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Optisches Theorem Das optische Theorem im Rahmen der Quantenmechanik auch Bohr Peierls Placzek Theorem oder Beziehung ge

Optisches Theorem

Das optische Theorem, im Rahmen der Quantenmechanik auch Bohr-Peierls-Placzek-Theorem oder -Beziehung genannt (nach Niels Bohr, Rudolf Peierls und George Placzek), bringt in der Streutheorie den Imaginärteil der Streuamplitude mit dem totalen Wirkungsquerschnitt in Zusammenhang. Das optische Theorem ist ein Resultat der Wellenoptik beziehungsweise der klassischen Elektrodynamik, wo es auf der Erhaltung der Energie gestreuter elektromagnetischer Wellen aufbaut. Später wurde in der quantenmechanischen Wellenmechanik basierend auf der Erhaltung der Wahrscheinlichkeit ein analoges Ergebnis für die Streuung von Materiewellen und in der Quantenfeldtheorie eine Verallgemeinerung des optischen Theorems für Quantenfelder gefunden.

In seiner ursprünglichen Formulierung lautet das optische Theorem:

mit

Klassische Elektrodynamik Bearbeiten

Licht, beziehungsweise eine allgemeine elektromagnetische Welle, mit elektrischer Feldstärke und magnetischer Flussdichte kann von einem Objekt mit endlicher Ausdehnung sowohl gestreut als auch absorbiert oder transmittiert werden. Die gesamten Felder setzen sich also zusammen aus den einfallenden Feldern und den gestreuten oder transmittierten Feldern . Die Leistungsdichte des Felds wird durch den Poynting-Vektor mit der Vakuumpermeabilität beschrieben. Die absorbierte Leistung der elektromagnetischen Welle ergibt sich als Flächenintegral des Poynting-Vektors der Gesamtfelder über die (nach innen gerichtete) Oberfläche des Streuers; die gestreute Leistung als Integral der gestreuten Felder über die (nach außen gerichtete) Oberfläche:

Mit der Zerlegung des elektrischen Felds in ebene Wellen

wobei der Polarisationsvektor in Schwingungsrichtung, der Wellenvektor in Ausbreitungsrichtung und die Amplitude des Felds sind sowie der Beziehung

da elektrisches Feld, magnetische Flussdichte und Wellenvektor im Vakuum paarweise senkrecht aufeinander stehen, führt dies zu:

( ist der Flächennormalenvektor, ).

Andererseits ist die Streuamplitude für ein elektromagnetisches Feld mit Polarisationsvektor :

Aus dem Vergleich dieser beiden Ausdrücke sieht man, dass

sein muss. Mit der Definition des Streuquerschnitts als Leistung normiert auf die einfallende Leistung

folgt das optische Theorem.

Quantenfeldtheorie Bearbeiten

In der Quantenfeldtheorie ist das optische Theorem ein exaktes Resultat, das nicht auf störungstheoretischen Näherungen basiert. In der Störungstheorie führt das optische Theorem zu einer Beziehung zwischen Schleifen-Diagrammen und Streuquerschnitten in führender Ordnung.

Sei das Matrixelement eines Prozesses , dann gilt

mit der Summe über alle möglichen physikalischen (Mehrteilchen-)Zustände und dem lorentzinvarianten Phasenraumintegral über alle Einteilchen-Impulse im jeweiligen Mehrteilchen-Zustand.

Insbesondere gilt für Zweiteilchen-Zustände

im Schwerpunktssystem mit der Schwerpunktsenergie , was das optische Theorem der nichtrelativistischen Quantenmechanik zurückgibt.

Für Einteilchen-Zustände , also für Zerfälle, gilt

mit der Masse des zerfallenden Teilchens und der Zerfallsbreite .

