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Streutheorie Dieser Artikel behandelt die quantenmechanische für andere Verwendungen siehe Streuung Physik Als wird in d

Streutheorie

Als Streutheorie wird in der Physik die theoretische Beschreibung von Streuvorgängen bezeichnet. Je nachdem welche Teilchen, Strahlen oder Felder an der Streuung beteiligt sind, gibt es unterschiedliche Arten von Streuvorgängen.

Elementare quantenmechanische Streutheorie Bearbeiten

In der Quantenmechanik wird ein Objekt (z. B. ein Elektron) immer durch einen Zustand beschrieben. Dieser setzt sich zusammen aus einem Ortszustand einem Spinzustand und vielen anderen physikalischen Größen (z. B. dem Isospin):

Im Folgenden wird nur der Ortszustand betrachtet. Die Wellenfunktion lässt sich dann als Komponenten-Darstellung des Ortszustands bezüglich einer Ortsbasis schreiben. Die Beschränkung auf den Ortszustand ist unter folgenden Annahmen gerechtfertigt:

Ähnlich wie in der klassischen Mechanik kann das Zweiteilchenproblem zunächst auf ein äquivalentes Einteilchenproblem reduziert werden, bei dem ein einzelnes Quantenobjekt auf ein im Ursprung ruhendes Kraftzentrum zuläuft. Ausgangspunkt der Streutheorie ist die Beschreibung der Wechselwirkung durch ein Potential und den davon abgeleiteten Hamiltonoperator:

Die Wellenfunktion des einlaufenden Teilchens wird zu Beginn des Streuprozesses durch ein Wellenpaket beschrieben:

Diese Fourierdarstellung des Teilchens durch ebene Wellen kann auch über die stationären Zustände (die Eigenzustände des Hamiltonoperators) erfolgen:

wobei die Eigenwerte mit dem Wellenvektor zusammenhängen über

Diese Zustände werden als Streuzustände bezeichnet, da ein Zustand mit positiver Energie ungebunden ist und auch außerhalb der Reichweite des Potentials eine endliche Aufenthaltswahrscheinlichkeit besitzt. Ein einzelner Streuzustand entspricht physikalisch zunächst einer wenig plausiblen Situation, da die Wahrscheinlichkeitsstromdichte

verschwindet, also stets die gleiche Menge des Teilchens auf das Streuzentrum zu- wie abfließt. Das ist aber notwendig, da ein stationärer Zustand einer stehenden Welle analog ist, wie man sie z. B. aus der Akustik kennt. Erst durch Überlagerung gelangt man zu der anschaulichen Situation eines zunächst einlaufenden und danach gestreuten Wellenpaketes. Die stationäre Schrödinger-Gleichung führt auf die Helmholtz-Gleichung und deren inhomogene Lösung auf eine implizite Integralgleichung, die auf die asymptotische Form der Streuzustände führt:

Dieses asymptotische Verhalten, dass sich in großer Entfernung vom Streuzentrum die Wellenfunktion aus einer ungestört durchlaufenden ebenen Welle und einer auslaufenden Kugelwelle zusammensetzt, bezeichnet man auch als Sommerfeldsche Randbedingung. Die physikalische Information über das Streupotential liegt in der Streuamplitude genauer in ihrem Betrag, dem durch Streuexperimente zugängigen differentiellen Wirkungsquerschnitt

Er gibt das Verhältnis zwischen den in einen Raumwinkel gestreuten auslaufenden Teilchen pro Zeit und der Stromdichte der einlaufenden Teilchen an. Für die Berechnung des vollen Wirkungsquerschnitts daraus siehe Wirkungsquerschnitt.

Im Falle eines Zentralpotentials ist der Drehimpuls eine Erhaltungsgröße, und man entwickelt die Wellenfunktion nach simultanen Eigenzuständen von und Die Streuzustände heißen dann Partialwellen und lassen sich, wie auch die nun nur noch vom Winkel abhängige Streuamplitude und der Streuquerschnitt, nach Legendre-Polynomen entwickeln, was man auch als Partialwellenentwicklung bezeichnet. Eine andere Methode zur Berechnung der Streuamplitude ist die Bornsche Näherung.

