Monte-Carlo-Simulation

Monte-Carlo-Simulation (auch MC-Simulation oder Monte-Carlo-Studie) ist ein Verfahren aus der Stochastik bzw. Wahrscheinlichkeitstheorie, bei dem wiederholt Zufallsstichproben einer Verteilung mithilfe von Zufallsexperimenten gezogen werden.

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Die Kreiszahl Pi wird mit der Monte-Carlo-Methode angenähert bestimmt durch das Vierfache der Wahrscheinlichkeit, mit der ein innerhalb des Quadrats zufällig gewählter Punkt in den Kreisabschnitt fällt. Aufgrund des Gesetzes der großen Zahlen sinkt mit steigender Anzahl von Experimenten die Varianz des Ergebnisses.

Ziel ist es, analytisch nicht oder nur aufwendig lösbare Probleme mithilfe der gezogenen Stichproben numerisch zu lösen. Als Grundlage ist vor allem das Gesetz der großen Zahlen zu sehen. Die Zufallsexperimente können entweder – etwa durch Würfeln – real durchgeführt werden oder in Computerberechnungen mittels Monte-Carlo-Algorithmen. Bei Monte-Carlo-Algorithmen werden zur Simulation von zufälligen Ereignissen Zufallszahlen oder auch Pseudozufallszahlen benutzt.

Geschichte

Das 1733 von Georges-Louis Leclerc de Buffon vor der Pariser Akademie der Wissenschaften vorgestellte Nadelproblem, das mit Hilfe des Zufalls die näherungsweise Bestimmung der Kreiszahl Pi ermöglicht, war eine der ersten Anwendungen einer „Monte-Carlo-Simulation“.

In den 1930er Jahren hatte der Physiker Enrico Fermi die ersten Ideen zu „Monte-Carlo-Simulationen“ mittels elektronischer Rechenmaschinen. Als Vorgänger und „Rechner“ galt bis dahin der mechanische Analogrechner FERMIAC. Dies geschah zur Zeit des Zweiten Weltkriegs während der Arbeiten als Teil des Manhattan-Projekts, am Los Alamos Scientific Laboratory. Es ging im Rahmen der Entwicklung der amerikanischen Atombombe, nebst anderen technischen Fragestellungen und Probleme, um den Neutronentransport in nuklearen Materialien. Dabei musste in den Anfängen auch die mathematische Methode der Simulation geheim gehalten werden.

Weitere Beiträge lieferten die u. g. Personen, darunter Ulam und von Neumann. Beide beschäftigten sich mit den ersten elektronischen (noch nicht digitalen im heutigen Verständnis, also ohne Halbleitertechnologie und noch Röhren-basierten) Rechenmaschinen, darunter der ENIAC und das Nachfolgermodell der MANIAC I.

Nach der Anfangsphase der Erforschung gilt als grundlegende Veröffentlichung die Arbeit Equation of State Calculations by Fast Computing Machines von Nicholas Metropolis, Marshall N. Rosenbluth und dessen Ehefrau Arianna W. Rosenbluth, Edward Teller und dessen Ehefrau Augusta H. Teller, veröffentlicht 1953 im Journal of Chemical Physics.

Ziel war die Berechnung der Zustandsgleichung eines zweidimensionalen Systems starrer Kugeln als Modelle einer Flüssigkeit. Simuliert wurde mit 224 Teilchen und periodischen Randbedingungen. Jede Simulation bestand aus bis zu 48 Zyklen, in denen jeweils jedes Teilchen einen Bewegungsschritt ausführte. Ein Zyklus benötigte drei Minuten auf dem MANIAC I. Verwendet wurde eine Sampling-Methode mit Wichtung über den Boltzmannfaktor, das Herzstück des MC-Verfahrens im Metropolis-Algorithmus, wobei die Idee nach Marshall Rosenbluth von Teller gekommen sein soll. Nach Rosenbluth leisteten er und seine Frau die Hauptarbeit für den Artikel (Metropolis hätte hauptsächlich Computerzeit zur Verfügung gestellt) und sie waren die einzigen der Autoren, die das Verfahren in anschließenden Publikationen weiterverfolgten, sie wandten sich aber selbst ebenfalls bald darauf anderen Forschungsthemen (Plasmaphysik) zu.

