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Symmetrischer Kreisel Der symmetrische Kreisel ist in der Kreiseltheorie ein Kreisel mit zwei gleichen Hauptträgheitsmom

Symmetrischer Kreisel

Der symmetrische Kreisel ist in der Kreiseltheorie ein Kreisel mit zwei gleichen Hauptträgheitsmomenten. Typische Beispiele sind der rotationssymmetrische Spielzeugkreisel oder andere homogene Rotationskörper.

Symmetrische Kreisel werden vielfach angewendet bei der Drallstabilisierung von Schiffen (Schiffskreisel), Raumflugkörpern, Kreiselinstrumenten und Trägheitsnavigationssystemen und sind Gegenstand in der Astronomie und Ballistik.

Allgemeines

Jeder Starrkörper besitzt drei Hauptträgheitsmomente und drei dazugehörige Hauptträgheitsachsen oder kurz Hauptachsen, die sich aus der Lösung des Eigenwertproblems des Trägheitstensors ermitteln.

Die für die Drehung um einen Fixpunkt oder den Massenmittelpunkt maßgeblichen Bewegungsgleichungen sind die Eulerschen Kreiselgleichungen oder für den schweren Kreisel die Euler-Poisson-Gleichungen.

Die Figurenachse ê3 ist beim symmetrischen Kreisel seine Symmetrieachse, bezüglich der er das dritte oder axiale Hauptträgheitsmoment besitzt. Um diese Achse ist das Trägheitsellipsoid rotationssymmetrisch. Die Hauptachsen ê1,2 mit den beiden übereinstimmenden äquatorialen Hauptträgheitsmomenten sind senkrecht zur Figurenachse in der Äquatorebene und dort beliebig orientiert. Es werden zwei Achsen ausgewählt, sodass die Hauptachsen ê1,2,3 ein rechtshändiges Orthonormalsystem bilden. Abhängig davon, ob das axiale Hauptträgheitsmoment größer oder kleiner als das äquatoriale ist, wird der Kreisel abgeplattet oder gestreckt genannt.

Die Symmetrie verlangt nicht, dass der Kreiselkörper irgendwie im geometrischen Sinn symmetrisch wäre. Insbesondere hängt die Symmetrie nach dem Steinerschen Satz vom Bezugspunkt ab; ein Kreisel kann daher bezüglich eines Punktes ein symmetrischer und bezüglich eines anderen Punktes ein unsymmetrischer Kreisel sein.

Die Symmetrie des Kreisels ist unabhängig von der Lage des Massenmittelpunkts. So sind der Kowalewskaja-Kreisel und der Gorjatschew-Tschaplygin-Kreisel, jeweils mit einem abseits der Figurenachse gelegenen Massenmittelpunkt, trotzdem symmetrische Kreisel.

Hauptträgheitsmomente

Der symmetrische Kreisel hat ein doppeltes, äquatoriales Hauptträgheitsmoment A und ein drittes, axiales C. Bei einem Starrkörper erfüllen die Hauptträgheitsmomente die Dreiecksungleichungen

siehe Trägheitsmoment. Während die erste Ungleichung immer zutrifft, bedeutet die zweite 2A > C oder A > C/2. Dann kann es einen symmetrischen Kreisel mit den Hauptträgheitsmomenten A und C geben.

Gyroskopische oder Drallstabilisierung

Abb. 1: Schwungrad zur Erläuterung der Kreiselwirkung

Eine der technisch wertvollsten Eigenschaften von symmetrischen Kreiseln ist die Möglichkeit, mit ihnen Körper in ihrer räumlichen Ausrichtung zu stabilisieren. Dies wird bei Schiffen, Raumflugkörpern und Geschossen ausgenutzt. Die Drallstabilisierung basiert auf Kreiselwirkungen.

Wirkt auf das um die y-Achse rotierende Schwungrad im Bild beispielsweise ein nicht zu großes Moment Mz senkrecht zur frei beweglichen Drehachse, dann beginnt das Schwungrad nicht um z zu drehen, sondern führt eine Schwingung um z aus mit der Schwingungsgleichung

Darin ist L der axiale Drehimpuls um die Figurenachse. Die Schwingungsgleichung ist eine Näherung, die nur bei kleiner Auslenkung ψ gültig ist.