Streuproblem in der Quantenmechanik Bearbeiten

Schematische Darstellung der beiden Ansätze zur Lösung des quantenmechanischen Streuproblems.

Das Streuproblem in der Quantenmechanik besteht in der Suche nach der Wechselwirkung, die einem Streuprozess zweier quantenmechanischer Teilchen, eines Projektils und eines Targets, zugrunde liegt.

Wie in der klassischen Mechanik kann auch das quantenmechanische Streuproblem einer Masse an einer Masse auf die Streuung eines fiktiven Teilchens mit der reduzierten Masse in einem Potenzialfeld zurückgeführt werden.

Bei der sogenannten elastischen Streuung ändern sich die intrinsischen Quantenzahlen von Projektil und Target nicht. Bei der unelastischen Streuung treten beispielsweise die intrinsischen Drehimpulse der Teilchen mit dem Bahndrehimpuls der Relativbewegung in Wechselwirkung. Dabei können verschiedene innere Zustände der Teilchen angeregt werden. Zum Beispiel können Projektil, Target oder beide in Rotation versetzt werden oder Vibrationsschwingungen ausführen. Bei der unelastischen Streuung kann es auch zum Teilchenaustausch zwischen Projektil und Target kommen, was als Transferreaktion bezeichnet wird.

Die einzelnen Reaktionen verlaufen über einen sogenannten Streukanal. Ein Kanal ist durch die Angabe aller relevanter Quantenzahlen festgelegt, welche die entsprechende Reaktion beschreiben. Dazu gehören die Ladungs- und Massenzahlen der streuenden Teilchen, ihre Drehimpulse und deren Kopplung, die Wellenzahl sowie die Energie der Relativbewegung.

Als Eingangskanal wird der Kanal bezeichnet, dessen Quantenzahlen den Zustand der Teilchen zu Beginn der Streuung kennzeichnen. Die Quantenzahlen des Ausgangskanals beschreiben den Zustand nach der Streuung. Elastische Streuung liegt also vor, wenn der Eingangskanal mit dem Ausgangskanal identisch ist.

Ein Kanal heißt offen wenn die kinetische Energie der Relativbewegung größer ist als die Anregungsenergie des Kanals (und er außerdem der Drehimpuls- und Impulserhaltung gehorcht). Dann ist die Wellenzahl reell. Ist die Anregungsenergie eines Zustandes größer als die kinetische Energie der Relativbewegung, wird die Kanalenergie negativ. Kanäle mit negativer Energie heißen geschlossen (wie allgemein alle Kanäle, die nicht offen sind) und ihre Kanalwellenzahlen sind rein imaginär. Nur der offene Kanal ist energetisch bei der Streuung zugänglich.

Im Experiment ist der differentielle Wirkungsquerschnitt messbar. Das Streuproblem in der Quantenmechanik besteht darin, ein Potential zu finden, das den gemessenen Wirkungsquerschnitt erklären oder sogar Ergebnisse anderer Experimente vorhersagen kann.

Dabei können zwei grundsätzlich unterschiedliche Vorgehensweisen unterschieden werden, nämlich die Lösung des direkten und die Lösung des inversen Streuproblems.

Bei der Lösung des direkten Streuproblems wird aus einem angenommenen Potential (z. B. Woods-Saxon-Potential) die S-Matrix und aus dieser ein theoretischer Wirkungsquerschnitt berechnet. Die Parameter des Potentials werden an den experimentellen Wirkungsquerschnitt gefittet. Das ist die typische Anwendung bei Streuexperimenten. Der einfachste Fall ist oben behandelt.

Wird aus dem experimentellen Wirkungsquerschnitt die S-Matrix und aus dieser das Potential berechnet, so wird das inverse Streuproblem gelöst.

