www.wikidata.de-de.nina.az
Die Euler schen Kreiselgleichungen oder uneindeutig Euler schen Gleichungen sind Bewegungsgleichungen fur die Rotation eines starren Korpers Es sind die Komponenten des fur den Starrkorper in seinem Hauptachsensystem aufgeschriebenen Drallsatzes und stellen die wichtigste Grundgleichung der Kreiseltheorie dar Wird der Korper einem Drehmoment ausgesetzt entwickeln sich Kreiselwirkungen die versuchen die Eigendrehung mit der erzwungenen Drehung in Deckung zu bringen 1 Die Kreiselwirkungen sind die summierten Drehmomente der Eulerkrafte und Zentrifugalkrafte an allen Massenpunkten des Korpers Das Moment und die Kreiselwirkungen befinden sich im dynamischen Gleichgewicht was die Kreiselgleichungen ausdrucken M 1 8 1 w 1 8 3 8 2 w 2 w 3 L 1 1 8 2 1 8 3 L 2 L 3 M 2 8 2 w 2 8 1 8 3 w 3 w 1 L 2 1 8 3 1 8 1 L 3 L 1 M 3 8 3 w 3 8 2 8 1 w 1 w 2 L 3 1 8 1 1 8 2 L 1 L 2 displaystyle begin aligned M 1 amp Theta 1 dot omega 1 Theta 3 Theta 2 omega 2 omega 3 dot L 1 left frac 1 Theta 2 frac 1 Theta 3 right L 2 L 3 M 2 amp Theta 2 dot omega 2 Theta 1 Theta 3 omega 3 omega 1 dot L 2 left frac 1 Theta 3 frac 1 Theta 1 right L 3 L 1 M 3 amp Theta 3 dot omega 3 Theta 2 Theta 1 omega 1 omega 2 dot L 3 left frac 1 Theta 1 frac 1 Theta 2 right L 1 L 2 end aligned Darin sind jeweils fur k 1 2 3 displaystyle k 1 2 3 M k displaystyle M k die von aussen angreifenden Drehmomente 8 k displaystyle Theta k die Haupttragheitsmomente L k 8 k w k displaystyle L k Theta k omega k die Drehimpulse w k displaystyle omega k die Winkelgeschwindigkeiten und w k displaystyle dot omega k die Winkelbeschleunigungenim Hauptachsensystem Gelegentlich wird auch die dazu gehorige Vektorgleichung 2 M 8 w w 8 w d r d t L L 8 1 L displaystyle vec M mathbf Theta cdot dot vec omega vec omega times mathbf Theta cdot vec omega frac mathrm d r mathrm d t vec L vec L cdot mathbf Theta 1 times vec L mit dem Tragheitstensor 8 displaystyle mathbf Theta als Euler sche Kreiselgleichung angegeben Hier bildet die Vektortransformation das Kreuzprodukt und d r d t displaystyle tfrac mathrm d r mathrm d t die relative Zeitableitung im Hauptachsensystem Die Drehmomente Haupttragheitsmomente und Drehimpulse werden mit einem Bezugspunkt berechnet fur den sich der Massenmittelpunkt oder ein unbeschleunigter in einem Inertialsystem ruhender Stutzpunkt eignen siehe Drallsatz am starren Korper Die ersten Summanden auf den rechten Seiten bestehend aus den Winkelbeschleunigungen und Drehimpulsanderungen resultieren aus den Kreiselwirkungen der Euler Krafte und die anderen in den Winkelgeschwindigkeiten und Drehimpulsen quadratischen Terme berucksichtigen die Kreiselwirkungen der Zentrifugalkrafte Wenn die Bewegung bekannt ist dann konnen aus diesen Gleichungen die Momente berechnet werden die im Bezugspunkt eingeleitet werden mussen damit der Korper die vorgegebene Bewegung ausfuhrt Die Kreiselgleichungen wurden von Leonhard Euler 1750 aufgestellt und spater zum Drallsatz weiterentwickelt 3 Inhaltsverzeichnis 1 Spezialfalle 1 1 Euler Poisson Gleichungen 