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Ergodische Gruppenwirkung en erlauben in der Mathematik die Verwendung von Methoden der Maßtheorie und Theorie dynamisch

Ergodische Gruppenwirkung

Ergodische Gruppenwirkungen erlauben in der Mathematik die Verwendung von Methoden der Maßtheorie und Theorie dynamischer Systeme in der Gruppentheorie. Anschaulich bedeutet Ergodizität einer Gruppenwirkung auf einem Wahrscheinlichkeitsraum, dass fast alle Punkte des Wahrscheinlichkeitsraumes in einem einzigen Orbit liegen.

Der Begriff verallgemeinert die Begriffe der ergodischen Transformation und des ergodischen Flusses. Man spricht auch von ergodischen dynamischen Systemen.

Definition Bearbeiten

Es sei ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf einem Wahrscheinlichkeitsraum und

eine maßerhaltende Wirkung einer abzählbaren Gruppe, d. h. für jede messbare Menge und jedes soll gelten.

Die Gruppenwirkung heißt ergodisch, wenn für jede -invariante messbare Menge gilt:

(Eine Menge heißt -invariant, wenn aus auch für alle folgt.)

Eine äquivalente Definition besagt, dass die Wirkung genau dann ergodisch ist, wenn die einzigen -invarianten Funktionen die konstanten Funktionen sind. (Eine Funktion heißt -invariant, wenn für -fast alle und alle die Gleichung gilt.)

Operatortheoretische Formulierung Bearbeiten

Bezeichne mit den Hilbert-Raum der quadratintegrierbaren Funktionen, mit die Algebra der beschränkten Operatoren auf diesem Hilbert-Raum und mit die (-fast überall) beschränkten Funktionen. Beschränkte Funktionen wirken mittels punktweiser Multiplikation als beschränkte Operatoren auf und die Elemente der Gruppe wirken mittels als beschränkte Operatoren auf .

Dann lässt sich Ergodizität wie folgt definieren.

Eine Gruppenwirkung ist genau dann ergodisch, wenn es keine mit der Wirkung von kommutierende Projektion

gibt.

Beispiele Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Alexander S. Kechris: Global aspects of ergodic group actions. Mathematical Surveys and Monographs. 160. American Mathematical Society, Providence, RI, 2010, ISBN 978-0-8218-4894-4.
  • Alexander Gorodnik, Amos Nevo: The ergodic theory of lattice subgroups. Annals of Mathematics Studies, 172, Princeton University Press, Princeton, NJ, 2010, ISBN 978-0-691-14185-5.
  • Bachir Bekka, Matthias Mayer: Ergodic theory and topological dynamics of group actions on homogeneous spaces. London Mathematical Society Lecture Note Series, 269, Cambridge University Press, Cambridge, 2000, ISBN 0-521-66030-0.
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Ergodische Gruppenwirkungen erlauben in der Mathematik die Verwendung von Methoden der Masstheorie und Theorie dynamischer Systeme in der Gruppentheorie Anschaulich bedeutet Ergodizitat einer Gruppenwirkung auf einem Wahrscheinlichkeitsraum dass fast alle Punkte des Wahrscheinlichkeitsraumes in einem einzigen Orbit liegen Der Begriff verallgemeinert die Begriffe der ergodischen Transformation und des ergodischen Flusses Man spricht auch von ergodischen dynamischen Systemen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Operatortheoretische Formulierung 3 Beispiele 4 LiteraturDefinition BearbeitenEs sei m displaystyle mu nbsp ein Wahrscheinlichkeitsmass auf einem Wahrscheinlichkeitsraum W displaystyle Omega nbsp und G W W displaystyle G times Omega to Omega nbsp g x g x displaystyle g x to gx nbsp eine masserhaltende Wirkung einer abzahlbaren Gruppe d h fur jede messbare Menge A W displaystyle A subset Omega nbsp und jedes g G displaystyle g in G nbsp soll m g A m A displaystyle mu gA mu A nbsp gelten Die Gruppenwirkung heisst ergodisch wenn fur jede G displaystyle G nbsp invariante messbare Menge A W displaystyle A subset Omega nbsp gilt m A 0 displaystyle mu A 0 nbsp oder m A 1 displaystyle mu A 1 nbsp Eine Menge A displaystyle A nbsp heisst G displaystyle G nbsp invariant wenn aus x A displaystyle x in A nbsp auch g x A displaystyle gx in A nbsp fur alle g G displaystyle g in G nbsp folgt Eine aquivalente Definition besagt dass die Wirkung genau dann ergodisch ist wenn die einzigen G displaystyle G nbsp invarianten Funktionen f L 1 W m displaystyle f in L 1 Omega mu nbsp die konstanten Funktionen sind Eine Funktion heisst G displaystyle G nbsp invariant wenn fur m displaystyle mu nbsp fast alle x W displaystyle x in Omega nbsp und alle g G displaystyle g in G nbsp die Gleichung f g x f x displaystyle f gx f x nbsp gilt Operatortheoretische Formulierung BearbeitenBezeichne mit L 2 W displaystyle L 2 Omega nbsp den Hilbert Raum der quadratintegrierbaren Funktionen mit B L 2 W displaystyle B L 2 Omega nbsp die Algebra der beschrankten Operatoren auf diesem Hilbert Raum und mit L 0 W displaystyle L 0 Omega nbsp die m displaystyle mu nbsp fast uberall beschrankten Funktionen Beschrankte Funktionen f L 0 W displaystyle f in L 0 Omega nbsp wirken mittels punktweiser Multiplikation als beschrankte Operatoren auf L 2 W displaystyle L 2 Omega nbsp und die Elemente g displaystyle g nbsp der Gruppe G displaystyle G nbsp wirken mittels f f g 1 displaystyle f mapsto f g 1 nbsp als beschrankte Operatoren auf L 2 W displaystyle L 2 Omega nbsp Dann lasst sich Ergodizitat wie folgt definieren Eine Gruppenwirkung ist genau dann ergodisch wenn es keine mit der Wirkung von G B L 2 W displaystyle G subset B L 2 Omega nbsp kommutierende Projektion B L 2 W L 0 W B L 2 W displaystyle B L 2 Omega to L 0 Omega subset B L 2 Omega nbsp gibt Beispiele BearbeitenEine invertierbare ergodische Transformation ist eine ergodische Wirkung der Gruppe G Z displaystyle G mathbb Z nbsp Ein ergodischer Fluss ist eine ergodische Wirkung der Gruppe G R displaystyle G mathbb R nbsp Eine kokompakte Kleinsche Gruppe wirkt ergodisch auf dem Rand im Unendlichen Literatur BearbeitenAlexander S Kechris Global aspects of ergodic group actions Mathematical Surveys and Monographs 160 American Mathematical Society Providence RI 2010 ISBN 978 0 8218 4894 4 Alexander Gorodnik Amos Nevo The ergodic theory of lattice subgroups Annals of Mathematics Studies 172 Princeton University Press Princeton NJ 2010 ISBN 978 0 691 14185 5 Bachir Bekka Matthias Mayer Ergodic theory and topological dynamics of group actions on homogeneous spaces London Mathematical Society Lecture Note Series 269 Cambridge University Press Cambridge 2000 ISBN 0 521 66030 0 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ergodische Gruppenwirkung amp oldid 175679175