Die Streuamplitude f displaystyle f ist eine Grosse der Streutheorie die die Richtungsabhangigkeit der Streuwelle beschreibt wenn eine ebene Welle an einem Streuzentrum gestreut wird Sie hat die Dimension Lange und verbindet die S Matrix mit dem Wirkungsquerschnitt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Alternativdefinition 2 Wirkungsquerschnitt 3 Partialwellenentwicklung 4 LiteraturDefinition BearbeitenDie Streuamplitude f p p displaystyle f p to p nbsp ist uber den S Operator S displaystyle S nbsp definiert p S p d 3 p p i 2 p m d E E f p p displaystyle langle p S p rangle delta 3 vec p vec p tfrac mathrm i 2 pi m delta E E f p to p nbsp Dabei sind p displaystyle p rangle nbsp der Anfangszustand und p displaystyle p rangle nbsp der Endzustand mit definiertem Impuls also Eigenzustande des Impulsoperators p p displaystyle vec p vec p nbsp die Impulse der Zustande E E displaystyle E E nbsp die Energie der Zustande m displaystyle m nbsp die Masse Physik der Zustande und d displaystyle delta nbsp die Dirac Distribution Alternativdefinition Bearbeiten Im Folgenden wird eine alternative Darstellung vorgestellt die vielfach auch als Definition benutzt wird In ihr kann die Streuamplitude als Funktion der Energie des eingehenden Zustands sowie des Winkels 8 displaystyle theta nbsp zwischen p displaystyle vec p nbsp und p displaystyle vec p nbsp geschrieben werden da der S Operator und damit auch die Streuamplitude invariant unter Rotationen sind ps o u t p p ps o u t p S ps i n d 3 p p S p p ps i n d 3 p p S p ps i n p ps i n p i 2 p m d 3 p d E E f p p ps i n p ps i n p i 2 p m f E 8 d 3 p d E E ps i n p displaystyle begin aligned psi mathrm out vec p amp langle p psi mathrm out rangle langle p S psi mathrm in rangle int mathrm d 3 vec p langle p S p rangle langle p psi mathrm in rangle int mathrm d 3 vec p langle p S p rangle psi mathrm in p amp psi mathrm in vec p frac mathrm i 2 pi m int mathrm d 3 vec p delta E E f p to p psi mathrm in vec p amp psi mathrm in vec p frac mathrm i 2 pi m f E theta int mathrm d 3 vec p delta E E psi mathrm in vec p end aligned nbsp Wenn fur die eingehende Welle ps i n displaystyle psi mathrm in nbsp eine ebene Welle parallel zur z Achse angenommen wird ergibt dies ps o u t p e i p z f E 8 e i p r r displaystyle psi mathrm out p e mathrm i p z f E theta frac e mathrm i p r r nbsp Wirkungsquerschnitt BearbeitenDer differenzielle Wirkungsquerschnitt ist gegeben durch d s d W f ϑ 2 displaystyle frac d sigma d Omega f vartheta 2 nbsp Zum totalen Wirkungsquerschnitt existiert eine Verbindung uber das optische Theorem s t o t 4 p d s d W d W 4 p k I m f 0 displaystyle sigma mathrm tot int 4 pi frac d sigma d Omega cdot d Omega frac 4 pi k mathrm Im f 0 nbsp mit der Wellenzahl k displaystyle k nbsp und dem Imaginarteil I m f 0 displaystyle mathrm Im f 0 nbsp der Streuamplitude fur den Streuwinkel Null Partialwellenentwicklung BearbeitenIn der Partialwellenentwicklung wird die Streuamplitude durch eine Summe uber Partialwellen ausgedruckt f ϑ ℓ 0 2 ℓ 1 f ℓ k P ℓ cos ϑ displaystyle f vartheta sum ell 0 infty 2 ell 1 f ell k P ell cos vartheta nbsp wobei f ℓ k displaystyle f ell k nbsp die partielle Streuamplitude P ℓ cos ϑ displaystyle P ell cos vartheta nbsp das Legendre Polynom ℓ displaystyle ell nbsp der Index fur den Drehimpuls ist Die partielle Streuamplitude kann durch das S matrix Element S ℓ e 2 i d ℓ displaystyle S ell e 2i delta ell nbsp und die Streuphase d ℓ displaystyle delta ell nbsp ausgedruckt werden f ℓ S ℓ 1 2 i k e 2 i d ℓ 1 2 i k e i d ℓ sin d ℓ k 1 k cot d ℓ i k displaystyle f ell frac S ell 1 2ik frac e 2i delta ell 1 2ik frac e i delta ell sin delta ell k frac 1 k cot delta ell ik nbsp Es ist zu beachten dass die partielle Streuamplitude f ℓ displaystyle f ell nbsp das S matrix Element S ℓ e 2 i d ℓ displaystyle S ell e 2i delta ell nbsp und die Streuphase d ℓ displaystyle delta ell nbsp implizit Funktionen der Streuenergie bzw des Impulses k displaystyle k nbsp sind hier in Form des Wellenvektors k wobei gilt p ℏ k displaystyle vec p hbar vec k nbsp Damit lasst sich der totale Streuquerschnitt ausdrucken als s total 4 p k 2 l 0 2 l 1 sin 2 d l displaystyle sigma text total frac 4 pi k 2 sum l 0 infty 2l 1 sin 2 delta l nbsp Die Streulange a ℓ displaystyle a ell nbsp kann mit Hilfe der partiellen Streuamplitude definiert werden f ℓ p p 0 a ℓ p 2 ℓ displaystyle f ell p xrightarrow p rightarrow 0 a ell cdot p 2 ell nbsp Gewohnlich wird aber nur die Streulange a 0 displaystyle a 0 nbsp der s Wellen ℓ 0 displaystyle ell 0 nbsp als Streulange bezeichnet Literatur BearbeitenSiehe auch Streutheorie Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Streuamplitude amp oldid 231286806