1 2 Kugelkreisel 1 3 Ebene Bewegungen 2 Losungen der Kreiselgleichungen bei ebenen Bewegungen 2 1 Anstoss einer Billardkugel 2 2 Ein eine schiefe Ebene hinabrollendes Rad 3 Beispiel Fliehkraftpendel 3 1 Kinematik 3 2 Kinetik 3 3 Gleichgewichtslagen 3 4 Energiebetrachtung 3 5 Schwingungen 4 Siehe auch 5 Einzelnachweise 6 Literatur 7 WeblinksSpezialfalle BearbeitenEuler Poisson Gleichungen Bearbeiten Hauptartikel Euler Poisson Gleichungen Die Euler Poisson Gleichungen sind die spezifischen Kreiselgleichungen fur den schweren Kreisel bei dem das aussere Moment von der Schwerkraft herruhrt Die klassische Kreiseltheorie ist fast ausschliesslich dem schweren Kreisel mit Stutzpunkt gewidmet und es wurde viel Aufwand in das Auffinden exakter Losungen gesteckt Eine Auflistung einiger dieser Losungen 4 findet sich im Hauptartikel Kugelkreisel Bearbeiten Ein Kugelkreisel ist ein Kreisel mit drei identischen Haupttragheitsmomenten 8 sodass sich die Kreiselgleichungen dann auf M 8 w displaystyle vec M Theta dot vec omega nbsp reduzieren Die Winkelbeschleunigung ist beim Kugelkreisel also parallel zum angreifenden Moment Beim Kugelkreisel sind die Fliehkrafte im Korper immer im mechanischen Gleichgewicht Ein Vergleich mit den Bewegungsgleichungen bei einer Translationsbewegung zeigt dass der Kugelkreisel das genaue Analogon des Massenpunkts bei Rotationsbewegungen ist Ebene Bewegungen Bearbeiten Bei einer ebenen Bewegung um eine Haupttragheitsachse beispielsweise die 3 Achse entfallen Drehungen und Momente um die 1 und 2 Achsen und die Gleichungen reduzieren sich auf M 3 8 3 f displaystyle M 3 Theta 3 ddot varphi nbsp wobei f der Drehwinkel um die 3 Achse ist Losungen der Kreiselgleichungen bei ebenen Bewegungen BearbeitenIm ebenen Fall sind die Kreiselgleichungen oftmals analytisch losbar wofur die beiden folgenden Falle Beispiele sind Anstoss einer Billardkugel Bearbeiten nbsp Abb 1 Anstoss einer Billardkugel parallel zur TischplatteParallel zur Tischplatte soll eine Billardkugel mit Radius r Masse m und Massentragheitsmoment 8 so angestossen werden dass sie nicht uber den Tisch rutscht siehe Abb 1 Es stellt sich die Frage in welcher Hohe h uber der Platte die Kraft F eingeleitet werden muss damit fur das schlupflose Rollen keine Reibkraft am Tisch notwendig ist Die exzentrisch an der Kugel angreifende horizontale Kraft entwickelt ein Moment M h r F um den Massenmittelpunkt das die Kugel gemass der Kreiselgleichung M h r F 8 f displaystyle M h r F Theta ddot varphi nbsp in Drehung versetzt Das Moment ist negativ weil es entgegen der Zahlrichtung des Drehwinkels f wirkt Ausserdem beschleunigt die Kraft die Kugel gemass dem Gesetz Kraft gleich Masse mal Beschleunigung F m x displaystyle F m ddot x nbsp Die Beschleunigung x displaystyle ddot x nbsp ist parallel zum Tisch in Richtung der Kraft Die Bedingung fur schlupfloses Rollen x r f displaystyle ddot x r ddot varphi nbsp schliesst das Gleichungssystem fur die drei Unbekannten h f und x ab Damit berechnet sich h r F 8 f 8 r x 8 m r F h r 8 m r displaystyle