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Wahrscheinlichkeitsstromdichte Die quantenmechanische genauer Aufenthaltswahrscheinlichkeitsstromdichte ist eine Stromdi

Wahrscheinlichkeitsstromdichte

Die quantenmechanische Wahrscheinlichkeitsstromdichte (genauer: Aufenthaltswahrscheinlichkeitsstromdichte) ist eine Stromdichte, die im Rahmen der quantenmechanischen Kontinuitätsgleichung mit der quantenmechanischen Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte assoziiert ist. Sie wird durch die Wellenfunktion im Ortsraum bestimmt und hat bei Abwesenheit magnetischer Felder die Form (zur Präzisierung siehe unten):

Hintergrund Bearbeiten

In physikalischen Feldtheorien treten Erhaltungsgrößen als Integrale über bestimmte Dichten auf. Solche Dichten, die zu den Erhaltungsgrößen gehören, genügen dann Kontinuitätsgleichungen, die eine spezielle Form einer Bilanzgleichung sind.

Allgemein enthalten Kontinuitätsgleichungen eine Dichte und einen Strom und verknüpfen sie der Gestalt

oder in integraler Formulierung mithilfe des Gaußschen Integralsatzes:

Anschauliche Bedeutung erfahren die Kontinuitätsgleichungen durch die integrale Formulierung, da die zeitliche Änderung der Dichte innerhalb eines Volumenelements gleich dem Strom über die Grenzen des Volumenelements hinein ist ( zeigt aus dem Volumenelement hinaus).

Da in der Kontinuitätsgleichung nur die Divergenz der Stromdichte auftritt, kann zu dieser stets ein Term proportional zur Rotation einer beliebigen vektorwertigen (hinreichend glatten) Funktion addiert werden, da nach dem Satz von Schwarz gilt.

Nichtrelativistische Quantenmechanik Bearbeiten

In der Quantenmechanik ist, wie auch in der statistischen Mechanik, die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eine Erhaltungsgröße. Diese Wahrscheinlichkeit, wenn man den gesamten Raum betrachtet, ist gleich Eins: das einzelne Teilchen muss irgendwo im Raum anzutreffen sein. In der Quantenmechanik ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte durch das Betragsquadrat der Wellenfunktion gegeben:

Da die Wellenfunktion der Quantenmechanik eine vollständige Beschreibung des physikalischen Zustandes des Systems darstellt, ist zunächst aber unklar, wie die zugehörige Stromdichte der Wahrscheinlichkeitsdichte aussehen könnte, da man anders als in der Kontinuumsmechanik a priori kein zusätzliches Geschwindigkeitsfeld gegeben hat. Die Stromdichte muss vielmehr eine Funktion der Wellenfunktion sein.

Wahrscheinlichkeitsstromdichte ohne äußeres elektromagnetisches Feld Bearbeiten

Die Wahrscheinlichkeitsdichte kann mit Hilfe der Schrödingergleichung umformuliert werden:

wobei der Hamiltonoperator ist. Setzt man die explizite Form des Hamiltonoperators ein, sieht man, dass das Potential aus der Gleichung herausfällt. Es bleibt ein Term, den man noch in die Form

bringen kann. Aus einem Vergleich mit der Kontinuitätsgleichung ergibt sich die folgende Form der Wahrscheinlichkeitsstromdichte:

wie am Anfang des Artikels beschrieben.

Alternative Formulierungen:

wobei der kanonische Impulsoperator ist.

Wahrscheinlichkeitsstromdichte mit äußerem elektromagnetischen Feld Bearbeiten

Die Wellenfunktion im äußeren elektromagnetischen Feld gehorcht der Pauli-Gleichung. Dabei werden folgende Ersetzungen in der Schrödinger-Gleichung durchgeführt:

  • Zur Beschreibung des Spins wird aus der skalaren Schrödinger-Gleichung die Wellenfunktion allgemeiner durch den Spinor beschrieben; bei Spin-½ Teilchen wie den Elektronen oder Protonen hat der Spinor dabei zwei Komponenten, bei Spin-0 Teilchen wie dem Alphateilchen hat der Spinor nur eine Komponente.
  • Der Impulsoperator wird durch ersetzt, wobei das Vektorpotential und die elektrische Ladung des Teilchens ist. Den Term (ohne „Operator-Hut“) nennt man im Gegensatz zum kanonischen auch kinetischen Impuls.
  • Der Hamiltonoperator erhält einen Zusatzterm für die elektrostatische Energie mit dem elektrischen Potential und wird zu .

