Ergodische Transformationen bzw Ergodische Abbildungen sind Begriffe aus der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Theorie dynamischer Systeme Anschaulich bedeutet Ergodizitat einer Abbildung dass fast alle Punkte des Wahrscheinlichkeitsraumes in einem einzigen Orbit des dynamischen Systems liegen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Beispiele 4 Literatur 5 WeblinksDefinition BearbeitenEs sei m displaystyle mu nbsp ein Wahrscheinlichkeitsmass auf einem Messraum W A displaystyle Omega mathcal A nbsp und T W W displaystyle T colon Omega to Omega nbsp eine masserhaltende Abbildung Dann ist T displaystyle T nbsp eine ergodische Transformation genau dann wenn fur jede Menge A A displaystyle A in mathcal A nbsp die T 1 A A displaystyle T 1 A A nbsp erfullt immer entweder m A 0 oder m A 1 displaystyle mu A 0 text oder mu A 1 nbsp gilt Dabei bezeichnet T 1 A displaystyle T 1 A nbsp das Urbild von A displaystyle A nbsp unter T displaystyle T nbsp Es lassen sich noch weitere aquivalente Definitionen angeben Kompakt lautet die obige Definition dass die s Algebra der T invarianten Ereignisse I displaystyle mathcal I nbsp eine m triviale s Algebra sein soll Aquivalent dazu ist dass jede I displaystyle mathcal I nbsp messbare Funktion fast sicher konstant ist Alternativ kann man auch fordern dass die einzigen T displaystyle T nbsp invarianten Funktionen f L 1 W m displaystyle f in L 1 Omega mu nbsp die konstanten Funktionen sind Dabei heisst eine Funktion T displaystyle T nbsp invariant wenn fur fast alle x W displaystyle x in Omega nbsp die Gleichung f T x f x displaystyle f Tx f x nbsp gilt Eigenschaften BearbeitenFalls T displaystyle T nbsp invertierbar ist dann gilt weil alle Orbits T n x n Z displaystyle left T n x n in mathbb Z right nbsp dd mit x W displaystyle x in Omega nbsp einer ergodischen Transformation T displaystyle T nbsp invariant sind muss insbesondere genau ein Orbit Mass 1 und alle anderen Orbits Mass 0 haben Insbesondere definiert eine invertierbare ergodische Transformation eine ergodische Wirkung der Gruppe der ganzen Zahlen Z displaystyle mathbb Z nbsp Fur ergodische Transformationen gilt der Birkhoffsche Ergodensatz lim n 1 n j 0 n 1 f T j x W f d m displaystyle lim n to infty frac 1 n sum j 0 n 1 f T j x int Omega fd mu nbsp dd fur m displaystyle mu nbsp fast alle x W displaystyle x in Omega nbsp und jede Funktion f L 1 W m displaystyle f in L 1 Omega mu nbsp Beispiele BearbeitenWinkelverdopplungDas Lebesgue Mass ist ein ergodisches Mass fur die Winkelverdopplungsabbildung T 0 1 0 1 displaystyle T colon left 0 1 right to left 0 1 right nbsp dd Backer TransformationDas Lebesgue Mass ist ein ergodisches Mass fur die Backer Transformation T 0 1 0 1 displaystyle T colon left 0 1 right to left 0 1 right nbsp T x n 2 x n falls x n 0 1 2 2 2 x n falls x n 1 2 1 displaystyle T x n begin cases 2x n amp mbox falls x n in 0 1 2 2 2x n amp mbox falls x n in 1 2 1 end cases nbsp dd dd Rotation auf dem EinheitskreisBetrachte das System W A P T displaystyle Omega mathcal A P T nbsp bestehend aus der Menge W R Z displaystyle Omega mathbb R mathbb Z nbsp der Borel s Algebra A B W displaystyle mathcal A mathcal B Omega nbsp dem Lebesguemass P l displaystyle P lambda nbsp und der Abbildung T W W x x a mod 1 displaystyle T Omega to Omega x mapsto x alpha bmod 1 nbsp Dieses System ist fur alle a R displaystyle alpha in mathbb R nbsp masserhaltend Es ist zudem genau dann ergodisch wenn a displaystyle alpha nbsp nicht rational ist sprich wenn gilt a R Q displaystyle alpha in mathbb R setminus mathbb Q nbsp dd Bernoulli ShiftBetrachte den Grundraum der 0 displaystyle 0 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp Folgen W 0 1 N displaystyle Omega 0 1 mathbb N nbsp mit zugehoriger Produkt s Algebra A displaystyle mathcal A nbsp und zugehorigem unendlichen Produktmass P displaystyle P nbsp definiert durch P i 0 P i 1 1 2 displaystyle P i 0 P i 1 frac 1 2 nbsp Bei der Bernoulli Abbildung T displaystyle T nbsp handelt es sich um dem Linksshift auf dem Grundraum W displaystyle Omega nbsp das heisst T displaystyle T nbsp ist definiert als dd T 0 1 N 0 1 N T x n x n 1 displaystyle T 0 1 mathbb N to 0 1 mathbb N T x n x n 1 nbsp dd dd Dann ist das 4 Tupel 0 1 N A P T displaystyle 0 1 mathbb N mathcal A P T nbsp ein ergodisches dynamisches System dd Gauss AbbildungSei der Grundraum W 0 1 displaystyle Omega 0 1 nbsp und A B 0 1 displaystyle mathcal A mathcal B 0 1 nbsp die entsprechende Borelsche s Algebra Definiere die Gauss Abbildung T displaystyle T nbsp durch dd T 0 1 0 1 T x 1 x mod 1 x 0 0 x 0 displaystyle T 0 1 to 0 1 T x begin cases tfrac 1 x bmod 1 amp x neq 0 0 amp x 0 end cases nbsp dd dd Falls nun als Mass das Gaussmass v A 1 ln 2 A 1 1 x d l x displaystyle text v A tfrac 1 ln 2 int A tfrac 1 1 x mathrm d lambda x nbsp A B 0 1 displaystyle A in mathcal B 0 1 nbsp gewahlt wird so handelt es sich bei 0 1 B 0 1 T v displaystyle 0 1 mathcal B 0 1 T v nbsp um ein ergodisches dynamisches System dd Literatur BearbeitenA Katok und B Hasselblatt Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems Cambridge University Press Cambridge 1995 ISBN 0 521 34187 6 B Bekka und M Mayer Ergodic Theory and Topological Dynamics of Group Actions on Homogeneous Spaces London Math Soc Lec Notes 269 Cambridge U Press Cambridge 2000 ISBN 0 521 66030 0Weblinks BearbeitenC Walkden Ergodic Theory Kapitel 5 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ergodische Transformation amp oldid 220401548