Herleitung Bearbeiten

Das optische Theorem basiert auf der Unitarität der S-Matrix von Quantenfeldtheorien. Sei der nichttriviale Teil der S-Matrix, also , dann folgt aus der Unitarität der S-Matrix:

Durch Multiplikation von sowie ergibt sich die linke Seite der Gleichung mit der Definition des Matrixelements als zu:

Das Einfügen einer Eins in Form von

auf der rechten Seite führt zu:

Das optische Theorem folgt durch Gleichsetzen.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. vgl. Fußnote 1 in Niels Bohr, Rudolf Peierls und Georg Placzek: Nuclear Reactions in the Continuous Energy Region. In: Nature. Band 144, 1939, S. 200–201, doi:10.1038/144200a0 (englisch). Der angekündigte Artikel in Proceedings of the Copenhagen Academy wurde durch den Ausbruch des 2. Weltkriegs nie publiziert.
  2. John David Jackson: Classical Electrodynamics. 3. Auflage. John Wiley & Sons, Hoboken 1999, ISBN 978-0-471-30932-1, S. 500–502 (englisch).
  3. Matthew D. Schwartz: Quantum Field Theory and the Standard Model. Cambridge University Press, Cambridge 2014, ISBN 978-1-107-03473-0, S. 454 (englisch).

Literatur Bearbeiten

  • Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 5/2: Quantenmechanik – Methoden und Anwendungen, Springer, Berlin, 2006, ISBN 9783540260356, S. 333