Name der Methode

Der Name Monte-Carlo wurde von Nicholas Metropolis geprägt und hängt wie folgt mit der Methode zusammen: Stan Ulam hatte einen Onkel, der sich zum Spielen immer Geld von Verwandten geliehen hatte, denn „er musste nach Monte Carlo gehen“. Dies ist natürlich eine Anspielung auf die Spielbank Monte-Carlo im gleichnamigen Stadtteil des Stadtstaates Monaco.

Mathematik

Mathematisch ist das System ein wahrscheinlichkeitsgewichteter Weg im Phasenraum (allgemein Zustandsraum). Monte-Carlo-Simulationen sind besonders geeignet, um statistische Mittelwerte einer Größe ,

oder hochdimensionale Integrale (Monte-Carlo-Integration) wie

zu berechnen. soll in diesem Zusammenhang ein normiertes statistisches Gewicht (etwa ein Boltzmanngewicht) sein. ist der Wert der Größe im Zustand . Die Summation bzw. Integration verläuft hier über einen Raum , also der Phasenraum der Teilchen im System.

Häufig ist der Raum so groß, dass die Summation nicht vollständig durchgeführt werden kann. Stattdessen erzeugt man nun eine Markow-Kette von Zuständen in , deren Häufigkeit wie das vorgegebene Gewicht verteilt ist. Bereiche des Raumes mit hohem Gewicht sollen also häufiger in der Markow-Kette vertreten sein als Bereiche mit niedrigem Gewicht. Man spricht hier von Importance Sampling. Gelingt dies, so lassen sich die Erwartungswerte einfach als arithmetisches Mittel der Größe zu diesen Zuständen der Markow-Kette berechnen, also als

Dieser Zusammenhang basiert auf dem Gesetz der großen Zahlen. Je nach physikalischem System kann es schwierig sein, diese Markow-Kette zu erzeugen. Insbesondere ist sicherzustellen, dass die Markow-Kette tatsächlich den gesamten Raum bedeckt und nicht nur einen Teil des Raumes abtastet. Man sagt: der Algorithmus muss ergodisch sein.

Quasi-Monte-Carlo-Simulationen verwenden keine Pseudozufallszahlen, sondern eine Sequenz mit geringer Diskrepanz (zum Beispiel eine Sobol-Sequenz).

Konvergenz

Die Konvergenz von Monte-Carlo Simulationen kann mit der Gelman-Rubin-Statistik bewertet werden.

Anwendungen

Mit der Monte-Carlo-Methode können Probleme mit statistischem Verhalten simuliert werden. Diese Methode hat deshalb besonders in der Physik wichtige Anwendungen gefunden.

Heutige Supercomputer (HPC) basieren auf massivem Multiprocessing mit vielen tausend Einzelprozessoren, die parallel arbeiten. Diese Gegebenheiten lassen sich besonders gut mit solchen probabilistischen Lösungsverfahren ausnutzen.

Anwendungen der Monte-Carlo-Simulation sind beispielsweise folgende.

Berechnung von Integralen

• Bestimmung von (höherdimensionalen) Integralen, siehe Beispiel

Resampling

→ Hauptartikel: Resampling

Untersuchung der Verteilungseigenschaften von Zufallsvariablen unbekannten Verteilungstyps,

• Beispiel: die Ermittlung der nichtzentralen Verteilung des Korrelationskoeffizienten. Mit Hilfe von Zufallszahlen wird die Realisierung beliebig vieler Korrelationskoeffizienten simuliert. Eine Zusammenfassung der Koeffizienten in eine Häufigkeitstabelle ergibt eine empirische Verteilungsfunktion oder ein Histogramm.
• die Eigenschaften von Schätzfunktionen bei Vorliegen von Ausreißern in Daten. Mit Hilfe der Simulation kann gezeigt werden, dass das arithmetische Mittel nicht mehr ein bester Schätzer für den Erwartungswert ist.
• die Schätzung von Verteilungsparametern.