Für die stabilisierende Kreiselwirkung ist dabei die freie Drehungsmöglichkeit der Figurenachse um die äquatorialen Achsen entscheidend. Wird die Drehachse durch Lager an die xy-Ebene gebunden, dann können die Momente der Trägheitskräfte nicht ihr Potenzial entfalten und es tritt keine Drallstabilisierung auf.

In einem komplizierteren Mechanismus ist eine Drallstabilisierung allerdings nicht immer möglich. William Thomson, 1. Baron Kelvin und Peter Guthrie Tait konnten zeigen,

  1. dass nur Systeme mit einer geraden Anzahl von labilen Freiheitsgraden gyroskopisch stabilisiert werden können, wobei indifferente Freiheitsgrade im Allgemeinen zu den labilen zu zählen sind,
  2. dass wenn keine Dämpfung vorhanden ist, die Stabilisierung einer geraden Anzahl von labilen Freiheitsgraden stets erzwungen werden kann und
  3. dass bei vorhandener Dämpfung gyroskopische Stabilisierung nur mit Hilfe künstlich angefachter Freiheitsgrade möglich ist.

Von den hier angesprochenen Freiheitsgraden sind die Drehwinkel um die Figurenachse (genauer die zyklischen Koordinaten) der Kreisel ausgenommen.

Winkelgeschwindigkeit und Drehimpuls

Beim symmetrischen Kreisel kann die Winkelgeschwindigkeit vorteilhaft mit dem Drehimpuls ausgedrückt werden:

Hier bezeichnen

  • ê1,2,3 die Hauptachsen,
  • die Winkelgeschwindigkeit,
  • p, q, r = ω1,2,3 die Winkelgeschwindigkeiten im Hauptachsensystem,
  • A, C die Hauptträgheitsmomente in 1-/2- bzw. 3-Richtung,
  • den Drehimpuls,
  • den Drehimpuls in 3-Richtung und im Folgenden
  • „ד das Kreuzprodukt und „·“ das Skalarprodukt.

Daraus ist ersichtlich, dass beim symmetrischen Kreisel die Winkelgeschwindigkeit, der Drehimpuls und die Figurenachse immer komplanar sind. Aus dem Drallsatz ergibt sich weiters:

Darin bildet die relative Zeitableitung im Hauptachsensystem. Wenn das äußere Moment keine Komponente in Richtung der Figurenachse hat, was beim symmetrischen Euler-Kreisel, beim Lagrange-Kreisel und bei der regulären Präzession um die Lotrichtung der Fall ist, dann ist der Drehimpuls um die Figurenachse zeitlich konstant.

Die aus der ersten Gleichungszeile folgenden Eulerschen Kreiselgleichungen reduzieren sich auf eine einzige Differentialgleichung

worin f und g bekannte Funktionen der Zeit t, wenn die Drehmomente M1,2,3 im Hauptachsensystem bekannte Funktionen der Zeit sind, und p die Winkelgeschwindigkeit um eine Hauptachse ist. Die Differentialgleichung verkürzt sich weiter auf die integrable Form

wenn die Zeit durch die neue unabhängige Variable substituiert wird.

Reguläre Präzession um die Lotrichtung

Abb. 2: Reguläre Präzession eines symmetrischen Kreisels

Der symmetrische Kreisel führt wie in der Animation in Abb. 2 eine reguläre Präzession um die Lotrichtung aus, wenn er mit jeweils konstanter Winkelgeschwindigkeit um eine raumfeste Präzessionsachse und eine körperfeste Achse dreht, die einen gleichbleibenden Winkel einschließen. Die Kreiselwirkung des axialen Drehimpulses ist dessen Geschwindigkeit entgegen und horizontal ausgerichtet. Diese Kreiselwirkung kann beim schweren Kreisel nur dann vom horizontalen Drehmoment der lotrechten Gewichtskraft dynamisch ausgeglichen werden, wenn

  1. der Massenmittelpunkt auf der Figurenachse liegt oder
  2. der Kreisel keine Eigendrehung um die Figurenachse aufweist und der Massenmittelpunkt in der von der Figurenachse und der Lotrichtung aufgespannten Präzessionsebene liegt.

