www.wikidata.de-de.nina.az

Detailed Balance Der Begriff detailliertes Gleichgewicht bezeichnet eine Eigenschaft von homogenen Markow Ketten einem s

Detailed Balance

Der Begriff Detailed Balance (detailliertes Gleichgewicht) bezeichnet eine Eigenschaft von homogenen Markow-Ketten, einem speziellen stochastischen Prozess. Anschaulich ist ein Prozess im detaillierten Gleichgewicht, wenn nicht erkennbar ist, ob er sich zeitlich vorwärts oder rückwärts bewegt.

Definition Bearbeiten

Eine Markow-Kette mit möglichen Zuständen und einer Übergangsmatrix , wobei die Wahrscheinlichkeit für einen Übergang von Zustand zum Zustand bezeichnet (also die Übergangswahrscheinlichkeit), heißt reversibel bezüglich der Verteilung , wenn

für alle gilt. Eine Markow-Kette heißt reversibel, wenn sie eine Verteilung besitzt, bezüglich derer sie reversibel ist.

Die obige Gleichung ist die Bedingung des detaillierten Gleichgewichts. Ist sie erfüllt, so ist das System, das durch den Markow-Prozess beschrieben wird, im detaillierten Gleichgewicht oder der detaillierten Balance.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Der Metropolisalgorithmus ist ein Beispiel für einen stochastischen Prozess, der die Eigenschaft der Detailed Balance erfüllt. Er wird in Monte-Carlo-Simulationen dazu genutzt, Zustände eines Systems aus vorhergehenden Zuständen gemäß einer Übergangswahrscheinlichkeit zu erzeugen.
  • Für stationäre Markow-Ketten mit Übergangsmatrix (also insbesondere für diejenigen Ketten, die in einer stationären Verteilung starten) ist diese Eigenschaft äquivalent zur zeitlichen Reversibilität, das heißt, für den zeitumgekehrten Prozess gilt für alle
  • Jede Verteilung, welche die Detailed-Balance-Bedingung erfüllt, ist eine stationäre Verteilung. Das folgt direkt aus der Mastergleichung .

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • G. Bhanot, The Metropolis algorithm, Rep. Prog. Phys. 51 (1988) 429
  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8
  • Hans-Otto Georgii: Stochastik: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 5. Auflage, de Gruyter 2015
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Der Begriff Detailed Balance detailliertes Gleichgewicht bezeichnet eine Eigenschaft von homogenen Markow Ketten einem speziellen stochastischen Prozess Anschaulich ist ein Prozess im detaillierten Gleichgewicht wenn nicht erkennbar ist ob er sich zeitlich vorwarts oder ruckwarts bewegt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Siehe auch 4 LiteraturDefinition BearbeitenEine Markow Kette mit moglichen Zustanden X z z Z displaystyle X z z in mathbb Z nbsp und einer Ubergangsmatrix w i j displaystyle w ij nbsp wobei w i j displaystyle w ij nbsp die Wahrscheinlichkeit fur einen Ubergang von Zustand X i displaystyle X i nbsp zum Zustand X j displaystyle X j nbsp bezeichnet also die Ubergangswahrscheinlichkeit heisst reversibel bezuglich der Verteilung P displaystyle P nbsp wenn P X i w i j P X j w j i displaystyle P X i w ij P X j w ji nbsp fur alle i j displaystyle i j nbsp gilt Eine Markow Kette heisst reversibel wenn sie eine Verteilung besitzt bezuglich derer sie reversibel ist Die obige Gleichung ist die Bedingung des detaillierten Gleichgewichts Ist sie erfullt so ist das System das durch den Markow Prozess beschrieben wird im detaillierten Gleichgewicht oder der detaillierten Balance Eigenschaften BearbeitenDer Metropolisalgorithmus ist ein Beispiel fur einen stochastischen Prozess der die Eigenschaft der Detailed Balance erfullt Er wird in Monte Carlo Simulationen dazu genutzt Zustande eines Systems aus vorhergehenden Zustanden gemass einer Ubergangswahrscheinlichkeit zu erzeugen Fur stationare Markow Ketten X z z Z displaystyle X z z in mathbb Z nbsp mit Ubergangsmatrix w i j displaystyle w ij nbsp also insbesondere fur diejenigen Ketten die in einer stationaren Verteilung starten ist diese Eigenschaft aquivalent zur zeitlichen Reversibilitat das heisst fur den zeitumgekehrten Prozess X z X z displaystyle tilde X z X z nbsp gilt fur alle t 1 t n Z displaystyle t 1 dots t n in mathbb Z nbsp X t 1 X t n X t 1 X t n displaystyle X t 1 dots X t n sim X t 1 dots X t n nbsp das heisst X t 1 displaystyle X t 1 ldots nbsp sind verteilt wie X t 1 displaystyle X t 1 ldots nbsp Fur jede Realisierung ist also gleichgultig in welcher Richtung sie durchlaufen wird Jede Verteilung welche die Detailed Balance Bedingung erfullt ist eine stationare Verteilung Das folgt direkt aus der Mastergleichung d P k d t ℓ k w k ℓ P ℓ w ℓ k P k 0 displaystyle frac mathrm d P k mathrm d t sum ell neq k w k ell P ell w ell k P k 0 nbsp Die Konvergenz einer beliebigen Verteilung gegen die stationare Verteilung ist daraus aber nicht gegeben Ein hinreichendes Kriterium dafur liefert zum Beispiel der Ergodensatz Siehe auch BearbeitenGibbs SamplingLiteratur BearbeitenG Bhanot The Metropolis algorithm Rep Prog Phys 51 1988 429 Achim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 2 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2008 ISBN 978 3 540 76317 8 Hans Otto Georgii Stochastik Einfuhrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik 5 Auflage de Gruyter 2015 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Detailed Balance amp oldid 229685239