Nachbildung von komplexen Prozessen

• Produktionsprozesse in einem Fertigungsunternehmen, um Engpässe und Opportunitäten in der Produktion aufzudecken
• Klimamodelle
• Rekonstruktionsverfahren in der Nuklearmedizin.
• Risikoaggregation zur Bestimmung des Gesamtrisikoumfangs eines Unternehmens im Risikomanagement
• Ableitung von Bewertungen in der Wertermittlung, z. B. bei der Unternehmensbewertung oder Immobilienwirtschaft. Bepreisung komplexer Finanzkontrakte wie „exotische“ Optionen, bei denen keine analytische Formel für die Bewertung eines Finanzproduktes bekannt ist.
• räumliche Verteilung des energieabhängigen Neutronenflusses in einem heterogenen Medium, etwa im Blanket eines Kernfusionsreaktors.
• Supercomputer und MC Methoden werden u. a. für die Simulation der alternden Nuklearwaffen (siehe auch Stockpile stewardship) der USA benutzt.
• Wege eines einzelnen Regentropfens simulieren, der mit zufällig verteilten anderen Tropfen kollidiert. Nach der Simulation mehrerer konkreter Tropfen sind Aussagen über die durchschnittliche Tropfengröße möglich oder auch zu Temperatur und Tröpfchendichte, bei denen Schnee oder Hagel entstehen.
• Verteilung der Kugeln auf die Fächer beim Galtonbrett.

Bayessche Statistik

→ Hauptartikel: Bayessche Statistik

Durch Monte-Carlo-Simulationen können komplizierte Bayessche Modelle auf Daten angepasst werden (wie z. B. in Approximate Bayesian Computation) und mithilfe der Posterior predictive distribution zur Vorhersage benutzt werden.

Beispiele

Illustration zur Monte-Carlo-Bestimmung von Pi.

Probabilistische Bestimmung der Zahl Pi

Man wählt hierzu zufällige Punkte aus und überprüft (durch Anwendung des Satzes von Pythagoras), ob diese innerhalb des Einheitskreises liegen:

Über das Verhältnis der Anzahl der Punkte innerhalb und außerhalb des Kreises kann dann folgendermaßen bestimmt werden:

Siehe auch: Kreiszahl

Numerische Integration

Siehe auch: Numerische Integration

Numerische Integration mit Monte Carlo: Die Stützstellen werden zufällig gleichverteilt auf dem Integrationsintervall gewählt. Neue Stützstellen sind dunkelblau, die alten hellblau eingezeichnet. Der Wert des Integrals nähert sich 3,32 an.

Das obige Beispiel zur Bestimmung von Pi bildet praktisch das Flächenintegral einer Viertelkreisfläche. Entsprechend kann man das Flächenintegral allgemeiner, auch höherdimensionaler Funktionen nach dieser Methode berechnen. Soll das Integral

einer Funktion berechnet werden, dann wählt man unabhängige im Intervall gleichverteilte Punkte und approximiert durch

Im allgemeineren Fall von höherdimensionalen Funktionen ist das Vorgehen ähnlich. Sei eine beliebige -dimensionale Menge und eine integrierbare Funktion. Um den Wert

näherungsweise zu berechnen, wählt man zufällig in der Menge gleichverteilte Punkte für . Dann approximiert

den Wert in Abhängigkeit von beliebig genau. Um wie oben vorgestellt Pi zu berechnen, muss man und als charakteristische Funktion des Einheitskreises wählen. Hier ist gerade die Fläche des Einheitskreises.

In der Praxis werden Monte-Carlo-Verfahren vor allem für die Berechnung hochdimensionaler Integrale verwendet. Hier sind klassische Integrationsalgorithmen stark vom Fluch der Dimensionalität betroffen und nicht mehr anwendbar. Allerdings sind speziell hochdimensionale Integranden meist stark lokalisiert. In diesen Fällen erlauben insbesondere MCMC-Verfahren (siehe dort) die Erzeugung von Stichproben mit einer Verteilung die eine effiziente Berechnung solcher hochdimensionaler Integrale erlaubt.

