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Individueller Ergodensatz Der individuelle Ergodensatz ist ein wichtiger Satz der Ergodentheorie einem Teilgebiet der Ma

Individueller Ergodensatz

Der individuelle Ergodensatz ist ein wichtiger Satz der Ergodentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik im Grenzbereich zwischen Stochastik und Theorie dynamischer Systeme. Alternativ wird der individuelle Ergodensatz auch Ergodensatz von Birkhoff oder punktweiser Ergodensatz genannt. Er liefert eine Form des starken Gesetzes der großen Zahlen für abhängige Zufallsvariablen und liefert die mathematische Grundlage der Ergodenhypothese der statistischen Physik. Der Satz wurde im Jahr 1931 durch George David Birkhoff bewiesen, nach dem er auch benannt ist. Ein kompakter Beweis ist mittels des Hopf'schen Maximal-Ergodenlemmas möglich. Außerdem kann der -Ergodensatz ohne großen Aufwand aus dem individuellen Ergodensatz hergeleitet werden.

Aussage Bearbeiten

Es sei eine integrierbare Zufallsvariable (d. h., sie besitzt einen endlichen Erwartungswert) und eine maßerhaltende Transformation auf dem zu Grunde liegenden Wahrscheinlichkeitsraum (d. h. für alle in ). Dann konvergieren die Mittel

für fast sicher gegen eine Zufallsvariable .

kann dabei messbar bezüglich der von den -invarianten Mengen (d. h. ) erzeugten σ-Algebra gewählt werden und lässt sich als bedingter Erwartungswert darstellen.

Wenn ergodisch ist, so ist fast sicher konstant gleich dem Erwartungswert von .

Das Beispiel eines stationären Prozesses Bearbeiten

Die Zufallsvariablen () bilden einen stationären stochastischen Prozess, d. h. ist so verteilt wie . Umgekehrt lässt sich jeder stationäre stochastische Prozess in dieser Weise darstellen, wenn man annimmt, dass und von der Form ist. (Wenn dies nicht der Fall ist, kann man den Bildraum mit dem Bildmaß von anstelle von und betrachten.) Dabei ist , und der Linksshift, der auf abgebildet, ist die maßerhaltende Transformation.

Wenn die einen endlichen Erwartungswert haben, konvergiert nach dem Ergodensatz also

für fast sicher gegen eine Zufallsvariable . Diese ist der bedingte Erwartungswert eines jeden . Wenn Ergodizität vorliegt, ist fast sicher konstant, d. h.

