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Partialwelle n wörtlich Teilwellen ein Begriff der Quantenmechanik sind stationäre Lösungen eines Streuproblems und glei

Partialwelle

Partialwellen, wörtlich: Teilwellen, ein Begriff der Quantenmechanik, sind stationäre Lösungen eines Streuproblems und gleichzeitig Eigenfunktionen des Drehimpulses. Die Zerlegung einer Streuamplitude in Partialwellen, d. h. eine Reihenentwicklung nach Drehimpulsen, ist sinnvoll vor allem bei Wechselwirkungen mit kurzer Reichweite, wie z. B. der starken Wechselwirkung. Aufgrund der kurzen Reichweite tragen nämlich für niedrige Energien nur kleine Drehimpulse zur Streuung bei.

Erklärung im Teilchenbild Bearbeiten

Wird ein bewegtes Teilchen im Feld eines Streuzentrums – z. B. eines Atomkerns – aus seiner Bahn abgelenkt, so gehört zu dieser Bewegung ein Bahndrehimpuls. Dieser kann nur diskrete, durch eine Quantenzahl beschriebene Werte annehmen; im Einzelfall hängt er bei gegebener Geschwindigkeit des Teilchens vom Stoßparameter ab. Die Beiträge der Einzelprozesse mit heißen im Wellenbild Partialwellen und wirken sich jeweils charakteristisch aus, z. B. in der Verteilung der insgesamt gestreuten Teilchen auf die Streurichtungen, die Winkelverteilung.

Die Kennbuchstaben für die Werte von werden benutzt wie beim gebundenen Elektron im Atom, man spricht also von der s-Welle (), p-Welle (), d-Welle () usw.

Herleitung Bearbeiten

Ziel ist es, eine Lösung der Schrödingergleichung für ein sphärisch-symmetrisches Potential wie z. B. das Coulombpotential zu finden.

Die Wellenfunktion wird für asymptotische Abstände als Überlagerung einer einlaufenden ebenen Welle und einer durch die Streuamplitude modifizierten Kugelwelle angesetzt:

In diesem Fall ist die Streuamplitude aufgrund der Kugelsymmetrie unabhängig vom Winkel :

Nach einigen Umformungen ergibt sich die Lösungswellenfunktion des Streuproblems für asymptotische Distanzen zu:

dabei sind die Legendre-Polynome.

ist die Lösung der radialen Schrödingergleichung, welche aus einer Linearkombination der sphärischen Bessel-Funktionen und der Von-Neumann-Funktion besteht:

Im nächsten Schritt wird die Streuphase folgendermaßen definiert:

Die Phase der auslaufenden Kugelwelle wird also durch das Potential verschoben: bei elastischer Streuung unterscheidet sich die gestreute Welle von der ungestörten Welle des freien Teilchens nur durch einen Phasenfaktor

Durch Einsetzen der sphärischen Bessel- und Von-Neumann-Funktionen und Vergleich mit dem Ansatz für die Wellenfunktion für asymptotische Distanzen kommt man nach einigen Umformungen auf den folgenden Zusammenhang zwischen Streuamplitude und der Streuphase :

wobei

den Beitrag der l-ten Partialwelle darstellt.

Streulänge Bearbeiten

Eine weitere wichtige Größe für die Analyse von Streuproblemen, die sich aus der Streuamplitude ableiten lässt, ist die Streulänge a. Sie ergibt sich aus dem totalen Streuquerschnitt, wenn die Energie des gestreuten Teilchens gegen 0 geht:

Die Streulänge entspricht also einer effektiven Querschnittsfläche, welche sowohl die Stärke als auch die Art eines Potentials anzeigt.

Mit folgender Definition für den totalen Querschnitt:

wird die Streulänge für s-Wellen () zu:

Literatur Bearbeiten

  • Cohen-Tannoudji: Quantum Mechanics - Vol 2, Wiley-Interscience, 2006.

