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Satz von Parseval Der ist eine Aussage aus der Funktionalanalysis aus dem Bereich der Fourier Analysis Er besagt dass di

Satz von Parseval

Der Satz von Parseval ist eine Aussage aus der Funktionalanalysis aus dem Bereich der Fourier-Analysis. Er besagt, dass die -Norm einer Fourier-Reihe mit der -Norm ihrer Fourier-Koeffizienten übereinstimmt. Die Aussage entstand 1799 aus einem Satz über mathematische Reihen von Marc-Antoine Parseval, der später auf die Fourier-Reihen ausgedehnt wurde. Parseval, der sich eigentlich nur auf reell-wertige Funktionen konzentrierte, veröffentlichte seinen Satz ohne Beweis, da er seine Richtigkeit für augenscheinlich hielt. Eine ähnliche Aussage für die Fourier-Transformation macht der Satz von Plancherel. Bei beiden Sätzen handelt es sich um Energieerhaltungssätze, d. h. die Signalenergie ist im Funktionenraum und im Transformationsbereich gleich. Der Satz von Plancherel ist eine Verallgemeinerung von der diskreten Fourierzerlegung hin zur kontinuierlichen. Beide lassen sich elegant in eine Hilbertraumdarstellung überführen, womit dann einfach folgt, dass die Fourierbasen als Kerne der Transformation sog. "tight frames" (ein spezielles, energieerhaltendes Erzeugendensystem) dieser Räume sind. Die Zusammenstellung dieses wesentlich allgemeineren Konzepts baut u. a. auf diesem Satz und dessen Verallgemeinerungen auf, erfolgte aber erst über hundert Jahre später basierend auf Arbeiten von Erhard Schmidt, David Hilbert und Hermann Weyl.

Aussagen des Parsevalschen Theorems Bearbeiten

Seien und zwei Riemann-integrierbare komplexwertige Funktionen über mit Periode und der Fourier-Reihen-Zerlegung

Dann gilt

wobei die Imaginäre Einheit ist und die komplexe Konjugation bezeichnet.

Es gibt viele verschiedene Spezialfälle des Theorems. Ist z. B. , erhält man

woraus die Unitarität der Fourierreihen folgt.

Außerdem sind oft nur die Fourierreihen für reell-wertige Funktionen und gemeint, was folgendem Spezialfall entspricht:

In diesem Fall ist

wobei den Realteil bezeichnet.

Anwendungen Bearbeiten

In der Physik und den Ingenieurwissenschaften wird mit dem Parsevalschen Theorem ausgedrückt, dass die Energie eines Signals im Zeitbereich gleich seiner Energie im Frequenzbereich ist. Dies wird in folgender Gleichung ausgedrückt:

wobei die Fourier-Transformation von mit weggelassenem Vorfaktor ist und die Frequenz des Signals bezeichnet.

Für zeitdiskrete Signale wird die Gleichung zu

wobei die diskrete Fourier-Transformation (DFT) von ist, beide mit Intervalllänge .