Miller-Rabin-Primzahltest

Ein Beispiel für eine Monte-Carlo-Simulation ist der Miller-Rabin-Test, bei dem probabilistisch bestimmt wird, ob eine natürliche Zahl prim ist oder nicht. Die Ausgabe des Tests lautet entweder „sicher zusammengesetzt“ oder „wahrscheinlich prim“. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zusammengesetzte Zahl als „wahrscheinlich prim“ klassifiziert wird, liegt pro Durchgang unter 25 % und kann durch mehrfache Ausführung weiter gesenkt werden. Der Miller-Rabin-Test liefert keine Aussage über die Faktoren einer zusammengesetzten Zahl, ist also kein Faktorisierungsverfahren.

Codes und Simulatoren (Auswahl)

Hinweis. Die Liste ist als unvollständig zu betrachten, bietet aber einige bekannte Beispiel an MCS. Es existieren ebenfalls kommerzielle Codes, oder Codes die für spezielle Prozesse entwickelt wurden, usw.

• Geant4, kurz für Geometry and Tracking, ein vom CERN entwickeltes und veröffentlichtes Simulationsprogramm.
• MCNP, kurz für Monte-Carlo N-Particle Transport Code, ist eine seit 1957 vom LANL entwickeltes reaktorphysikalisches Simulationsprogramm, das in der Kerntechnik und Kernfusionstechnik häufig angewendet wird.
• OpenMC, ein Community-Projekt mit der Anwendung der MC-Methode auf Neutronen und Photonen-Transport.
• PYTHIA ist ein Simulationsprogramm für die Teilchenphysik und simuliert Kollisionen und dabei entstehende Teilchen.
• Serpent, MC-Simulationsprogramm des VTT Technical Research Centre, Finnland

• SPICE ist ein Simulationsprogramm für analoge, digitale und gemischte elektronische Schaltungen. Mittels einer Monte-Carlo-Simulation bzw. Analyse ist es möglich, die Auswirkungen der Streuung der Bauteilewerte innerhalb der angegebenen Toleranz zu berechnen.

Siehe auch

• Binder-Kumulante

Literatur

Siehe auch: Monte-Carlo-Algorithmus und MCMC-Verfahren

Fachartikel

• Dirk P. Kroese, Tim Brereton, Thomas Taimre, Zdravko I. Botev: Why the Monte Carlo method is so important today. In: WIREs Computational Statistics. Band 6, Nr. 6, November 2014, S. 386–392, doi:10.1002/wics.1314 (englisch). 

Referenzwerke

• Dirk P. Kroese, Thomas Taimre, Zdravko I. Botev: Handbook of Monte Carlo Methods (= Wiley Series in Probability and Statistics. Band 706). Wiley, Hoboken, NJ 2011, ISBN 978-0-470-17793-8 (englisch, edu.au [abgerufen am 7. Juli 2023]). 
• Reuven Y. Rubinstein, Dirk P. Kroese: Simulation and the Monte Carlo Method (= Wiley Series in Probability and Statistics). 3. Auflage. John Wiley & Sons, Inc, Hoboken, New Jersey 2017, ISBN 978-1-118-63220-8 (englisch, edu.au). 
• Kurt Binder, Dieter W. Heermann: Monte Carlo Simulation in Statistical Physics: An Introduction (= Graduate Texts in Physics). Springer International Publishing, Cham 2019, ISBN 978-3-03010757-4, doi:10.1007/978-3-030-10758-1 (englisch). 

Fachbücher

• Kurt Binder: Monte Carlo and Molecular Dynamics Simulations in Polymer Sciences. Oxford University Press, 1995, ISBN 0-19-509438-7 (englisch, archive.org). 
• Paul Glasserman: Monte Carlo Methods in Financial Engineering (= B. Rozovskii, M. Yor [Hrsg.]: Stochastic Modelling and Applied Probability. Band 53). Springer New York, New York, NY 2003, ISBN 1-4419-1822-1, doi:10.1007/978-0-387-21617-1 (englisch). 