Literatur Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. G. D. Birkhoff: Proof of the ergodic theorem, (1931), Proc Natl Acad Sci U S A, 17 S. 656–660. pdf. Bei: PNAS.org
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Der individuelle Ergodensatz ist ein wichtiger Satz der Ergodentheorie einem Teilgebiet der Mathematik im Grenzbereich zwischen Stochastik und Theorie dynamischer Systeme Alternativ wird der individuelle Ergodensatz auch Ergodensatz von Birkhoff oder punktweiser Ergodensatz genannt Er liefert eine Form des starken Gesetzes der grossen Zahlen fur abhangige Zufallsvariablen und liefert die mathematische Grundlage der Ergodenhypothese der statistischen Physik Der Satz wurde im Jahr 1931 durch George David Birkhoff bewiesen nach dem er auch benannt ist 1 Ein kompakter Beweis ist mittels des Hopf schen Maximal Ergodenlemmas moglich Ausserdem kann der L p displaystyle mathcal L p Ergodensatz ohne grossen Aufwand aus dem individuellen Ergodensatz hergeleitet werden Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 2 Das Beispiel eines stationaren Prozesses 3 Literatur 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseAussage BearbeitenEs sei X displaystyle X nbsp eine integrierbare Zufallsvariable d h sie besitzt einen endlichen Erwartungswert und T displaystyle T nbsp eine masserhaltende Transformation auf dem zu Grunde liegenden Wahrscheinlichkeitsraum W A P displaystyle Omega mathcal A P nbsp d h P T 1 A P A displaystyle P T 1 A P A nbsp fur alle A displaystyle A nbsp in A displaystyle mathcal A nbsp Dann konvergieren die Mittel 1 n i 1 n X T i w displaystyle frac 1 n sum i 1 n X circ T i omega nbsp fur n displaystyle n to infty nbsp fast sicher gegen eine Zufallsvariable Y displaystyle Y nbsp Y displaystyle Y nbsp kann dabei messbar bezuglich der von den T displaystyle T nbsp invarianten Mengen A displaystyle A nbsp d h T 1 A A displaystyle T 1 A A nbsp erzeugten s Algebra T displaystyle mathcal T nbsp gewahlt werden und lasst sich als bedingter Erwartungswert E X T displaystyle E X mathcal T nbsp darstellen Wenn T displaystyle T nbsp ergodisch ist so ist Y displaystyle Y nbsp fast sicher konstant gleich dem Erwartungswert von X displaystyle X nbsp Das Beispiel eines stationaren Prozesses BearbeitenDie Zufallsvariablen Y i X T i displaystyle Y i X circ T i nbsp i 1 2 displaystyle i 1 2 dots nbsp bilden einen stationaren stochastischen Prozess d h Y 2 Y 3 displaystyle Y 2 Y 3 dots nbsp ist so verteilt wie Y 1 Y 2 displaystyle Y 1 Y 2 dots nbsp Umgekehrt lasst sich jeder stationare stochastische Prozess Y i i 1 displaystyle Y i i geq 1 nbsp in dieser Weise darstellen wenn man annimmt dass W R 1 2 displaystyle Omega mathbb R 1 2 dots nbsp und Y i displaystyle Y i nbsp von der Form Y i w 1 w 2 w i displaystyle Y i omega 1 omega 2 dots omega i nbsp ist Wenn dies nicht der Fall ist kann man den Bildraum R 1 2 displaystyle mathbb R 1 2 dots nbsp mit dem Bildmass von Y 1 Y 2 displaystyle Y 1 Y 2 dots nbsp anstelle von W displaystyle Omega nbsp und P displaystyle P nbsp betrachten Dabei ist X w 1 w 2 w 1 displaystyle X omega 1 omega 2 dots omega 1 nbsp und der Linksshift der w 1 w 2 displaystyle omega 1 omega 2 dots nbsp auf w 2 w 3 displaystyle omega 2 omega 3 dots nbsp abgebildet ist die masserhaltende Transformation Wenn die Y i displaystyle Y i nbsp einen endlichen Erwartungswert haben konvergiert nach dem Ergodensatz also 1 n i 1 n Y i w displaystyle frac 1 n sum i 1 n Y i omega nbsp fur n displaystyle n to infty nbsp fast sicher gegen eine Zufallsvariable Y displaystyle Y nbsp Diese ist der bedingte Erwartungswert E Y i T displaystyle E Y i mathcal T nbsp eines jeden Y i displaystyle Y i nbsp Wenn Ergodizitat vorliegt ist Y displaystyle Y nbsp fast sicher konstant d h 1 n Y 1 Y n E Y i displaystyle frac 1 n Y 1 dots Y n to E Y i nbsp fast sicher i 1 displaystyle i geq 1 nbsp beliebig Literatur BearbeitenManfred Einsiedler Klaus Schmidt Dynamische Systeme Ergodentheorie und topologische Dynamik Springer Basel 2014 ISBN 978 3 0348 0633 6 doi 10 1007 978 3 0348 0634 3 Achim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 36017 6 doi 10 1007 978 3 642 36018 3 Weblinks BearbeitenD V Anosov Birkhoff ergodic theorem In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Eric W Weisstein Birkhoff s Ergodic Theorem In MathWorld englisch Vitaly Bergelson History of the Ergodic TheoremEinzelnachweise Bearbeiten G D Birkhoff Proof of the ergodic theorem 1931 Proc Natl Acad Sci U S A 17 S 656 660 pdf Bei PNAS org Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Individueller Ergodensatz amp oldid 217124788