Literatur Bearbeiten

Skripte Bearbeiten

Moderne Werke Bearbeiten

Klassiker und ältere Werke Bearbeiten

  • Werner O. Amrein, Josef M. Jauch, Kalyan B. Sinha: Scattering Theory in Quantum Mechanics (= David Pines [Hrsg.]: Lecture notes and supplements in physics. Band 16). W. A. Benjamin, Reading, Mass 1977, ISBN 978-0-8053-0202-8 (englisch, archive.org).
  • Aleksandr S. Dawydow: Theorie des Atomkerns (= Otto Lucke, Robert Rompe [Hrsg.]: Hochschulbücher für Physik. Band 35). 1. Auflage. Dt. Verl. d. Wiss., Berlin 1963 (uni-leipzig.de).
  • J. E. G. Farina: Quantum Theory of Scattering Processes. Hrsg.: R. McWeeny (= The International Encyclopedia of Physical and Chemical Physics (Topic 2. Classical and Quantum Mechanics). Band 4). Pergamon Press, 1973 (englisch, archive.org).
  • John R. Taylor: Scattering Theory: The Quantum Theory of Nonrelativistic Collisions. Reprint Auflage. Robert E. Krieger Pubublishing Company, Malabar, FL 1983 (englisch, archive.org).
  • Marvin L. Goldberger, Kenneth M. Watson: Collision Theory. Dover Publications, Mineola, NY 2004, ISBN 978-0-486-43507-7 (englisch, google.de – Originaltitel: Collision Theory. 1975.).
  • Charles J. Joachain: Quantum Collision Theory. North-Holland Publishing Company, 1975, ISBN 0-7204-0294-8 (englisch, archive.org).
  • N. F. Mott, H. S. W. Massey: The Theory Of Atomic Collisions (= The International Series of Monographs on Physics). 2. Auflage. Calrendon Press (OUP), Oxford 1949 (englisch, archive.org).
  • Roger G. Newton: Scattering Theory of Waves and Particles. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 1982, ISBN 978-3-642-88130-5, doi:10.1007/978-3-642-88128-2 (englisch).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Streutheorie in vielen verschiedenen Bereichen wird zum Beispiel behandelt in Roy Pike, Pierre Sabatier (Hrsg.): Scattering: Scattering and Inverse Scattering in Pure and Applied Science, Academic Press 2002
  2. A. S. Davydov: Quantenmechanik. 7. Auflage. Berlin 1987, ISBN 978-3-326-00095-4.
  3. Streukanal, Spektrum Lexikon der Physik
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Veröffentlichungsdatum:
Dieser Artikel behandelt die quantenmechanische Streutheorie fur andere Verwendungen siehe Streuung Physik Als Streutheorie wird in der Physik die theoretische Beschreibung von Streuvorgangen bezeichnet Je nachdem welche Teilchen Strahlen oder Felder an der Streuung beteiligt sind gibt es unterschiedliche Arten von Streuvorgangen 1 Inhaltsverzeichnis 1 Elementare quantenmechanische Streutheorie 2 Streuproblem in der Quantenmechanik 3 Literatur 3 1 Skripte 3 2 Moderne Werke 3 3 Klassiker und altere Werke 4 EinzelnachweiseElementare quantenmechanische Streutheorie BearbeitenIn der Quantenmechanik wird ein Objekt z B ein Elektron immer durch einen Zustand beschrieben Dieser setzt sich zusammen aus einem Ortszustand Ort displaystyle vert text Ort rangle nbsp einem Spinzustand s m s displaystyle vert s m s rangle nbsp und vielen anderen physikalischen Grossen z B dem Isospin Gesamtzustand Ort Spin displaystyle vert text Gesamtzustand rangle text Ort rangle otimes text Spin rangle dots nbsp Im Folgenden wird nur der Ortszustand Ort displaystyle text Ort rangle nbsp betrachtet Die Wellenfunktion lasst sich dann als Komponenten Darstellung ps x x Ort displaystyle psi x langle x text Ort rangle nbsp des Ortszustands bezuglich einer Ortsbasis x displaystyle x rangle nbsp schreiben Die Beschrankung auf den Ortszustand ist unter folgenden Annahmen gerechtfertigt keine internen Freiheitsgrade Spin angeregter Zustand unterscheidbare Teilchen Symmetrie der Wellenfunktion fur Bosonen bzw Fermionen wird hier nicht berucksichtigt d h keine ununterscheidbare Teilchen keine