mathrm Isom H 2 simeq PSL 2 mathbb R nbsp auf T 1 H 2 displaystyle T 1 H 2 nbsp induziert eine Bijektion zwischen P S L 2 R displaystyle PSL 2 mathbb R nbsp und T 1 H 2 displaystyle T 1 H 2 nbsp Wir betrachten die Wirkung von P S L 2 R displaystyle PSL 2 mathbb R nbsp auf T 1 H 2 P S L 2 R displaystyle T 1 H 2 PSL 2 mathbb R nbsp als Links Wirkung Dann entspricht der geodatische Fluss F t displaystyle Phi t nbsp der Rechts Wirkung von e t 0 0 e t displaystyle left begin array cc e t amp 0 0 amp e t end array right nbsp auf P S L 2 R displaystyle PSL 2 mathbb R nbsp Die stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten des geodatischen Flusses sind die Einschrankungen des Einheitstangentialbundels auf die Horozykel algebraisch lassen sie sich beschreiben als die Nebenklassen von N 1 n 0 1 n R displaystyle N left left begin array cc 1 amp n 0 amp 1 end array right n in mathbb R right nbsp bzw N 1 0 n 1 n R displaystyle N left left begin array cc 1 amp 0 n amp 1 end array right n in mathbb R right nbsp Literatur BearbeitenPatrick Eberlein Geodesic flows in manifolds of nonpositive curvature In Proc Sympos Pure Math Band 69 2001 S 525 571 citeseerx ist psu edu PDF Weblinks BearbeitenTerence Tao The Euler Arnold equation Terence Tao Noether s theorem and the conservation laws for the Euler equations Einzelnachweise Bearbeiten V Arnold Sur la geometrie differentielle des groupes de Lie de dimension infinie et ses applications a l hydrodynamique des fluides parfaits In Ann Inst Fourier Grenoble Band 16 Nr 1 1966 S 319 361 D V Anosov Geodesic flows on closed Riemannian manifolds of negative curvature In Trudy Mat Inst Steklov Volume 90 1967 S 3 210 online W Ballmann M Brin On the ergodicity of geodesic flows In Erg Th Dyn Syst 2 1982 S 311 315 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Geodatischer Fluss amp oldid 197658424