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Ideales Fermigas Als Fermigas nach Enrico Fermi der es 1926 erstmals vorstellte 1 bezeichnet man in der Quantenphysik ei

Ideales Fermigas

Als Fermigas (nach Enrico Fermi, der es 1926 erstmals vorstellte) bezeichnet man in der Quantenphysik ein System identischer Teilchen vom Typ Fermion, die in großer Anzahl vorliegen, so dass man sich zur Beschreibung auf statistische Aussagen (beispielsweise zu Temperatur, Druck, Teilchendichte) beschränkt. Anders als bei der Behandlung der Gase in der klassischen Physik wird beim Fermigas das quantentheoretische Ausschließungsprinzip berücksichtigt.

Das ideale Fermigas ist die einfachste Modellvorstellung hierzu, in der man die Wechselwirkung der Teilchen untereinander völlig vernachlässigt. Dies ist analog zum Modell des idealen Gases in der klassischen Physik und stellt eine starke Vereinfachung dar. Sie führt aber mithilfe einfacher Formeln in vielen praktisch wichtigen Fällen zu korrekten Voraussagen von klassisch nicht verständlichen Eigenschaften. Beispiele sind

Grundzustand (verschwindende Temperatur) Bearbeiten

Da wegen des Ausschließungsprinzips nur wenige Teilchen das (Einteilchen-)Niveau mit der tiefstmöglichen Energie (als gesetzt) besetzen können, müssen im energetisch tiefstmöglichen Zustand des ganzen Gases die meisten der Teilchen höhere Niveaus besetzen. Die Energie des höchsten besetzten Niveaus wird als Fermi-Energie bezeichnet. Sie hängt ab von der Teilchendichte (Anzahl pro Volumen):

Darin ist

Die Formel gilt für Teilchen mit Spin wie z. B. Elektronen und wird in der Quantenstatistik begründet.

Bei einer räumlichen Dichte von 1022 Teilchen pro cm3 (etwa wie Leitungselektronen im Metall) ergibt sich die Fermienergie zu einigen Elektronenvolt. Das liegt in derselben Größenordnung wie die Energie atomarer Anregungen und wirkt sich deutlich auf das makroskopische Verhalten des Gases aus. Man spricht dann von einem entarteten Fermigas. Die Fermienergie bildet sein hervorstechendes Charakteristikum, das weitreichende Konsequenzen für die physikalischen Eigenschaften der (kondensierten) Materie hat.

Nur in extrem verdünntem Fermigas ist die Fermienergie zu vernachlässigen. Es verhält sich dann „nicht entartet“, d. h. wie ein normales (klassisches) verdünntes Gas.

Vereinfachte Herleitung Bearbeiten

Wenn ein Gas aus Teilchen in einem räumlichen Volumen (mit potenzieller Energie Null) den Grundzustand einnimmt, dann werden von unten an so viel Zustände mit verschiedener kinetischer Energie besetzt, bis alle Teilchen untergebracht sind. Die höchste so erreichte Energie ist , worin als Fermi-Impuls bezeichnet wird. Im dreidimensionalen Impulsraum kommen dann alle Teilchenimpulse zwischen und vor, und zwar in allen Richtungen. Sie bilden eine Kugel mit Radius und Volumen bzw. Fermi-Kugel mit Radius und Volumen . Wären die Teilchen Massenpunkte, würden sie in ihrem 6-dimensionalen Phasenraum das Volumen füllen. Für Teilchen mit Spin ist mit der Spin-Multiplizität zu multiplizieren. Da jeder (linear unabhängige) Zustand im Phasenraum eine Zelle von der Größe beansprucht, ergeben sich verschiedene Zustände, die je eins der Teilchen aufnehmen können (Besetzungszahl 1):

Durch Umrechnen auf und Einsetzen von folgt die oben genannte Formel.