h r F Theta ddot varphi frac Theta r ddot x frac Theta mr F quad rightarrow quad h r frac Theta mr nbsp Die Kraft muss demnach im Stossmittelpunkt angreifen damit die Kugel schlupflos rollt Bei einer massiven homogenen Kugel ist das Massentragheitsmoment 8 2 5 mr und somit h 7 5 r 7 10 d displaystyle h frac 7 5 r frac 7 10 d nbsp wobei d 2r der Durchmesser der Kugel ist Ein eine schiefe Ebene hinabrollendes Rad Bearbeiten nbsp Abb 2 Ein eine schiefe Ebene hinab rollendes Rad In einer ebenen Bewegung rolle ein Rad mit Radius r Masse m und Massentragheitsmoment 8 eine mit dem Winkel a geneigte Ebene unter Einfluss einer Schwerebeschleunigung g hinab siehe Abb 2 Weil sich das Rad dabei auch translatorisch bewegt geht auch seine Masse in die Beschleunigung ein Die Beschleunigung wachst jedoch wenn das Massentragheitsmoment abnimmt Aufgrund des schlupflosen Abrollens entsteht am Aufstandspunkt des Rades eine Reibkraft R die das Rad in Drehung versetzt denn es entspricht einem Moment M r R um den Massenmittelpunkt Das Moment ist negativ weil es entgegen der Zahlrichtung des Drehwinkels f arbeitet Damit lautet die Kreiselgleichung im ebenen Fall r R 8 f displaystyle rR Theta ddot varphi nbsp Die auf das Rad hangabwarts wirkende Komponente F der Gewichtskraft mg hat die Grosse F mgsin a Ihr entgegen steht die Reibkraft sodass nach dem zweiten newtonschen Gesetz gilt F R m x R m g sin a m x displaystyle F R m ddot x quad rightarrow quad R mg sin alpha m ddot x nbsp worin x displaystyle ddot x nbsp die hangabwarts zahlende Beschleunigung des Rades und sin die Sinusfunktion ist Die Bedingung fur schlupfloses Rollen x r f displaystyle ddot x r ddot varphi nbsp schliesst das Gleichungssystem fur die drei Unbekannten R f und x ab und es ergibt sich x m r 2 8 m r 2 g sin a displaystyle ddot x frac mr 2 Theta mr 2 g sin alpha nbsp Ein hangabwarts reibungsfrei rutschender Klotz erfahrt die Beschleunigung x g sin a displaystyle ddot x g sin alpha nbsp die grosser ist als die des Rades denn beim Rad wird ein Teil der potentiellen Energie in Rotationsenergie umgesetzt die dann fur die Translation fehlt Beispiel Fliehkraftpendel BearbeitenEin bemerkenswerter Anwendungsfall der Euler schen Kreiselgleichungen ist die Perle auf rotierendem Kreisring im Schwerefeld 5 6 das konische oder Fliehkraftpendel denn es hat uberraschende Eigenschaften In Worten der Kreiseltheorie handelt es sich um einen schweren Kreisel der in einem Punkt festgehalten wird und bei dem die Eigendrehung um die Pendelachse durch aussere Momente verhindert und die Prazessionsgeschwindigkeit konstant gehalten wird Komplexere Eigenschaften treten bei beliebiger Lage des Massenmittelpunkts und anfanglicher Ausrichtung der Hauptachsen auf Vereinfachungen ergeben sich mit Massenmittelpunkt auf der 1 Achse und permanent horizontaler 3 Achse des Hauptachsen systems Kinematik Bearbeiten Die in der Kreiseltheorie ublichen Definitionen der Winkel und Winkelgeschwindigkeiten werden ubernommen Insbesondere wird die z Komponente der 2 Achse n 2 sin ϑ cos f cos f