Mehrfachstreuung Ahnlich wie in der klassischen Mechanik kann das Zweiteilchenproblem zunachst auf ein aquivalentes Einteilchenproblem reduziert werden bei dem ein einzelnes Quantenobjekt auf ein im Ursprung ruhendes Kraftzentrum zulauft Ausgangspunkt der Streutheorie ist die Beschreibung der Wechselwirkung durch ein Potential V x displaystyle V vec x nbsp und den davon abgeleiteten Hamiltonoperator H p 2 2 m V x displaystyle H frac p 2 2m V vec x nbsp Die Wellenfunktion des einlaufenden Teilchens wird zu Beginn des Streuprozesses t t 0 displaystyle t t 0 nbsp durch ein Wellenpaket beschrieben ps 0 x t 0 R 3 d 3 k 2 p 3 a k e i k x displaystyle psi 0 vec x t 0 int mathbb R 3 frac mathrm d 3 vec k 2 pi 3 a vec k e mathrm i vec k cdot vec x nbsp Diese Fourierdarstellung des Teilchens durch ebene Wellen kann auch uber die stationaren Zustande die Eigenzustande des Hamiltonoperators erfolgen H ps k E k ps k displaystyle H psi vec k E k psi vec k nbsp wobei die Eigenwerte mit dem Wellenvektor k displaystyle vec k nbsp zusammenhangen uber E k ℏ 2 k 2 2 m 0 displaystyle E k frac hbar 2 k 2 2m geq 0 nbsp Diese Zustande werden als Streuzustande bezeichnet da ein Zustand mit positiver Energie ungebunden ist und auch ausserhalb der Reichweite des Potentials eine endliche Aufenthaltswahrscheinlichkeit besitzt Ein einzelner Streuzustand entspricht physikalisch zunachst einer wenig plausiblen Situation da die Wahrscheinlichkeitsstromdichte j ℏ 2 m i ps ps ps ps displaystyle vec j frac hbar 2mi left psi vec nabla psi psi vec nabla psi right nbsp verschwindet also stets die gleiche Menge des Teilchens auf das Streuzentrum zu wie abfliesst Das ist aber notwendig da ein stationarer Zustand einer stehenden Welle analog ist wie man sie z B aus der Akustik kennt Erst durch Uberlagerung gelangt man zu der anschaulichen Situation eines zunachst einlaufenden und danach gestreuten Wellenpaketes Die stationare Schrodinger Gleichung fuhrt auf die Helmholtz Gleichung und deren inhomogene Losung auf eine implizite Integralgleichung die auf die asymptotische Form der Streuzustande fuhrt lim r ps k x e i k x f k 8 ϕ e i k r r displaystyle lim r to infty psi vec k vec x e mathrm i vec k cdot vec x f vec k theta phi frac e mathrm i kr r nbsp Dieses asymptotische Verhalten dass sich in grosser Entfernung vom Streuzentrum die Wellenfunktion aus einer ungestort durchlaufenden ebenen Welle und einer auslaufenden Kugelwelle zusammensetzt bezeichnet man auch als Sommerfeldsche Randbedingung Die physikalische Information uber das Streupotential liegt in der Streuamplitude f k 8 ϕ displaystyle f vec k theta phi nbsp genauer in ihrem Betrag dem durch Streuexperimente zugangigen differentiellen Wirkungsquerschnitt d s d W f k 8 ϕ 2 displaystyle frac mathrm d sigma mathrm d Omega left f vec k theta phi right 2 nbsp Er gibt das Verhaltnis zwischen den in einen Raumwinkel gestreuten auslaufenden Teilchen pro Zeit und der Stromdichte der einlaufenden Teilchen an Fur die Berechnung des vollen Wirkungsquerschnitts daraus siehe Wirkungsquerschnitt Im Falle eines Zentralpotentials ist der Drehimpuls eine Erhaltungsgrosse und man entwickelt die Wellenfunktion nach simultanen Eigenzustanden von H L 2 displaystyle H L 2 nbsp und L z displaystyle L z nbsp Die Streuzustande heissen dann Partialwellen und lassen sich wie auch die nun nur noch vom Winkel 8 displaystyle theta nbsp abhangige Streuamplitude und der Streuquerschnitt nach Legendre Polynomen entwickeln was man auch als Partialwellenentwicklung bezeichnet Eine andere Methode zur Berechnung der Streuamplitude ist die Bornsche Naherung Streuproblem in der Quantenmechanik Bearbeiten nbsp Schematische Darstellung der beiden Ansatze zur Losung des quantenmechanischen