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Partialwellen wortlich Teilwellen ein Begriff der Quantenmechanik sind stationare Losungen eines Streuproblems und gleichzeitig Eigenfunktionen des Drehimpulses Die Zerlegung einer Streuamplitude in Partialwellen d h eine Reihenentwicklung nach Drehimpulsen ist sinnvoll vor allem bei Wechselwirkungen mit kurzer Reichweite wie z B der starken Wechselwirkung Aufgrund der kurzen Reichweite tragen namlich fur niedrige Energien nur kleine Drehimpulse zur Streuung bei Inhaltsverzeichnis 1 Erklarung im Teilchenbild 2 Herleitung 3 Streulange 4 Literatur 5 WeblinksErklarung im Teilchenbild BearbeitenWird ein bewegtes Teilchen im Feld eines Streuzentrums z B eines Atomkerns aus seiner Bahn abgelenkt so gehort zu dieser Bewegung ein Bahndrehimpuls Dieser kann nur diskrete durch eine Quantenzahl l displaystyle l nbsp beschriebene Werte annehmen im Einzelfall hangt er bei gegebener Geschwindigkeit des Teilchens vom Stossparameter ab Die Beitrage der Einzelprozesse mit l 0 1 2 displaystyle l 0 1 2 dots nbsp heissen im Wellenbild Partialwellen und wirken sich jeweils charakteristisch aus z B in der Verteilung der insgesamt gestreuten Teilchen auf die Streurichtungen die Winkelverteilung Die Kennbuchstaben fur die Werte von l displaystyle l nbsp werden benutzt wie beim gebundenen Elektron im Atom man spricht also von der s Welle l 0 displaystyle l 0 nbsp p Welle l 1 displaystyle l 1 nbsp d Welle l 2 displaystyle l 2 nbsp usw Herleitung BearbeitenZiel ist es eine Losung der Schrodingergleichung fur ein spharisch symmetrisches Potential V r V r displaystyle V vec r V r nbsp wie z B das Coulombpotential zu finden Die Wellenfunktion ps k r displaystyle psi vec k vec r nbsp wird fur asymptotische Abstande r displaystyle r rightarrow infty nbsp als Uberlagerung einer einlaufenden ebenen Welle und einer durch die Streuamplitude f 8 ϕ displaystyle f theta phi nbsp modifizierten Kugelwelle angesetzt ps k r r e i k r f 8 ϕ e i k r r displaystyle psi vec k vec r xrightarrow r rightarrow infty e i vec k vec r f theta phi frac e ikr r nbsp In diesem Fall ist die Streuamplitude aufgrund der Kugelsymmetrie unabhangig vom Winkel ϕ displaystyle phi nbsp f 8 ϕ f 8 displaystyle f theta phi f theta nbsp dd Nach einigen Umformungen ergibt sich die Losungswellenfunktion des Streuproblems fur asymptotische Distanzen zu ps k r l 0 i l 2 l 1 R l k r P l cos 8 displaystyle psi vec k vec r sum l 0 infty i l 2l 1 R lk r P l cos theta nbsp dabei sind P l cos 8 displaystyle P l cos theta nbsp die Legendre Polynome R l k displaystyle R lk nbsp ist die Losung der radialen Schrodingergleichung welche aus einer Linearkombination der spharischen Bessel Funktionen j l r displaystyle j l rho nbsp und der Von Neumann Funktion n l r displaystyle n l rho nbsp besteht R l k r A l j l k r B l n l k r displaystyle R lk stackrel mathrm r rightarrow infty A l j l kr B l n l kr nbsp Im nachsten Schritt wird die Streuphase d l displaystyle delta l nbsp folgendermassen definiert A l a l cos d l displaystyle A l a l cos delta l nbsp B l a l sin d l displaystyle B l a l sin delta l nbsp Die Phase der auslaufenden Kugelwelle wird also durch das Potential V r displaystyle V r nbsp verschoben bei elastischer Streuung unterscheidet sich die gestreute Welle von der ungestorten Welle des freien Teilchens nur durch einen Phasenfaktor e i d l displaystyle e i cdot delta l nbsp Durch Einsetzen der spharischen Bessel und Von Neumann Funktionen und Vergleich mit dem Ansatz fur die Wellenfunktion fur asymptotische Distanzen kommt man nach einigen Umformungen auf den folgenden Zusammenhang zwischen Streuamplitude f 8 displaystyle f theta nbsp und der Streuphase d l displaystyle delta l nbsp f 8 l 0 2 l 1 f l d l P l cos 8 displaystyle f theta sum l 0 infty 2l 1 f l delta l P l cos theta nbsp wobei f l d l 1 k e i d l sin d l displaystyle f l delta l frac 1 k e i cdot delta l sin delta l nbsp dd den Beitrag der l ten Partialwelle darstellt Streulange BearbeitenEine weitere wichtige Grosse fur die Analyse von Streuproblemen die sich aus der Streuamplitude ableiten lasst ist die Streulange a Sie ergibt sich aus dem totalen Streuquerschnitt wenn die Energie des gestreuten Teilchens gegen 0 geht lim k 0 s total 4 p a 2 a lim k 0 s total 4 p displaystyle begin aligned lim k to 0 sigma text total amp 4 pi cdot a 2 Leftrightarrow a amp pm sqrt frac lim k to 0 sigma text total 4 pi end aligned nbsp Die Streulange entspricht also einer effektiven Querschnittsflache welche sowohl die Starke als auch die Art eines Potentials anzeigt Mit folgender Definition fur den totalen Querschnitt s total 4 p d s d W d W 4 p f 8 2 d W 4 p k 2 l 0 2 l 1 sin 2 d l displaystyle sigma text total int 4 pi frac d sigma d Omega cdot d Omega int 4 pi f theta 2 cdot d Omega frac 4 pi k 2 sum l 0 infty 2l 1 sin 2 delta l nbsp dd wird die Streulange fur s Wellen l 0 displaystyle l 0 nbsp zu a lim k 0 sin d 0 k displaystyle a pm lim k to 0 frac sin delta 0 k nbsp Literatur BearbeitenCohen Tannoudji Quantum Mechanics Vol 2 Wiley Interscience 2006 Weblinks BearbeitenTU Munchen Eigenschaften der Nukleon Nukleon Wechselwirkung Memento vom 7 Marz 2014 im Internet Archive Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Partialwelle amp oldid 187316820