Angeregter Zustand (endliche Temperatur) Bearbeiten

Im Grundzustand hat ein ideales Fermigas die Temperatur T= 0 K. Wird ihm Energie zugeführt, müssen Teilchen aus Niveaus unterhalb der Fermi-Energie in Niveaus oberhalb übergehen. Im thermischen Gleichgewicht bildet sich für die Zustände ein Verlauf der Wahrscheinlichkeit der Besetzung heraus, der stetig von Eins auf Null abfällt. Dieser Verlauf, der große Bedeutung in verschiedenen physikalischen Gebieten hat, heißt Fermi-Verteilung oder Fermi-Dirac-Verteilung. Die Wahrscheinlichkeit, auch als mittlere Besetzungszahl bezeichnet, eines Zustands mit der Energie ist:

Hierbei ist

Die Fermi-Verteilung kann im Rahmen der statistischen Physik mit Hilfe der großkanonischen Gesamtheit hergeleitet werden.

Vereinfachte Herleitung Bearbeiten

Eine einfache Herleitung unter Rückgriff auf die klassische Boltzmann-Statistik, das Prinzip des detaillierten Gleichgewichts und des Ausschließungsprinzips folgt hier:

Betrachten wir den Gleichgewichtszustand eines Fermigases bei Temperatur T im thermischen Kontakt mit einem klassischen Gas. Ein Fermion mit Energie kann dann von einem Teilchen des klassischen Systems Energie aufnehmen und in einen Zustand mit Energie übergehen. Wegen der Energieerhaltung ändert das klassische Teilchen seinen Zustand im umgekehrten Sinn von zu , wobei . Die Besetzungszahlen sind bzw. für die beiden Zustände des Fermions, bzw. für die beiden Zustände des klassischen Teilchens. Damit diese Prozesse die Gleichgewichtsverteilung nicht ändern, müssen sie vorwärts und rückwärts mit insgesamt gleicher Häufigkeit auftreten. Die Häufigkeit (oder gesamte Übergangsrate) bestimmt sich aus dem Produkt der Übergangswahrscheinlichkeit , wie sie für einzelne Teilchen gilt, wenn keine anderen Teilchen da wären, mit statistischen Faktoren, die die Anwesenheit der anderen Teilchen berücksichtigen:

In Worten: Die Gesamtzahl der Übergänge eines Fermions von nach (linke Seite der Gleichung) ist proportional zur Anzahl von Fermionen im Zustand 1, zur Anzahl der Reaktionspartnerteilchen im Zustand 2', und – damit das Ausschließungsprinzip berücksichtigt wird – zur Anzahl der freien Plätze für das Fermion im Zustand 2. Analog für die Rückreaktion (rechte Seite der Gleichung). Da nach dem Prinzip des detaillierten Gleichgewichts für Hin- und Rücksprung den gleichen Wert hat (), sind auch die statistischen Faktoren für sich gleich. Nun gilt für die klassischen Teilchen der Boltzmannfaktor

Durch Einsetzen dieser Beziehung und Verwenden der oben genannten Gleichung folgt:

Diese Größe hat demnach für beide Zustände des Fermions denselben Wert. Da die Wahl dieser Zustände frei war, gilt diese Gleichheit für alle möglichen Zustände, stellt also eine für alle Einteilchenzustände im ganzen Fermigas konstante Größe dar, die wir mit parametrisieren:

Aufgelöst nach n folgt:

Der Parameter dieser Herleitung erweist sich somit als das Fermi-Niveau.