Für Teilchen ohne Spin lässt sich die zur Pauli-Gleichung passende Wahrscheinlichkeitsstromdichte relativ schnell herleiten zu:

Diese Wahrscheinlichkeitsstromdichte ist aufgrund der Ersetzung des kanonischen durch den kinetischen Impuls invariant unter den Eichtransformationen

mit einer beliebigen reellen Funktion .

Für Teilchen ohne Spin ist die oben gefundene Formel gültig, jedoch nicht notwendigerweise für Teilchen mit Spin. Nach einer 1999 in der Fachzeitschrift American Journal of Physics veröffentlichten Analyse muss dazu ein Term hinzugefügt werden, der linear vom Spin abhängt, aber unabhängig vom Magnetfeld ist: „This analysis reveals that the nonrelativistic current of the Pauli equation should include an extra term of the form ∇×(ψ†σψ).“

Denn es lässt sich zu dieser Wahrscheinlichkeitsstromdichte ein Term proportional zu addieren, welcher ebenfalls eichinvariant ist (und als Rotationsterm die Kontinuitätsgleichung nicht verletzt). Tatsächlich ergebe sich aus der Dirac-Gleichung im nichtrelativistischen Grenzfall mit dem Pauli-Matrizen :

Einzelnachweise und Fußnoten Bearbeiten

  1. siehe z. B. G. M. Wysin: Probability Current and Current Operators in Quantum Mechanics. In: www.phys.ksu.edu. 2011, abgerufen am 15. April 2023.
  2. Marek Nowakowski: The quantum mechanical current of the Pauli equation. In: aapt.scitation.org. 1999, abgerufen am 15. April 2023.
  3. Marek Nowakowski: The Quantum Mechanical Current of the Pauli Equation. American Journal of Physics 67, 916 (1999). Artikel auf arxiv.org