displaystyle n 2 sin vartheta cos varphi cos varphi nbsp bei horizontaler 3 Achse ϑ 90 benotigt die identisch mit der 2 Komponente des Einheitsvektors ist der vertikal nach oben weist Die Funktionen sin und cos bilden den Sinus und Kosinus Die Winkelgeschwindigkeiten lauten unter den hiesigen Bedingungen m ps w 1 sin f w 2 cos f const ϑ w 1 cos f w 2 sin f 0 w 1 m sin f w 2 m cos f w 3 f displaystyle begin aligned mu amp dot psi omega 1 sin varphi omega 2 cos varphi text const dot vartheta amp omega 1 cos varphi omega 2 sin varphi equiv 0 omega 1 amp mu sin varphi omega 2 mu cos varphi omega 3 dot varphi end aligned nbsp Der Winkel ϑ ist unveranderlich wenn er anfangs keine Zeitableitung hat und dauerhaft keine Beschleunigung erfahrt Kinetik Bearbeiten Die 1 oder Pendelachse tragt im Abstand s gt 0 vom Fixpunkt den Massenmittelpunkt dessen Gewichtskraft mg somit ein Schweremoment auf das Pendel ausubt Zusatzlich zu diesem Schweremoment wirken aussere Momente M1 2 in 1 bzw 2 Richtung des Hauptachsensystems um Winkelbeschleunigungen von ϑ und m zu unterdrucken Die Kreiselgleichungen in 1 und 2 Richtung dienen nur der Bestimmung dieser Momente die hier nicht interessieren Bemerkenswert ist jedoch dass diese Drehmomente eine zeitliche Anderung des vertikalen Drehimpulses verursachen 5 der bei schweren Kreiseln immer konstant ist Um die horizontale 3 Richtung kann das Pendel frei drehen und das Schweremoment in dieser Richtung ist mgsn2 mgs cos f siehe Kinematik oben und Euler Poisson Gleichungen Damit liefert die dritte der Kreiselgleichungen M 3 m g s cos f C w 3 B A w 1 w 2 displaystyle M 3 mgs cos varphi C dot omega 3 B A omega 1 omega 2 nbsp die Bewegungsgleichung f 1 C A B m 2 sin f m g s cos f displaystyle ddot varphi frac 1 C A B mu 2 sin varphi mgs cos varphi nbsp Darin sind A B und C die Haupttragheitsmomente um die 1 2 bzw 3 Achse Gleichgewichtslagen Bearbeiten Im Gleichgewicht verschwindet in die Winkelbeschleunigung C f A B m 2 sin f m g s cos f 0 displaystyle C ddot varphi A B mu 2 sin varphi mgs cos varphi 0 nbsp Anders als beim sich selbst uberlassenen Lagrange Kreisel ist eine Prazession mit waagerechter Achse f 0 nicht moglich Mangels Eigendrehung gibt es hier keine Kreiselwirkung die das Schweremoment ausgleichen konnte Das Gleichgewicht mit lotrechter 1 Achse f 90 ist allen Kreiseln zuganglich auch dem Kugelkreisel der nur dort Gleichgewicht findet Bei A B ergeben sich die Gleichgewichtslagen aus sin f m g s A B m 2 cos f 0 displaystyle left sin varphi frac mgs A B mu 2 right cos varphi 0 nbsp Wenn A B dasselbe Vorzeichen wie sin f hat kann der Term in der eckigen Klammer null werden Dazu muss sin f 1 m m g s A B m c displaystyle sin varphi leq 1 quad Rightarrow quad mu geq sqrt frac mgs A B mu c nbsp erfullt sein Das Pendel muss eine kritische Drehgeschwindigkeit mc uberschreiten damit diese Gleichgewichtslage abseits der Senkrechten existiert Beim abgeplatteten Kreisel weist die 1 Achse im Gleichgewicht nach oben ist A gt B und sin f gt 0 und beim gestreckten nach unten A lt B und