Siehe auch Bearbeiten

Referenzen Bearbeiten

  • Parseval, MacTutor History of Mathematics archive.
  • George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists (Harcourt: San Diego, 2001).
  • Hubert Kennedy, Eight Mathematical Biographies (Peremptory Publications: San Francisco, 2002).
  • Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing 2nd Edition (Prentice Hall: Upper Saddle River, NJ, 1999) p 60.
  • William McC. Siebert, Circuits, Signals, and Systems (MIT Press: Cambridge, MA, 1986), pp. 410–411.
  • David W. Kammler, A First Course in Fourier Analysis (Prentice-Hall, Inc., Upper Saddle River, NJ, 2000) p. 74.
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Der Satz von Parseval ist eine Aussage aus der Funktionalanalysis aus dem Bereich der Fourier Analysis Er besagt dass die L 2 displaystyle L 2 Norm einer Fourier Reihe mit der ℓ 2 displaystyle ell 2 Norm ihrer Fourier Koeffizienten ubereinstimmt Die Aussage entstand 1799 aus einem Satz uber mathematische Reihen von Marc Antoine Parseval der spater auf die Fourier Reihen ausgedehnt wurde Parseval der sich eigentlich nur auf reell wertige Funktionen konzentrierte veroffentlichte seinen Satz ohne Beweis da er seine Richtigkeit fur augenscheinlich hielt Eine ahnliche Aussage fur die Fourier Transformation macht der Satz von Plancherel Bei beiden Satzen handelt es sich um Energieerhaltungssatze d h die Signalenergie ist im Funktionenraum und im Transformationsbereich gleich Der Satz von Plancherel ist eine Verallgemeinerung von der diskreten Fourierzerlegung hin zur kontinuierlichen Beide lassen sich elegant in eine Hilbertraumdarstellung uberfuhren womit dann einfach folgt dass die Fourierbasen als Kerne der Transformation sog tight frames ein spezielles energieerhaltendes Erzeugendensystem dieser Raume sind Die Zusammenstellung dieses wesentlich allgemeineren Konzepts baut u a auf diesem Satz und dessen Verallgemeinerungen auf erfolgte aber erst uber hundert Jahre spater basierend auf Arbeiten von Erhard Schmidt David Hilbert und Hermann Weyl Inhaltsverzeichnis 1 Aussagen des Parsevalschen Theorems 2 Anwendungen 3 Siehe auch 4 ReferenzenAussagen des Parsevalschen Theorems BearbeitenSeien A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp zwei Riemann integrierbare komplexwertige Funktionen uber R displaystyle mathbb R nbsp mit Periode 2 p displaystyle 2 pi nbsp und der Fourier Reihen Zerlegung A x n a n e i n x displaystyle A x sum n infty infty a n e inx nbsp und B x n b n e i n x displaystyle B x sum n infty infty b n e inx nbsp Dann gilt n a n b n 1 2 p p p A x B x d x displaystyle sum n infty infty a n b n frac 1 2 pi int pi pi A x B x dx nbsp wobei i displaystyle i nbsp die Imaginare Einheit ist und displaystyle nbsp die komplexe Konjugation bezeichnet Es gibt viele verschiedene Spezialfalle des Theorems Ist z B A B displaystyle A B nbsp erhalt man n a n 2 1 2 p p p A x 2 d x displaystyle sum n infty infty a n 2 frac 1 2 pi int pi pi A x 2 dx nbsp woraus die Unitaritat der Fourierreihen folgt Ausserdem sind oft nur die Fourierreihen fur reell wertige Funktionen A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp gemeint was folgendem Spezialfall entspricht a 0 displaystyle a 0 nbsp reell a n a n displaystyle a n a n nbsp b 0 displaystyle b 0 nbsp reell b n b n displaystyle b n b n nbsp In diesem Fall ist a 0 b 0 2 Re n 1 a n b n 1 2 p p p A x B x d x displaystyle a 0 b 0 2 operatorname Re left sum n 1 infty a n b n right frac 1 2 pi int pi pi A x B x dx nbsp wobei Re displaystyle operatorname Re nbsp den Realteil bezeichnet Anwendungen BearbeitenIn der Physik und den Ingenieurwissenschaften wird mit dem Parsevalschen Theorem ausgedruckt dass die Energie eines Signals im Zeitbereich gleich seiner Energie im Frequenzbereich ist Dies wird in folgender Gleichung ausgedruckt x t 2 d t 1 2 p X w 2 d w displaystyle int infty infty x t 2 dt frac 1 2 pi int infty infty X omega 2 d omega nbsp wobei X w F x t displaystyle X omega mathcal F x t nbsp die Fourier Transformation von x t displaystyle x t nbsp mit weggelassenem Vorfaktor ist und w displaystyle omega nbsp die Frequenz des Signals bezeichnet Fur zeitdiskrete Signale wird die Gleichung zu n 0 N 1 x n 2 1 N k 0 N 1 X k 2 displaystyle sum n 0 N 1 x n 2 frac 1 N sum k 0 N 1 X k 2 nbsp wobei X k displaystyle X k nbsp die diskrete Fourier Transformation DFT von x n displaystyle x n nbsp ist beide mit Intervalllange N gt 0 displaystyle N gt 0 nbsp Siehe auch BearbeitenBesselsche Ungleichung Parsevalsche GleichungReferenzen BearbeitenParseval MacTutor History of Mathematics archive George B Arfken and Hans J Weber Mathematical Methods for Physicists Harcourt San Diego 2001 Hubert Kennedy Eight Mathematical Biographies Peremptory Publications San Francisco 2002 Alan V Oppenheim and Ronald W Schafer Discrete Time Signal Processing 2nd Edition Prentice Hall Upper Saddle River NJ 1999 p 60 William McC Siebert Circuits Signals and Systems MIT Press Cambridge MA 1986 pp 410 411 David W Kammler A First Course in Fourier Analysis Prentice Hall Inc Upper Saddle River NJ 2000 p 74 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Parseval amp oldid 224982542