Siehe auch Bearbeiten

Quellen Bearbeiten

  1. Enrico Fermi: Zur Quantelung des einatomigen idealen Gases, Zeitschrift für Physik Bd. 36, 1926, S. 902–912 DOI: 10.1007/BF01400221.
  2. Robert Eisberg; Robert Resnick: Quantum physics of atoms, molecules, solids, nuclei and particles, Verlag Wiley, 1974 (NY), ISBN 0-471-23464-8.
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Veröffentlichungsdatum:
Als Fermigas nach Enrico Fermi der es 1926 erstmals vorstellte 1 bezeichnet man in der Quantenphysik ein System identischer Teilchen vom Typ Fermion die in grosser Anzahl vorliegen so dass man sich zur Beschreibung auf statistische Aussagen beispielsweise zu Temperatur Druck Teilchendichte beschrankt Anders als bei der Behandlung der Gase in der klassischen Physik wird beim Fermigas das quantentheoretische Ausschliessungsprinzip berucksichtigt Das ideale Fermigas ist die einfachste Modellvorstellung hierzu in der man die Wechselwirkung der Teilchen untereinander vollig vernachlassigt Dies ist analog zum Modell des idealen Gases in der klassischen Physik und stellt eine starke Vereinfachung dar Sie fuhrt aber mithilfe einfacher Formeln in vielen praktisch wichtigen Fallen zu korrekten Voraussagen von klassisch nicht verstandlichen Eigenschaften Beispiele sind das Elektronengas das in metallischen Festkorpern und Halbleitern fur die elektrische Leitfahigkeit sorgt Protonen und Neutronen im Atomkern Neutronen in Neutronensternen flussiges Helium 3 Inhaltsverzeichnis 1 Grundzustand verschwindende Temperatur 1 1 Vereinfachte Herleitung 2 Angeregter Zustand endliche Temperatur 2 1 Vereinfachte Herleitung 3 Siehe auch 4 QuellenGrundzustand verschwindende Temperatur BearbeitenDa wegen des Ausschliessungsprinzips nur wenige Teilchen das Einteilchen Niveau mit der tiefstmoglichen Energie als E 0 displaystyle E 0 nbsp gesetzt besetzen konnen mussen im energetisch tiefstmoglichen Zustand des ganzen Gases die meisten der Teilchen hohere Niveaus besetzen Die Energie des hochsten besetzten Niveaus wird als Fermi Energie E F displaystyle E mathrm F nbsp bezeichnet Sie hangt ab von der Teilchendichte n N V displaystyle n N V nbsp Anzahl pro Volumen E F ℏ 2 2 m 3 p 2 n 2 3 n 2 3 m h 2 0 121 215 345 displaystyle E mathrm F frac hbar 2 2m 3 pi 2 n frac 2 3 approx frac n frac 2 3 m h 2 cdot 0 121 215 345 nbsp Darin ist ℏ displaystyle hbar nbsp die reduzierte durch 2 p displaystyle 2 pi nbsp geteilte Planck Konstante m displaystyle m nbsp die Teilchenmasse Die Formel gilt fur Teilchen mit Spin 1 2 displaystyle tfrac 1 2 nbsp wie z B Elektronen und wird in der Quantenstatistik begrundet Bei einer raumlichen Dichte von 1022 Teilchen pro cm3 etwa wie Leitungselektronen im Metall ergibt sich die Fermienergie zu einigen Elektronenvolt Das liegt in derselben Grossenordnung wie die Energie atomarer Anregungen und wirkt sich deutlich auf das makroskopische Verhalten des Gases aus Man spricht dann von einem entarteten Fermigas Die Fermienergie bildet sein hervorstechendes Charakteristikum das weitreichende Konsequenzen fur die physikalischen Eigenschaften der kondensierten Materie hat Nur in extrem verdunntem Fermigas ist die Fermienergie zu vernachlassigen Es verhalt sich dann nicht entartet d h wie ein normales klassisches verdunntes Gas Vereinfachte Herleitung Bearbeiten Wenn ein Gas aus N displaystyle N nbsp Teilchen in einem