Die Nutation des symmetrischen Euler-Kreisels kann als momentenfreier Spezialfall der ersten Möglichkeit aufgefasst werden, wenn die Vertikale parallel zum Drehimpuls ausgerichtet wird. Der zweite Fall stellt eine Staude-Drehung dar.

Staude-Drehungen

Abb. 3: Karussell-Bewegung eines Kowalewskaja-Kreisels

Wenn der Massenmittelpunkt nicht auf der Figurenachse ist, kann der symmetrische Kreisel dann eine der regulären Präzession vergleichbare regelmäßige Bewegung ausführen, wenn der Massenmittelpunkt immer noch in der Präzessionsebene liegt. Das ist beispielsweise beim Kowalewskaja-Kreisel der Fall, wenn er, wie in der Animation in Abb. 3, Karussell-Bewegungen ausführt, siehe Hauptartikel.

Weblinks

Commons: Kreisel – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

  1. Magnus (1971), S. 20, Grammel (1920), S. 39, siehe Literatur.
  2. Magnus (1971), S. 20.
  3. Magnus (1971), S. 20 und 126. Richard Grammel forderte 21 Jahre vor Magnus noch, dass beim symmetrischen schweren Kreisel der Massenmittelpunkt auf der Figurenachse liege, siehe Grammel (1920), S. 88 oder Grammel (1950), S. 78.
  4. Klein und Sommerfeld (1910), S. 767f.
  5. Grammel (1950), S. 261 f.
  6. Rauch-Wojciechowski, Sköldstam und Glad (2005), S. 335.
  7. Leimanis (1965), S. 7.