Weblinks Bearbeiten

  • Elektroniummodell Beschreibung von Atomen mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsstromdichte
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Veröffentlichungsdatum:
Die quantenmechanische Wahrscheinlichkeitsstromdichte genauer Aufenthaltswahrscheinlichkeitsstromdichte ist eine Stromdichte die im Rahmen der quantenmechanischen Kontinuitatsgleichung mit der quantenmechanischen Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte assoziiert ist Sie wird durch die Wellenfunktion ps x t displaystyle psi vec x t im Ortsraum bestimmt und hat bei Abwesenheit magnetischer Felder die Form zur Prazisierung siehe unten j i ℏ 2 m ps ps ps ps displaystyle vec j frac i hbar 2m psi vec nabla psi psi vec nabla psi Inhaltsverzeichnis 1 Hintergrund 2 Nichtrelativistische Quantenmechanik 2 1 Wahrscheinlichkeitsstromdichte ohne ausseres elektromagnetisches Feld 2 2 Wahrscheinlichkeitsstromdichte mit ausserem elektromagnetischen Feld 3 Einzelnachweise und Fussnoten 4 WeblinksHintergrund Bearbeiten Hauptartikel KontinuitatsgleichungIn physikalischen Feldtheorien treten Erhaltungsgrossen als Integrale uber bestimmte Dichten auf Solche Dichten die zu den Erhaltungsgrossen gehoren genugen dann Kontinuitatsgleichungen die eine spezielle Form einer Bilanzgleichung sind Allgemein enthalten Kontinuitatsgleichungen eine Dichte r displaystyle rho nbsp und einen Strom j displaystyle vec j nbsp und verknupfen sie der Gestalt t r j 0 displaystyle partial t rho vec nabla cdot vec j 0 nbsp oder in integraler Formulierung mithilfe des Gaussschen Integralsatzes t V r d V V j d A displaystyle partial t int V rho mathrm d V int partial V vec j cdot mathrm d vec A nbsp Anschauliche Bedeutung erfahren die Kontinuitatsgleichungen durch die integrale Formulierung da die zeitliche Anderung der Dichte innerhalb eines Volumenelements gleich dem Strom uber die Grenzen des Volumenelements hinein ist j displaystyle vec j nbsp zeigt aus dem Volumenelement hinaus Da in der Kontinuitatsgleichung nur die Divergenz der Stromdichte auftritt kann zu dieser stets ein Term proportional zur Rotation einer beliebigen vektorwertigen hinreichend glatten Funktion f displaystyle vec f nbsp addiert werden da nach dem Satz von Schwarz f 0 displaystyle vec nabla cdot vec nabla times vec f 0 nbsp gilt Nichtrelativistische Quantenmechanik BearbeitenIn der Quantenmechanik ist wie auch in der statistischen Mechanik die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eine Erhaltungsgrosse Diese Wahrscheinlichkeit wenn man den gesamten Raum betrachtet ist gleich Eins das einzelne Teilchen muss irgendwo im Raum anzutreffen sein In der Quantenmechanik ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte durch das Betragsquadrat der Wellenfunktion ps displaystyle psi nbsp gegeben r ps ps displaystyle rho psi psi nbsp Da die Wellenfunktion der Quantenmechanik eine vollstandige Beschreibung des physikalischen Zustandes des Systems darstellt ist zunachst aber unklar wie die zugehorige Stromdichte der Wahrscheinlichkeitsdichte aussehen konnte da man anders als in der Kontinuumsmechanik a priori kein zusatzliches Geschwindigkeitsfeld gegeben hat Die Stromdichte muss vielmehr eine Funktion der Wellenfunktion sein Wahrscheinlichkeitsstromdichte ohne ausseres elektromagnetisches Feld Bearbeiten Die Wahrscheinlichkeitsdichte kann mit Hilfe der Schrodingergleichung umformuliert werden t r ps t ps ps t ps 1 i ℏ ps H ps ps H ps displaystyle frac partial partial t rho psi frac partial partial t psi psi frac partial partial t psi frac 1 mathrm i hbar psi hat mathcal H psi psi hat mathcal H psi nbsp wobei H ℏ 2 2 m D V x displaystyle hat mathcal H frac hbar 2 2m Delta V vec x nbsp der Hamiltonoperator ist Setzt man die explizite Form des Hamiltonoperators ein sieht man dass das Potential V displaystyle V nbsp aus der Gleichung herausfallt Es bleibt ein Term den man noch in die Form t r i ℏ 2 m ps ps ps ps displaystyle frac partial partial t rho frac i hbar 2m vec nabla cdot psi vec nabla psi psi vec nabla psi nbsp bringen kann Aus einem Vergleich mit der Kontinuitatsgleichung ergibt sich die folgende Form der Wahrscheinlichkeitsstromdichte j i ℏ 2 m ps ps ps ps displaystyle vec j frac i hbar 2m psi vec 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Wahrscheinlichkeitsstromdichte ein Term proportional zu PS s PS displaystyle vec nabla times Psi dagger vec sigma Psi nbsp addieren welcher ebenfalls eichinvariant ist und als Rotationsterm die Kontinuitatsgleichung nicht verletzt Tatsachlich ergebe sich aus der Dirac Gleichung im nichtrelativistischen Grenzfall mit dem Pauli Matrizen s displaystyle sigma nbsp 3 j m S i ℏ 2 m PS PS PS PS q m PS PS A ℏ 2 m PS s PS O v 2 c 2 displaystyle vec j mS frac mathrm i hbar 2m left Psi dagger vec nabla Psi vec nabla Psi dagger Psi right frac q m Psi dagger Psi vec A frac hbar 2m vec nabla times Psi dagger vec sigma Psi mathcal O v 2 c 2 nbsp Einzelnachweise und Fussnoten Bearbeiten siehe z B G M Wysin Probability Current and Current Operators in Quantum Mechanics In www phys ksu edu 2011 abgerufen am 15 April 2023 Marek Nowakowski The quantum mechanical current of the Pauli equation In aapt scitation org 1999 abgerufen am 15 April 2023 Marek Nowakowski The Quantum Mechanical Current of the Pauli Equation American Journal of Physics 67 916 1999 Artikel auf arxiv orgWeblinks BearbeitenElektroniummodell Beschreibung von Atomen mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsstromdichte Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Wahrscheinlichkeitsstromdichte amp oldid 232858129