raumlichen Volumen V displaystyle V nbsp mit potenzieller Energie Null den Grundzustand einnimmt dann werden von unten an so viel Zustande mit verschiedener kinetischer Energie E k i n p 2 2 m 0 displaystyle E mathrm kin mathord tfrac p 2 2m geq 0 nbsp besetzt bis alle Teilchen untergebracht sind Die hochste so erreichte Energie ist E F p F 2 2 m displaystyle E mathrm F mathord tfrac p mathrm F 2 2m nbsp worin p F displaystyle p mathrm F nbsp als Fermi Impuls bezeichnet wird Im dreidimensionalen Impulsraum kommen dann alle Teilchenimpulse zwischen p 0 displaystyle p mathord 0 nbsp und p p F displaystyle p mathord p mathrm F nbsp vor und zwar in allen Richtungen Sie bilden eine Kugel mit Radius p F displaystyle p mathrm F nbsp und Volumen V p 4 p 3 p F 3 displaystyle V p mathord tfrac 4 pi 3 p mathrm F 3 nbsp bzw Fermi Kugel mit Radius k F p F ℏ displaystyle k mathrm F frac p mathrm F hbar nbsp und Volumen V F 4 p 3 k F 3 displaystyle V mathrm F mathord tfrac 4 pi 3 k mathrm F 3 nbsp Waren die Teilchen Massenpunkte wurden sie in ihrem 6 dimensionalen Phasenraum das Volumen W V V p displaystyle Omega V cdot V p nbsp fullen Fur Teilchen mit Spin s displaystyle s nbsp ist mit der Spin Multiplizitat 2 s 1 displaystyle mathord 2s 1 nbsp zu multiplizieren Da jeder linear unabhangige Zustand im Phasenraum eine Zelle von der Grosse 2 p ℏ 3 displaystyle 2 pi hbar 3 nbsp beansprucht ergeben sich 2 s 1 W 2 p ℏ 3 displaystyle 2s 1 Omega 2 pi hbar 3 nbsp verschiedene Zustande die je eins der N displaystyle N nbsp Teilchen aufnehmen konnen Besetzungszahl 1 N 2 s 1 W 2 p ℏ 3 2 s 1 V V p 2 p ℏ 3 2 s 1 V 2 p ℏ 3 4 p 3 p F 3 displaystyle N frac 2s 1 Omega 2 pi hbar 3 frac 2s 1 V cdot V p 2 pi hbar 3 frac 2s 1 V 2 pi hbar 3 frac 4 pi 3 p mathrm F 3 nbsp Durch Umrechnen auf E F p F 2 2 m displaystyle E mathrm F mathord tfrac p mathrm F 2 2m nbsp und Einsetzen von s 1 2 displaystyle s tfrac 1 2 nbsp folgt die oben genannte Formel Angeregter Zustand endliche Temperatur BearbeitenIm Grundzustand hat ein ideales Fermigas die Temperatur T 0 K Wird ihm Energie zugefuhrt mussen Teilchen aus Niveaus unterhalb der Fermi Energie in Niveaus oberhalb ubergehen Im thermischen Gleichgewicht bildet sich fur die Zustande ein Verlauf der Wahrscheinlichkeit der Besetzung heraus der stetig von Eins auf Null abfallt Dieser Verlauf der grosse Bedeutung in verschiedenen physikalischen Gebieten hat heisst Fermi Verteilung oder Fermi Dirac Verteilung Die Wahrscheinlichkeit auch als mittlere Besetzungszahl bezeichnet eines Zustands i displaystyle i rangle nbsp mit der Energie E i displaystyle E i nbsp ist n i 1 e E i m k B T 1 displaystyle langle n i rangle frac 1 mathrm e frac E i mu k mathrm B T 1 nbsp Hierbei ist m displaystyle mu nbsp das Fermi Niveau oder chemische Potential T displaystyle T nbsp die Temperatur und k B displaystyle k mathrm B nbsp die Boltzmann Konstante Die Fermi Verteilung kann im Rahmen der statistischen Physik mit Hilfe der grosskanonischen Gesamtheit hergeleitet werden Vereinfachte Herleitung Bearbeiten Eine einfache Herleitung unter Ruckgriff auf die klassische Boltzmann Statistik das Prinzip des detaillierten Gleichgewichts und des Ausschliessungsprinzips folgt hier 2 Betrachten wir den Gleichgewichtszustand eines Fermigases bei Temperatur T im thermischen Kontakt mit einem klassischen Gas Ein Fermion mit Energie E 1 