sin f lt 0 Analog zum symmetrischen Kreisel wird das Pendel hier und im folgenden abgeplattet genannt wenn A gt B und gestreckt wenn B gt A Energiebetrachtung Bearbeiten Multiplikation der Bewegungsgleichung mit f displaystyle dot varphi nbsp ermoglicht eine Zeitintegration E C 2 f 2 B A 2 m 2 sin 2 f m g s sin f displaystyle E frac C 2 dot varphi 2 frac B A 2 mu 2 sin 2 varphi mgs sin varphi nbsp Die Integrationskonstante E ist die Energie des Pendels im rotierenden System 5 der erste Summand tragt die Rotationsenergie um die 3 Achse bei der zweite Summand ist das Zentrifugalpotential der Prazession und der dritte Summand steht fur die Lageenergie im Schwerefeld der Erde Die Energie und ihre Ableitungen nach f ergeben sich mit der Abkurzung z m g s A B m 2 displaystyle z tfrac mgs A B mu 2 nbsp zu E C 2 f 2 B A m 2 sin 2 f 2 z sin f E B A m 2 sin f z cos f E B A m 2 1 z sin f 2 sin 2 f displaystyle begin aligned E amp frac C 2 dot varphi 2 B A mu 2 bigg frac sin 2 varphi 2 z sin varphi bigg E amp B A mu 2 sin varphi z cos varphi E amp B A mu 2 1 z sin varphi 2 sin 2 varphi end aligned nbsp Beim gestreckten Kreisel ist B gt A und z lt 0 und beim abgeplattenten Kreisel ist B lt A sowie z gt 0 Stabilitat liegt in einem Energieminimum vor wo E 0 und E gt 0 ist Die Energie ist in Gleichgewichtslagen stationar bei sin f z oder cos f 0 wo sin f 1 oder sin f 1 ist Gleichgewichtslage mit sin f z Hier ist E A B m z 1 Diese Bewegung ist beim gestreckten Kreisel stabil wenn z 2 lt 1 also immer und beim abgeplatteten wenn z 2 gt 1 also nie Hangendes Pendel sin f 1 Hier ist E A B m 1 z Der untere Totpunkt ist beim abgeplatteten Kreisel stabil wenn z gt 1 also immer und beim gestreckten wenn z lt 1 also m lt mc Bei zunehmendem m durchlauft das gestreckte Pendel bei m mc eine subkritische Pitchfork Bifurkation 5 wo die stabile Lage am unteren Totpunkt instabil wird und zwei stabile Gleichgewichtslagen mit sin f z entstehen Im Gegensatz dazu ist der lotrecht hangende Lagrange Kreisel immer stabil 7 siehe dort Aufrechtes Pendel sin f 1 Hier ist E A B m 1 z Der obere Totpunkt ist beim gestreckten Kreisel stabil wenn z gt 1 also nie und beim abgeplatteten wenn z lt 1 oder m gt mc Bei zunehmendem m durchlauft das abgeplattete Pendel bei m mc eine superkritische Pitchfork Bifurkation wo die instabile Lage am oberen Totpunkt stabil wird und zwei neue instabile Gleichgewichtslagen mit sin f z entstehen Schwingungen Bearbeiten Die Gleichung kann um Gleichgewichtslagenf0 wo z sin f0 ist linearisiert werden Dazu wird f f0 d mit konstantem f0 und kleiner Abweichung d angenommen Die Drehbeschleunigung C f C d A B m 2 sin f 0 d cos f 0 d m g s cos f 0 d displaystyle C ddot varphi C ddot delta A B mu 2 sin varphi 0 delta cos varphi 0 delta mgs cos varphi 0 delta nbsp entwickelt sich mit den Additionstheoremen und sin d d cos d 1 zur Schwingungsgleichung d B A C m 2 cos 2 f 0 d 0 displaystyle ddot delta frac B A C mu 2 cos 2 varphi 0 delta 0 nbsp mit sin f 0 m g s A B m 2 displaystyle sin varphi 0 frac mgs A B mu 2 nbsp Beim