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Busemann Funktion In der Riemannschen Geometrie einem Teilgebiet der Mathematik ist die eine Funktion die den Abstand zu

Busemann-Funktion

In der Riemannschen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Busemann-Funktion eine Funktion, die den "Abstand zu unendlich fernen Punkten" misst. Sie ist nach Herbert Busemann benannt.

Definition Bearbeiten

Sei eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und eine nach Bogenlänge parametrisierte Geodäte. Die Busemann-Funktion ist definiert durch

Der Grenzwert existiert, weil monoton wachsend und durch nach oben beschränkt ist.

In gewisser Weise misst den Abstand eines Punktes vom unendlich fernen Punkt .

Horosphären Bearbeiten

Das Poincaré-Modell der hyperbolischen Ebene, verschiedene im selben Punkt endende Geodäten (in Rot) und eine zugehörige Horosphäre (in Blau); die Horosphäre hängt nicht von der Geodäte, sondern nur vom Endpunkt ab.

Die Niveaumengen der Busemann-Funktion heißen Horosphären. Im Fall von Flächen werden die (dann eindimensionalen) Horosphären auch als Horozykel bezeichnet.

Die Subniveaumengen für werden als Horobälle bezeichnet. Eine Horosphäre ist also der Rand eines Horoballs.

Den Endpunkt im Unendlichen der die Busemann-Funktion definierenden Geodäten bezeichnet man als Mittelpunkt oder Zentrum der so definierten Horosphären und Horobälle.

Eigenschaften Bearbeiten

ist eine Lipschitz-Funktion mit Lipschitz-Konstante .

Wenn eine Hadamard-Mannigfaltigkeit ist, dann ist zweimal stetig differenzierbar und konkav (für jede Geodäte ).

Dagegen ist konvex, wenn nichtnegative Schnittkrümmung hat. Wenn nichtnegative Ricci-Krümmung hat, dann ist subharmonisch, und wenn eine Kähler-Mannigfaltigkeit mit nichtnegativer holomorpher Bischnittkrümmung ist, dann ist plurisubharmonisch.

Literatur Bearbeiten

  • Herbert Busemann: The geometry of geodesics. Academic Press Inc., New York, N. Y., 1955.

Weblinks Bearbeiten

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In der Riemannschen Geometrie einem Teilgebiet der Mathematik ist die Busemann Funktion eine Funktion die den Abstand zu unendlich fernen Punkten misst Sie ist nach Herbert Busemann benannt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Horospharen 3 Eigenschaften 4 Literatur 5 WeblinksDefinition BearbeitenSei M displaystyle M nbsp eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und g 0 M displaystyle gamma left 0 infty right rightarrow M nbsp eine nach Bogenlange parametrisierte Geodate Die Busemann Funktion b g M R displaystyle b gamma M rightarrow mathbb R nbsp ist definiert durch b g x lim t t d x g t x M displaystyle b gamma x lim t rightarrow infty t d x gamma t quad x in M nbsp Der Grenzwert existiert weil t d x g t displaystyle t d x gamma t nbsp monoton wachsend und durch d x g 0 displaystyle d x gamma 0 nbsp nach oben beschrankt ist In gewisser Weise misst b g displaystyle b gamma nbsp den Abstand eines Punktes vom unendlich fernen Punkt g displaystyle gamma infty nbsp Horospharen Bearbeiten nbsp Das Poincare Modell der hyperbolischen Ebene verschiedene im selben Punkt endende Geodaten in Rot und eine zugehorige Horosphare in Blau die Horosphare hangt nicht von der Geodate sondern nur vom Endpunkt ab Die Niveaumengen der Busemann Funktion heissen Horospharen Im Fall von Flachen werden die dann eindimensionalen Horospharen auch als Horozykel bezeichnet Die Subniveaumengen b g 1 a displaystyle b gamma 1 left a infty right nbsp fur a R displaystyle a in mathbb R nbsp werden als Horoballe bezeichnet Eine Horosphare ist also der Rand eines Horoballs Den Endpunkt im Unendlichen g displaystyle gamma infty nbsp der die Busemann Funktion b g displaystyle b gamma nbsp definierenden Geodaten bezeichnet man als Mittelpunkt oder Zentrum der so definierten Horospharen und Horoballe Eigenschaften Bearbeitenb g displaystyle b gamma nbsp ist eine Lipschitz Funktion mit Lipschitz Konstante 1 displaystyle 1 nbsp Wenn M displaystyle M nbsp eine Hadamard Mannigfaltigkeit ist dann ist b g displaystyle b gamma nbsp zweimal stetig differenzierbar und konkav fur jede Geodate g displaystyle gamma nbsp Dagegen ist b g displaystyle b gamma nbsp konvex wenn M displaystyle M nbsp nichtnegative Schnittkrummung hat Wenn M displaystyle M nbsp nichtnegative Ricci Krummung hat dann ist b g displaystyle b gamma nbsp subharmonisch und wenn M displaystyle M nbsp eine Kahler Mannigfaltigkeit mit nichtnegativer holomorpher Bischnittkrummung ist dann ist b g displaystyle b gamma nbsp plurisubharmonisch Literatur BearbeitenHerbert Busemann The geometry of geodesics Academic Press Inc New York N Y 1955 Weblinks BearbeitenBusemann function Encyclopedia of Mathematics Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Busemann Funktion amp oldid 208149495 Horospharen