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Parsevalsche Gleichung Die parsevalsche Gleichung nach Marc Antoine Parseval auch bekannt als Abgeschlossenheitsrelation

Parsevalsche Gleichung

Die parsevalsche Gleichung (nach Marc-Antoine Parseval), auch bekannt als Abgeschlossenheitsrelation, aus dem Gebiet der Funktionalanalysis ist die allgemeine Form des Satzes des Pythagoras für Innenprodukträume. Zugleich ist sie wichtig für Orthogonalzerlegungen in diesen Räumen, insbesondere für die verallgemeinerte Fouriertransformation.

Formulierung Bearbeiten

Es seien ein Prähilbertraum und Orthonormalsystem gegeben – d. h. alle Elemente von sind zueinander orthogonal und haben zudem die Norm . ist genau dann ein vollständiges Orthonormalsystem (Orthonormalbasis) von , wenn für alle die parsevalsche Gleichung

erfüllt ist. Hierbei bezeichnet das Innenprodukt und die zugehörige Norm von .

Ist ein unvollständiges Orthonormalsystem, so gilt immerhin noch die besselsche Ungleichung.

Anwendungen Bearbeiten

Die Gleichung hat die physikalische Aussage, dass die Energie eines Signals im Impulsraum betrachtet mit der Energie des Signals im Ortsraum identisch ist.

Eine andere Formulierung der Gleichung ist die Aussage, dass die L2-Norm einer Funktion gleich der - beziehungsweise -Norm der Koeffizienten der Fourierreihe dieser Funktion ist. Die Verallgemeinerung der parsevalschen Gleichung auf die Fouriertransformation ist der Satz von Plancherel.

Spezialfall der Fourierreihe Bearbeiten

Falls die Fourierkoeffizienten der (reellen) Fourierreihenentwicklung der -periodischen reellwertigen Funktion sind, das heißt

dann gilt die Gleichung

Diese Identität ist ein Spezialfall der oben beschriebenen allgemeinen parsevalschen Gleichung, wenn man als Orthonormalsystem die trigonometrischen Funktionen , , nimmt, mit dem Skalarprodukt

Satz von Plancherel Bearbeiten

Der parsevalschen Gleichung für die Fourierreihe entspricht eine Identität der Fouriertransformation, die gemeinhin als Satz von Plancherel bezeichnet wird:

Falls die Fouriertransformierte von ist, dann gilt die Gleichung

Die Fouriertransformation ist damit eine Isometrie im Hilbertraum L2. Diese Gleichung entspricht der parsevalschen, da der Fouriertransformation das Orthogonalsystem der Hermiteschen Funktionen zugeordnet ist.

Literatur Bearbeiten

  • Dirk Werner: Funktionalanalysis, Springer-Verlag, Berlin, ISBN 978-3-540-72533-6
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Die parsevalsche Gleichung nach Marc Antoine Parseval auch bekannt als Abgeschlossenheitsrelation aus dem Gebiet der Funktionalanalysis ist die allgemeine Form des Satzes des Pythagoras fur Innenproduktraume Zugleich ist sie wichtig fur Orthogonalzerlegungen in diesen Raumen insbesondere fur die verallgemeinerte Fouriertransformation Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung 2 Anwendungen 2 1 Spezialfall der Fourierreihe 2 2 Satz von Plancherel 3 LiteraturFormulierung BearbeitenEs seien ein Prahilbertraum V displaystyle V nbsp und Orthonormalsystem S V displaystyle S subset V nbsp gegeben d h alle Elemente von S displaystyle S nbsp sind zueinander orthogonal und haben zudem die Norm 1 displaystyle 1 nbsp S displaystyle S nbsp ist genau dann ein vollstandiges Orthonormalsystem Orthonormalbasis von V displaystyle V nbsp wenn fur alle v V displaystyle v in V nbsp die parsevalsche Gleichung v 2 v v s S v s 2 displaystyle v 2 langle v v rangle sum s in S langle v s rangle 2 nbsp erfullt ist Hierbei bezeichnet displaystyle langle cdot cdot rangle nbsp das Innenprodukt und displaystyle cdot nbsp die zugehorige Norm von V displaystyle V nbsp Ist S displaystyle S nbsp ein unvollstandiges Orthonormalsystem so gilt immerhin noch die besselsche Ungleichung Anwendungen BearbeitenDie Gleichung hat die physikalische Aussage dass die Energie eines Signals im Impulsraum betrachtet mit der Energie des Signals im Ortsraum identisch ist Eine andere Formulierung der Gleichung ist die Aussage dass die L2 Norm einer Funktion gleich der ℓ 2 displaystyle ell 2 nbsp beziehungsweise L 2 Z displaystyle L 2 mathbb Z nbsp Norm der Koeffizienten der Fourierreihe dieser Funktion ist Die Verallgemeinerung der parsevalschen Gleichung auf die Fouriertransformation ist der Satz von Plancherel Spezialfall der Fourierreihe Bearbeiten Hauptartikel Satz von Parseval Falls a k b k displaystyle a k b k nbsp die Fourierkoeffizienten der reellen Fourierreihenentwicklung der 2 p displaystyle 2 pi nbsp periodischen reellwertigen Funktion f displaystyle f nbsp sind das heisst f x a 0 2 k 1 a k cos k x b k sin k x displaystyle f x sim frac a 0 2 sum k 1 infty left a k cos kx b k sin kx right nbsp dd dann gilt die Gleichung 1 p p p f x 2 d x a 0 2 2 k 1 a k 2 b k 2 displaystyle frac 1 pi int pi pi f x 2 mathrm d x frac a 0 2 2 sum k 1 infty a k 2 b k 2 nbsp dd Diese Identitat ist ein Spezialfall der oben beschriebenen allgemeinen parsevalschen Gleichung wenn man als Orthonormalsystem die trigonometrischen Funktionen 1 2 cos n x sin n x displaystyle tfrac 1 sqrt 2 cos nx sin nx nbsp n 1 2 displaystyle n 1 2 dotsc nbsp nimmt mit dem Skalarprodukt f g 1 p p p f x g x d x displaystyle langle f g rangle frac 1 pi int pi pi f x g x dx nbsp dd Satz von Plancherel Bearbeiten Hauptartikel Satz von Plancherel Der parsevalschen Gleichung fur die Fourierreihe entspricht eine Identitat der Fouriertransformation die gemeinhin als Satz von Plancherel bezeichnet wird Falls f 3 displaystyle hat f xi nbsp die Fouriertransformierte von f x displaystyle f x nbsp ist dann gilt die Gleichung f x 2 d x f 3 2 d 3 displaystyle int infty infty f x 2 mathrm d x int infty infty hat f xi 2 mathrm d xi nbsp Die Fouriertransformation ist damit eine Isometrie im Hilbertraum L2 Diese Gleichung entspricht der parsevalschen da der Fouriertransformation das Orthogonalsystem der Hermiteschen Funktionen zugeordnet ist Literatur BearbeitenDirk Werner Funktionalanalysis Springer Verlag Berlin ISBN 978 3 540 72533 6 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Parsevalsche Gleichung amp oldid 235579872