gestreckten Kreisel ist B gt A und der Ruckstellkoeffizient vor d immer positiv weswegen der gestreckte Kreisel kleine Schwingungen um Gleichgewichtslagen ausfuhren kann Beim abgeplattenten Kreisel ist wegen A gt B der Ruckstellkoeffizient negativ Daher kann der abgeplattete Kreisel keine Schwingungen um Gleichgewichtslagen abseits der Senkrechten ausfuhren was im Einklang mit den Ergebnissen aus der Energiebetrachtung ist Siehe auch BearbeitenPoinsotsche Konstruktion grafische Beschreibung der momentenfreien Bewegung Physikalisches PendelEinzelnachweise Bearbeiten Grammel 1920 S 70 In der Tensoralgebra kann auf Klammerungen verzichtet werden L 8 1 L L 8 1 L L 8 1 L displaystyle vec L cdot mathbf Theta 1 times vec L vec L cdot mathbf Theta 1 times vec L vec L cdot mathbf Theta 1 times vec L nbsp Clifford Truesdell Die Entwicklung des Drallsatzes In Gesellschaft fur Angewandte Mathematik und Mechanik Hrsg Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik Heft 4 5 Band 44 April 1964 S 149 158 doi 10 1002 zamm 19640440402 wiley com Magnus 1971 S 109 a b c d P Eckelt Theoretische Mechanik PDF Institut fur Theoretische Physik an der Westfalischen Wilhelms Universitat Munster 2000 S 11 bis 13 abgerufen am 16 Juli 2016 siehe auch die dort angegebenen Quellen Arnold 1988 S 95 f Grammel 1920 S 111 Literatur BearbeitenHerbert Goldstein Charles P Poole Jr John L Safko Klassische Mechanik 3 Auflage Wiley VCH Weinheim 2006 ISBN 3 527 40589 5 K Magnus Kreisel Theorie und Anwendungen Springer Berlin Heidelberg New York 1971 ISBN 3 540 05198 8 S 49 R Grammel Der Kreisel Seine Theorie und seine Anwendungen Vieweg Verlag Braunschweig 1920 DNB 451641280 S 45 archive org Schwung bedeutet Drehimpuls Drehstoss etwa Drehmoment und Drehwucht Rotationsenergie oderR Grammel Der Kreisel Seine Theorie und seine Anwendungen 2 uberarb Auflage 1 Die Theorie des Kreisels Springer Berlin Gottingen Heidelberg 1950 DNB 451641299 S 23 V I Arnol d V I Arnold Mathematische Methoden der klassischen Mechanik Birkhauser Verlag Basel 1988 ISBN 978 3 0348 6670 5 S 95 f doi 10 1007 978 3 0348 6669 9 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche abgerufen am 14 Februar 2018 russisch Matematicheske metody klassicheskoya mehaniki Moskau 1979 Ubersetzt von Prof Dr Peter Mobius TU Dresden oderV I Arnol d Mathematical Methods of Classical Mechanics 2 Auflage Springer New York Berlin Heidelberg London Paris Tokyo 1989 ISBN 3 540 96890 3 S 150 Eugene Leimanis The General Problem of the Motion of Coupled Rigid Bodies about a Fixed Point Springer Verlag Berlin Heidelberg 1965 ISBN 3 642 88414 8 S 6 doi 10 1007 978 3 642 88412 2 englisch eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche abgerufen am 27 Dezember 2019 Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Kreisel Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Interaktive Animationen von Kreisel und Pendelbewegungen englisch Normdaten Sachbegriff GND 4347881 5 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Eulersche Gleichungen Kreiseltheorie amp oldid 231168293