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Satz von Plancherel Der nach Michel Plancherel der ihn 1910 bewies ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet de

Satz von Plancherel

Der Satz von Plancherel (nach Michel Plancherel, der ihn 1910 bewies) ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Fourier-Analysis, das zur Funktionalanalysis gehört. Er besagt, dass die Fourier-Transformation auf dem Raum der quadratintegrierbaren Funktionen eine Isometrie ist, also dass eine Funktion und ihre Fourier-Transformierte die gleiche -Norm haben.

Aussage Bearbeiten

Es existiert eine Isometrie , die unitär und eindeutig bestimmt ist durch

für alle , wobei

Bemerkungen Bearbeiten

  1. Die Gleichheit gilt nicht nur für , sondern auch für , da sowohl in als auch in dicht liegt. Da auf und die Fourier-Transformation auf definiert ist, kann man als Fortsetzung der Fourier-Transformation auf verstehen. Diese Fortsetzung wird ebenfalls wieder Fourier-Transformation oder seltener Fourier-Plancherel-Transformation genannt.
  2. Der Satz von Parseval ist das Analogon des Satzes von Plancherel für Fourier-Reihen. Jedoch hängen die Sätze nicht direkt zusammen, da bei der kontinuierlichen Fourier-Transformation kein Orthogonalsystem (sondern zumindest für Hilberträume sog. "Frames") zugrunde liegt.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Walter Rudin: Functional Analysis. McGraw-Hill, New York 1991, S. 188–189, ISBN 0070542368

Weblinks Bearbeiten

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Der Satz von Plancherel nach Michel Plancherel der ihn 1910 bewies ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Fourier Analysis das zur Funktionalanalysis gehort Er besagt dass die Fourier Transformation auf dem Raum L 2 displaystyle L 2 der quadratintegrierbaren Funktionen eine Isometrie ist also dass eine Funktion und ihre Fourier Transformierte die gleiche L 2 displaystyle L 2 Norm haben Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 2 Bemerkungen 3 Siehe auch 4 Literatur 5 WeblinksAussage BearbeitenEs existiert eine Isometrie PS L 2 R n L 2 R n displaystyle Psi colon L 2 mathbb R n to L 2 mathbb R n nbsp die unitar und eindeutig bestimmt ist durch PS f F f displaystyle Psi f mathcal F f nbsp fur alle f S displaystyle f in mathcal S nbsp wobei F displaystyle mathcal F nbsp die Fourier Transformation und S displaystyle mathcal S nbsp den Schwartz Raum bezeichnet Bemerkungen BearbeitenDie Gleichheit PS f F f displaystyle Psi f mathcal F f nbsp gilt nicht nur fur f S displaystyle f in mathcal S nbsp sondern auch fur f L 1 R n L 2 R n displaystyle f in L 1 mathbb R n cap L 2 mathbb R n nbsp da S displaystyle mathcal S nbsp sowohl in L 1 R n displaystyle L 1 mathbb R n nbsp als auch in L 2 R n displaystyle L 2 mathbb R n nbsp dicht liegt Da PS displaystyle Psi nbsp auf L 2 R n displaystyle L 2 mathbb R n nbsp und die Fourier Transformation F displaystyle mathcal F nbsp auf L 1 R n displaystyle L 1 mathbb R n nbsp definiert ist kann man PS displaystyle Psi nbsp als Fortsetzung der Fourier Transformation auf L 2 R n displaystyle L 2 mathbb R n nbsp verstehen Diese Fortsetzung wird ebenfalls wieder Fourier Transformation oder seltener Fourier Plancherel Transformation genannt Der Satz von Parseval ist das Analogon des Satzes von Plancherel fur Fourier Reihen Jedoch hangen die Satze nicht direkt zusammen da bei der kontinuierlichen Fourier Transformation kein Orthogonalsystem sondern zumindest fur Hilbertraume sog Frames zugrunde liegt Siehe auch BearbeitenHarmonische AnalyseLiteratur BearbeitenWalter Rudin Functional Analysis McGraw Hill New York 1991 S 188 189 ISBN 0070542368Weblinks BearbeitenPlancherel s Theorem by Mathworld Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Plancherel amp oldid 217519362