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Das optische Theorem im Rahmen der Quantenmechanik auch Bohr Peierls Placzek Theorem oder Beziehung genannt nach Niels Bohr Rudolf Peierls und George Placzek 1 bringt in der Streutheorie den Imaginarteil der Streuamplitude mit dem totalen Wirkungsquerschnitt s displaystyle sigma in Zusammenhang Das optische Theorem ist ein Resultat der Wellenoptik beziehungsweise der klassischen Elektrodynamik wo es auf der Erhaltung der Energie gestreuter elektromagnetischer Wellen aufbaut Spater wurde in der quantenmechanischen Wellenmechanik basierend auf der Erhaltung der Wahrscheinlichkeit ein analoges Ergebnis fur die Streuung von Materiewellen und in der Quantenfeldtheorie eine Verallgemeinerung des optischen Theorems fur Quantenfelder gefunden In seiner ursprunglichen Formulierung lautet das optische Theorem s 4 p k Im f k 8 0 displaystyle sigma frac 4 pi k operatorname Im f k theta 0 mit k displaystyle k Kreiswellenzahl f k 8 0 displaystyle f k theta 0 Streuamplitude bei Streuwinkel 8 0 displaystyle theta 0 Inhaltsverzeichnis 1 Klassische Elektrodynamik 2 Quantenfeldtheorie 2 1 Herleitung 3 Einzelnachweise 4 Literatur 5 WeblinksKlassische Elektrodynamik BearbeitenLicht beziehungsweise eine allgemeine elektromagnetische Welle mit elektrischer Feldstarke E displaystyle vec E nbsp und magnetischer Flussdichte B displaystyle vec B nbsp kann von einem Objekt mit endlicher Ausdehnung sowohl gestreut als auch absorbiert oder transmittiert werden Die gesamten Felder setzen sich also zusammen aus den einfallenden Feldern E i B i displaystyle vec E i vec B i nbsp und den gestreuten oder transmittierten Feldern E s B s displaystyle vec E s vec B s nbsp Die Leistungsdichte des Felds wird durch den Poynting Vektor P 1 2 m 0 Re E B displaystyle vec P tfrac 1 2 mu 0 operatorname Re vec E times vec B nbsp mit der Vakuumpermeabilitat m 0 displaystyle mu 0 nbsp beschrieben Die absorbierte Leistung der elektromagnetischen Welle ergibt sich als Flachenintegral des Poynting Vektors der Gesamtfelder uber die nach innen gerichtete Oberflache des Streuers die gestreute Leistung als Integral der gestreuten Felder uber die nach aussen gerichtete Oberflache P P abs P streu 1 2 m 0 Re d A E B 1 2 m 0 Re d A E s B s 1 2 m 0 Re d A E s B i E i B s displaystyle P P text abs P text streu frac 1 2 mu 0 operatorname Re left int mathrm d vec A cdot vec E times vec B right frac 1 2 mu 0 operatorname Re left int mathrm d vec A cdot vec E s times vec B s right frac 1 2 mu 0 operatorname Re left int mathrm d vec A cdot vec E s times vec B i vec E i times vec B s right nbsp Mit der Zerlegung des elektrischen Felds in ebene Wellen E i E 0 e i e i k i x displaystyle vec E i E 0 vec varepsilon i e mathrm i vec k i cdot vec x nbsp wobei e displaystyle vec varepsilon nbsp der Polarisationsvektor in Schwingungsrichtung k displaystyle vec k nbsp der Wellenvektor in Ausbreitungsrichtung und E 0 displaystyle E 0 nbsp die Amplitude des Felds sind sowie der Beziehung B i 1 c k i k i E i displaystyle vec B i frac 1 ck i vec k i times vec E i nbsp da elektrisches Feld magnetische Flussdichte und Wellenvektor im Vakuum paarweise senkrecht aufeinander stehen fuhrt dies zu P 1 2 m 0 Re E 0 d A e i k i x e i n B s e i k i n E s c k displaystyle P frac 1 2 mu 0 operatorname Re left E 0 int mathrm d A e mathrm i vec k i cdot vec x left vec varepsilon i cdot vec n times vec B s vec varepsilon i cdot frac vec k i times vec n times vec E s ck right right nbsp n displaystyle vec n nbsp ist der Flachennormalenvektor d A n d A displaystyle mathrm d vec A vec n mathrm d A nbsp Andererseits ist die Streuamplitude f displaystyle f nbsp fur ein elektromagnetisches Feld mit Polarisationsvektor e displaystyle vec varepsilon nbsp f e k k i i c k 4 p E 0 1 d A e i k x e n B s e k n E s c k displaystyle f vec varepsilon vec k vec k i mathrm i frac ck 4 pi E 0 1 int mathrm d A e mathrm i vec k cdot vec x left vec varepsilon cdot vec n times vec B s vec varepsilon cdot frac vec k times vec n times vec E s ck right nbsp Aus dem Vergleich dieser beiden Ausdrucke sieht man dass P 2 p m 0 c k i Im E 0 E 0 f e i k i k i displaystyle P frac 2 pi mu 0 ck i operatorname Im E 0 E 0 f vec varepsilon i vec k i vec k i nbsp