Literatur

  • K. Magnus: Kreisel: Theorie und Anwendungen. Springer, 1971, ISBN 978-3-642-52163-8, S. 20 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 20. Februar 2018]).
  • R. Grammel: Der Kreisel. Theorie des Kreisels. 2. überarb. Auflage. Band 1.. Springer, Berlin, Göttingen, Heidelberg 1950, DNB 451641299.
  • R. Grammel: Der Kreisel. Seine Theorie und seine Anwendungen. Vieweg Verlag, Braunschweig 1920, DNB 451641280, S. 39 (archive.org – "Schwung" bedeutet Drehimpuls, "Drehstoß" Drehmoment und "Drehwucht" Rotationsenergie).
  • F. Klein, A. Sommerfeld: Theorie des Kreisels. Die technischen Anwendungen der Kreiseltheorie. Heft IV. Teubner, Leipzig 1910, S. 767 (archive.org [abgerufen am 21. Oktober 2017]).
  • S. Rauch-Wojciechowski, M. Sköldstam, T. Glad: Mathematical analysis of the tippe top. In: Regular and Chaotic Dynamics. Band 10, Nr. 4. Springer Nature, 2005, ISSN 1468-4845, S. 333–362, doi:10.1070/RD2005v010n04ABEH000319 (turpion.org [abgerufen am 15. Dezember 2018]).
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Veröffentlichungsdatum:
Der symmetrische Kreisel ist in der Kreiseltheorie ein Kreisel mit zwei gleichen Haupttragheitsmomenten 1 Typische Beispiele sind der rotationssymmetrische Spielzeugkreisel oder andere homogene Rotationskorper Symmetrische Kreisel werden vielfach angewendet bei der Drallstabilisierung von Schiffen Schiffskreisel Raumflugkorpern Kreiselinstrumenten und Tragheitsnavigationssystemen und sind Gegenstand in der Astronomie und Ballistik Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeines 2 Haupttragheitsmomente 3 Gyroskopische oder Drallstabilisierung 4 Winkelgeschwindigkeit und Drehimpuls 5 Regulare Prazession um die Lotrichtung 6 Staude Drehungen 7 Weblinks 8 Einzelnachweise 9 LiteraturAllgemeines BearbeitenJeder Starrkorper besitzt drei Haupttragheitsmomente und drei dazugehorige Haupttragheitsachsen oder kurz Hauptachsen die sich aus der Losung des Eigenwertproblems des Tragheitstensors ermitteln Ein Kreisel mit drei gleichen Haupttragheitsmomenten ist ein spezieller symmetrischer Kreisel und wird Kugel oder spharischer Kreisel genannt Ein Kreisel mit drei verschiedenen Haupttragheitsmomenten ist ein unsymmetrischer Kreisel Die fur die Drehung um einen Fixpunkt oder den Massenmittelpunkt massgeblichen Bewegungsgleichungen sind die Eulerschen Kreiselgleichungen oder fur den schweren Kreisel die Euler Poisson Gleichungen Die Figurenachse e3 ist beim symmetrischen Kreisel seine Symmetrieachse bezuglich der er das dritte oder axiale Haupttragheitsmoment besitzt Um diese Achse ist das Tragheitsellipsoid rotationssymmetrisch Die Hauptachsen e1 2 mit den beiden ubereinstimmenden aquatorialen Haupttragheitsmomenten sind senkrecht zur Figurenachse in der Aquatorebene und dort beliebig orientiert Es werden zwei Achsen ausgewahlt sodass die Hauptachsen e1 2 3 ein rechtshandiges Orthonormalsystem bilden Abhangig davon ob das axiale Haupttragheitsmoment grosser oder kleiner als das aquatoriale ist wird der Kreisel abgeplattet oder gestreckt genannt 2 Die Symmetrie verlangt nicht dass der Kreiselkorper irgendwie im geometrischen Sinn symmetrisch ware 3 Insbesondere hangt die Symmetrie nach dem Steinerschen Satz vom Bezugspunkt ab ein Kreisel kann daher bezuglich eines Punktes ein symmetrischer und bezuglich eines anderen Punktes ein unsymmetrischer Kreisel sein Die Symmetrie des Kreisels ist unabhangig von der Lage des Massenmittelpunkts So sind der Kowalewskaja Kreisel und der Gorjatschew Tschaplygin Kreisel jeweils mit einem abseits der Figurenachse gelegenen Massenmittelpunkt trotzdem symmetrische Kreisel Haupttragheitsmomente BearbeitenDer symmetrische Kreisel hat ein doppeltes aquatoriales Haupttragheitsmoment A und ein drittes axiales C Bei einem Starrkorper erfullen die Haupttragheitsmomente die Dreiecksungleichungen A C gt A und A A gt Csiehe Tragheitsmoment Wahrend die erste Ungleichung immer zutrifft bedeutet die zweite 2A gt C oder A gt C 2 Dann kann es einen symmetrischen Kreisel mit den Haupttragheitsmomenten A und C geben Gyroskopische oder Drallstabilisierung Bearbeiten Hauptartikel Gyroskopische Stabilisierung Abb 1 Schwungrad zur Erlauterung der KreiselwirkungEine der technisch wertvollsten