Streuproblems Das Streuproblem in der Quantenmechanik besteht in der Suche nach der Wechselwirkung die einem Streuprozess zweier quantenmechanischer Teilchen eines Projektils und eines Targets zugrunde liegt Wie in der klassischen Mechanik kann auch das quantenmechanische Streuproblem einer Masse m 1 displaystyle m 1 nbsp an einer Masse m 2 displaystyle m 2 nbsp auf die Streuung eines fiktiven Teilchens mit der reduzierten Masse m m 1 m 2 m 1 m 2 displaystyle mu m 1 m 2 over m 1 m 2 nbsp in einem Potenzialfeld V r displaystyle V vec r nbsp zuruckgefuhrt werden 2 Bei der sogenannten elastischen Streuung andern sich die intrinsischen Quantenzahlen von Projektil und Target nicht Bei der unelastischen Streuung treten beispielsweise die intrinsischen Drehimpulse der Teilchen mit dem Bahndrehimpuls der Relativbewegung in Wechselwirkung Dabei konnen verschiedene innere Zustande der Teilchen angeregt werden Zum Beispiel konnen Projektil Target oder beide in Rotation versetzt werden oder Vibrationsschwingungen ausfuhren Bei der unelastischen Streuung kann es auch zum Teilchenaustausch zwischen Projektil und Target kommen was als Transferreaktion bezeichnet wird Die einzelnen Reaktionen verlaufen uber einen sogenannten Streukanal Ein Kanal ist durch die Angabe aller relevanter Quantenzahlen festgelegt welche die entsprechende Reaktion beschreiben Dazu gehoren die Ladungs und Massenzahlen der streuenden Teilchen ihre Drehimpulse und deren Kopplung die Wellenzahl sowie die Energie der Relativbewegung Als Eingangskanal wird der Kanal bezeichnet dessen Quantenzahlen den Zustand der Teilchen zu Beginn der Streuung kennzeichnen Die Quantenzahlen des Ausgangskanals beschreiben den Zustand nach der Streuung Elastische Streuung liegt also vor wenn der Eingangskanal mit dem Ausgangskanal identisch ist Ein Kanal heisst offen wenn die kinetische Energie der Relativbewegung grosser ist als die Anregungsenergie des Kanals und er ausserdem der Drehimpuls und Impulserhaltung gehorcht Dann ist die Wellenzahl reell Ist die Anregungsenergie eines Zustandes grosser als die kinetische Energie der Relativbewegung wird die Kanalenergie negativ Kanale mit negativer Energie heissen geschlossen wie allgemein alle Kanale die nicht offen sind und ihre Kanalwellenzahlen sind rein imaginar Nur der offene Kanal ist energetisch bei der Streuung zuganglich 3 Im Experiment ist der differentielle Wirkungsquerschnitt messbar Das Streuproblem in der Quantenmechanik besteht darin ein Potential V r displaystyle V vec r nbsp zu finden das den gemessenen Wirkungsquerschnitt erklaren oder sogar Ergebnisse anderer Experimente vorhersagen kann Dabei konnen zwei grundsatzlich unterschiedliche Vorgehensweisen unterschieden werden namlich die Losung des direkten und die Losung des inversen Streuproblems Bei der Losung des direkten Streuproblems wird aus einem angenommenen Potential z B Woods Saxon Potential die S Matrix und aus dieser ein theoretischer Wirkungsquerschnitt berechnet Die Parameter des Potentials werden an den experimentellen Wirkungsquerschnitt gefittet Das ist die typische Anwendung bei Streuexperimenten Der einfachste Fall ist oben behandelt Wird aus dem experimentellen Wirkungsquerschnitt die S Matrix und aus dieser das Potential berechnet so wird das inverse Streuproblem gelost Literatur BearbeitenSkripte Bearbeiten Jan Plefka Fortgeschrittene Quantentheorie 2014 hu berlin de PDF Hendrik van Hees Streutheorie 1997 uni frankfurt de PDF Moderne Werke Bearbeiten Jorn Bleck Neuhaus Stossprozesse quantenmechanisch In Elementare Teilchen Springer Lehrbuch Springer Berlin Heidelberg Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 32578 6 S 119 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