sein muss Mit der Definition des Streuquerschnitts als Leistung normiert auf die einfallende Leistung s E E 2 m 0 c 1 P displaystyle sigma left frac EE 2 mu 0 c right 1 P nbsp folgt das optische Theorem 2 Quantenfeldtheorie BearbeitenIn der Quantenfeldtheorie ist das optische Theorem ein exaktes Resultat das nicht auf storungstheoretischen Naherungen basiert In der Storungstheorie fuhrt das optische Theorem zu einer Beziehung zwischen Schleifen Diagrammen und Streuquerschnitten in fuhrender Ordnung Sei M i f displaystyle mathcal M i to f nbsp das Matrixelement eines Prozesses i f displaystyle i to f nbsp dann gilt 3 M i f M f i i X j X d 3 p j 2 p j 0 d 4 p i p X M i X M f X displaystyle mathcal M i to f M f to i mathrm i sum X prod j in X int frac mathrm d 3 vec p j 2p j 0 delta 4 p i p X mathcal M i to X mathcal M f to X nbsp mit der Summe uber alle moglichen physikalischen Mehrteilchen Zustande X displaystyle X rangle nbsp und dem lorentzinvarianten Phasenraumintegral uber alle Einteilchen Impulse p j displaystyle vec p j nbsp im jeweiligen Mehrteilchen Zustand Insbesondere gilt fur Zweiteilchen Zustande A displaystyle A rangle nbsp Im M A A 2 E C M p A X s A X displaystyle operatorname Im mathcal M A to A 2E mathrm CM vec p A sum X sigma A to X nbsp im Schwerpunktssystem mit der Schwerpunktsenergie E C M displaystyle E mathrm CM nbsp was das optische Theorem der nichtrelativistischen Quantenmechanik zuruckgibt Fur Einteilchen Zustande B displaystyle B rangle nbsp also fur Zerfalle gilt Im M B B m B X G B X m B G t o t displaystyle operatorname Im mathcal M B to B m B sum X Gamma B to X m B Gamma mathrm tot nbsp mit der Masse des zerfallenden Teilchens m B displaystyle m B nbsp und der Zerfallsbreite G displaystyle Gamma nbsp Herleitung Bearbeiten Das optische Theorem basiert auf der Unitaritat der S Matrix von Quantenfeldtheorien Sei T displaystyle mathcal T nbsp der nichttriviale Teil der S Matrix also S 1 i T displaystyle S 1 mathrm i mathcal T nbsp dann folgt aus der Unitaritat der S Matrix 1 S S 1 i T 1 i T 1 i T T T T i T T T T displaystyle 1 S dagger S 1 mathrm i mathcal T dagger 1 mathrm i mathcal T 1 mathrm i mathcal T dagger mathcal T mathcal T dagger mathcal T quad Leftrightarrow quad mathrm i mathcal T dagger mathcal T mathcal T dagger mathcal T nbsp Durch Multiplikation von f displaystyle langle f nbsp sowie i displaystyle i rangle nbsp ergibt sich die linke Seite der Gleichung mit der Definition des Matrixelements als f T i 2 p 4 d 4 p i p f M i f displaystyle langle f mathcal T i rangle 2 pi 4 delta 4 p i p f mathcal M i to f nbsp zu f i T T i i 2 p 4 d 4 p i p f M f i M i f displaystyle langle f mathrm i mathcal T dagger mathcal T i rangle mathrm i 2 pi 4 delta 4 p i p f big mathcal M f to i mathcal M i to f big nbsp Das Einfugen einer Eins in Form von 1 X j X d 3 p j 2 p 4 1 2 p j 0 X X displaystyle 1 sum X prod j in X int frac mathrm d 3 vec p j 2 pi 4 frac 1 2p j 0 X rangle langle X nbsp auf der rechten Seite fuhrt zu f T T i X j X d 3 p j 2 p j 0 2 p 4 d 4 p i p X d 4 p f p X M i X M f X displaystyle langle f mathcal T dagger mathcal T i rangle sum X prod j in X int frac mathrm d 3 vec p j 2p j 0 2 pi 4 delta 4 p i p X delta 4 p f p X mathcal M i to X mathcal M f to X nbsp Das optische Theorem folgt durch Gleichsetzen Einzelnachweise Bearbeiten vgl Fussnote 1 in Niels Bohr Rudolf Peierls und Georg Placzek Nuclear Reactions in the Continuous Energy Region In Nature Band 144 1939 S 200 201 doi 10 1038 144200a0 englisch Der angekundigte Artikel in Proceedings of the Copenhagen Academy wurde durch den Ausbruch des 2 Weltkriegs nie publiziert John David Jackson Classical Electrodynamics 3 Auflage John Wiley amp Sons Hoboken 1999 ISBN 978 0 471 30932 1 S 500 502 englisch Matthew D Schwartz Quantum Field Theory and the Standard Model Cambridge University Press Cambridge 2014 ISBN 978 1 107 03473 0 S 454 englisch Literatur BearbeitenWolfgang Nolting Grundkurs Theoretische Physik 5 2 Quantenmechanik Methoden und Anwendungen Springer Berlin 2006 ISBN 9783540260356 S 333Weblinks BearbeitenHerbert Muther Vorlesungsskript Theoretische Physik III IV Quantenmechanik I und II 1997 1999 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Optisches Theorem amp oldid 225185034