Eigenschaften von symmetrischen Kreiseln ist die Moglichkeit mit ihnen Korper in ihrer raumlichen Ausrichtung zu stabilisieren Dies wird bei Schiffen Raumflugkorpern und Geschossen ausgenutzt Die Drallstabilisierung basiert auf Kreiselwirkungen Wirkt auf das um die y Achse rotierende Schwungrad im Bild beispielsweise ein nicht zu grosses Moment Mz senkrecht zur frei beweglichen Drehachse dann beginnt das Schwungrad nicht um z zu drehen sondern fuhrt eine Schwingung um z aus mit der Schwingungsgleichung ps L A 2 ps M z A displaystyle ddot psi left frac L A right 2 psi frac M z A Darin ist L der axiale Drehimpuls um die Figurenachse Die Schwingungsgleichung ist eine Naherung die nur bei kleiner Auslenkung ps gultig ist Fur die stabilisierende Kreiselwirkung ist dabei die freie Drehungsmoglichkeit der Figurenachse um die aquatorialen 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BearbeitenBeim symmetrischen Kreisel kann die Winkelgeschwindigkeit vorteilhaft mit dem Drehimpuls ausgedruckt werden 6 w p e 1 q e 2 r e 3 1 A A p e 1 A q e 2 C r e 3 1 C A C r C e 3 1 A L A C A C L 3 e 3 displaystyle begin aligned vec omega amp p hat e 1 q hat e 2 r hat e 3 amp frac 1 A Ap hat e 1 Aq hat e 2 Cr hat e 3 left 1 frac C A right frac Cr C hat e 3 amp frac 1 A vec L frac A C AC L 3 hat e 3 end aligned Hier bezeichnen e1 2 3 die Hauptachsen w vec omega die Winkelgeschwindigkeit p q r w1 2 3 die Winkelgeschwindigkeiten im Hauptachsensystem A C die Haupttragheitsmomente in 1 2 bzw 3 Richtung L vec L den Drehimpuls L 3 L e 3 displaystyle L 3 vec L cdot hat e 3 den Drehimpuls in 3 Richtung und im Folgenden das Kreuzprodukt und das Skalarprodukt Daraus ist ersichtlich dass beim symmetrischen Kreisel die Winkelgeschwindigkeit der Drehimpuls und die Figurenachse immer komplanar sind Aus dem Drallsatz ergibt sich weiters M L d r L d t w L d r L d t A C A C L 3 e 3 L M e 3 d r L d t 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ausgeglichen werden wenn der Massenmittelpunkt auf der Figurenachse liegt oder der Kreisel keine Eigendrehung um die Figurenachse aufweist und der Massenmittelpunkt in der von der Figurenachse und der Lotrichtung aufgespannten Prazessionsebene liegt Die Nutation des symmetrischen Euler Kreisels kann als momentenfreier Spezialfall der ersten Moglichkeit aufgefasst werden wenn die Vertikale parallel zum Drehimpuls ausgerichtet wird Der zweite Fall stellt eine Staude Drehung dar Staude Drehungen Bearbeiten Hauptartikel Staude Drehung Abb 3 Karussell Bewegung eines Kowalewskaja KreiselsWenn der Massenmittelpunkt nicht auf der Figurenachse ist kann der symmetrische Kreisel dann eine der regularen Prazession vergleichbare regelmassige Bewegung ausfuhren wenn der Massenmittelpunkt immer noch in der Prazessionsebene liegt Das ist beispielsweise beim Kowalewskaja Kreisel der Fall wenn er wie in der Animation in Abb 3 Karussell Bewegungen ausfuhrt siehe Hauptartikel Weblinks Bearbeiten Commons 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Massenmittelpunkt auf der Figurenachse liege siehe Grammel 1920 S 88 oder Grammel 1950 S 78 Klein und Sommerfeld 1910 S 767f Grammel 1950 S 261 f Rauch Wojciechowski Skoldstam und Glad 2005 S 335 Leimanis 1965 S 7 Literatur BearbeitenK Magnus Kreisel Theorie und Anwendungen Springer 1971 ISBN 978 3 642 52163 8 S 20 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche abgerufen am 20 Februar 2018 R Grammel Der Kreisel Theorie des Kreisels 2 uberarb Auflage Band 1 Springer Berlin Gottingen Heidelberg 1950 DNB 451641299 R Grammel Der Kreisel Seine Theorie und seine Anwendungen Vieweg Verlag Braunschweig 1920 DNB 451641280 S 39 archive org Schwung bedeutet Drehimpuls Drehstoss Drehmoment und Drehwucht Rotationsenergie F Klein A Sommerfeld Theorie des Kreisels Die technischen Anwendungen der Kreiseltheorie Heft IV Teubner Leipzig 1910 S 767 archive org abgerufen am 21 Oktober 2017 S Rauch Wojciechowski M Skoldstam T Glad Mathematical analysis of the tippe top In Regular and Chaotic Dynamics Band 10 Nr 4 Springer Nature 2005 ISSN 1468 4845 S 333 362 doi 10 1070 RD2005v010n04ABEH000319 turpion org abgerufen am 15 Dezember 2018 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Symmetrischer Kreisel amp oldid 235057081