displaystyle E 1 nbsp kann dann von einem Teilchen des klassischen Systems Energie aufnehmen und in einen Zustand mit Energie E 2 displaystyle E 2 nbsp ubergehen Wegen der Energieerhaltung andert das klassische Teilchen seinen Zustand im umgekehrten Sinn von E 2 displaystyle E 2 nbsp zu E 1 displaystyle E 1 nbsp wobei E 2 E 1 E 2 E 1 displaystyle E 2 E 1 E 2 E 1 nbsp Die Besetzungszahlen sind n 1 displaystyle n 1 nbsp bzw n 2 displaystyle n 2 nbsp fur die beiden Zustande des Fermions n 1 displaystyle n 1 nbsp bzw n 2 displaystyle n 2 nbsp fur die beiden Zustande des klassischen Teilchens Damit diese Prozesse die Gleichgewichtsverteilung nicht andern mussen sie vorwarts und ruckwarts mit insgesamt gleicher Haufigkeit auftreten Die Haufigkeit oder gesamte Ubergangsrate bestimmt sich aus dem Produkt der Ubergangswahrscheinlichkeit W displaystyle W nbsp wie sie fur einzelne Teilchen gilt wenn keine anderen Teilchen da waren mit statistischen Faktoren die die Anwesenheit der anderen Teilchen berucksichtigen n 1 n 2 1 n 2 W 1 2 n 2 n 1 1 n 1 W 2 1 displaystyle n 1 cdot n 2 cdot 1 n 2 cdot W 1 rightarrow 2 n 2 cdot n 1 cdot 1 n 1 cdot W 2 rightarrow 1 nbsp In Worten Die Gesamtzahl der Ubergange eines Fermions von E 1 displaystyle E 1 nbsp nach E 2 displaystyle E 2 nbsp linke Seite der Gleichung ist proportional zur Anzahl von Fermionen im Zustand 1 zur Anzahl der Reaktionspartnerteilchen im Zustand 2 und damit das Ausschliessungsprinzip berucksichtigt wird zur Anzahl der freien Platze fur das Fermion im Zustand 2 Analog fur die Ruckreaktion rechte Seite der Gleichung Da nach dem Prinzip des detaillierten Gleichgewichts W displaystyle W nbsp fur Hin und Rucksprung den gleichen Wert hat W 2 1 W 1 2 displaystyle W 2 rightarrow 1 mathord W 1 rightarrow 2 nbsp sind auch die statistischen Faktoren fur sich gleich Nun gilt fur die klassischen Teilchen der Boltzmannfaktor n 2 n 1 e E 2 E 1 k B T displaystyle frac n 2 n 1 mathrm e tfrac E 2 E 1 k mathrm B T nbsp Durch Einsetzen dieser Beziehung und Verwenden der oben genannten Gleichung E 2 E 1 E 2 E 1 displaystyle E 2 E 1 E 2 E 1 nbsp folgt n 1 1 n 1 e E 1 k B T n 2 1 n 2 e E 2 k B T displaystyle frac n 1 1 n 1 mathrm e tfrac E 1 k mathrm B T frac n 2 1 n 2 mathrm e tfrac E 2 k mathrm B T nbsp Diese Grosse hat demnach fur beide Zustande des Fermions denselben Wert Da die Wahl dieser Zustande frei war gilt diese Gleichheit fur alle moglichen Zustande stellt also eine fur alle Einteilchenzustande im ganzen Fermigas konstante Grosse dar die wir mit e m k B T displaystyle mathrm e tfrac mu k mathrm B T nbsp parametrisieren n 1 n e E k B T e m k B T displaystyle frac n 1 n mathrm e tfrac E k mathrm B T mathrm e tfrac mu k mathrm B T nbsp Aufgelost nach n folgt n 1 e E m k B T 1 displaystyle n frac 1 mathrm e tfrac E mu k mathrm B T 1 nbsp Der Parameter m displaystyle mu nbsp dieser Herleitung erweist sich somit als das Fermi Niveau Siehe auch BearbeitenFermionen Kondensat Ideales Bosegas Sommerfeld Theorie der MetalleQuellen Bearbeiten Enrico Fermi Zur Quantelung des einatomigen idealen Gases Zeitschrift fur Physik Bd 36 1926 S 902 912 DOI 10 1007 BF01400221 Robert Eisberg Robert Resnick Quantum physics of atoms molecules solids nuclei and particles Verlag Wiley 1974 NY ISBN 0 471 23464 8 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ideales Fermigas amp oldid 236257758