Ältere Werke

• Nikolaj P. Buslenko, Juri A. Schreider: Die Monte-Carlo-Methode und ihre Verwirklichung mit elektronischen Digitalrechnern. 1. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Leipzig 1964. 
• Yuri A. Shreider (Hrsg.): The Monte Carlo Method. Pergamon Press, Oxford 1966 (englisch, archive.org). 
• Sergej M. Ermakow: Die Monte-Carlo-Methode und verwandte Fragen. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975. 

Weblinks

Commons: Monte-Carlo-Simulation – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Die Monte-Carlo-Simulation für die Teilchenphysik. Film des Karlsruher Instituts für Technologie zur Monte-Carlo-Simulation in der Teilchenphysik auf YouTube

Einzelnachweise

1. Dirk P. Kroese, Tim Brereton, Thomas Taimre, Zdravko I. Botev: Why the Monte Carlo method is so important today. In: WIREs Computational Statistics. Band 6, Nr. 6, November 2014, ISSN 1939-5108, S. 386–392, doi:10.1002/wics.1314 (englisch). 
2. Isaac Todhunter: A History of the Mathematical Theory of Probability: From the Time of Pascal to that of Laplace. 1. Auflage. Cambridge University Press, 2014, ISBN 978-1-108-07764-4, doi:10.1017/cbo9781139923576 (englisch, cambridge.org [abgerufen am 4. Juli 2023]). 
3. Iulia Georgescu: The early days of Monte Carlo methods. In: Nature Reviews Physics. 26. Juni 2023, ISSN 2522-5820, doi:10.1038/s42254-023-00608-w (englisch, nature.com [abgerufen am 4. Juli 2023]). 
4. The Fermiac or Fermi's Trolley. In: Il Nuovo Cimento C. Band 39, Nr. 2, 14. September 2016, S. 1–8, doi:10.1393/ncc/i2016-16296-7 (englisch). 
5. Bruce Cameron Reed: Manhattan Project: The Story of the Century. Springer International Publishing, Cham 2020, ISBN 978-3-03045733-4, doi:10.1007/978-3-030-45734-1 (englisch). 
6. Nicholas Metropolis, S. Ulam: The Monte Carlo Method. In: Journal of the American Statistical Association. Band 44, Nr. 247, September 1949, S. 335, doi:10.2307/2280232 (englisch). 
7. Panos M. Pardalos: Metropolis, Nicholas Constantine. In: Encyclopedia of Optimization. Springer US, Boston, MA 2008, ISBN 978-0-387-74758-3, S. 2075–2075, doi:10.1007/978-0-387-74759-0_368 (englisch, Siehe die Zitationen dort.). 
8. Nicholas Metropolis, Arianna W. Rosenbluth, Marshall N. Rosenbluth, Augusta H. Teller, Edward Teller: Equation of State Calculations by Fast Computing Machines. In: The Journal of Chemical Physics. Band 21, Nr. 6, 1. Juni 1953, ISSN 0021-9606, S. 1087–1092, doi:10.1063/1.1699114 (englisch, aip.org [abgerufen am 4. Juli 2023]). 
9. Marshall N. Rosenbluth: Genesis of the Monte Carlo Algorithm for Statistical Mechanics. Band 690. AIP, 2003, S. 22–30, doi:10.1063/1.1632112 (englisch, aip.org [abgerufen am 4. Juli 2023]). 
10. J. E. Gubernatis: Marshall Rosenbluth and the Metropolis algorithm. In: Physics of Plasmas. Band 12, Nr. 5, Mai 2005, ISSN 1070-664X, S. 057303, doi:10.1063/1.1887186 (englisch, aip.org [abgerufen am 4. Juli 2023]). 
11. Marshall N. Rosenbluth, Arianna W. Rosenbluth: Further Results on Monte Carlo Equations of State. In: The Journal of Chemical Physics. Band 22, Nr. 5, 1. Mai 1954, ISSN 0021-9606, S. 881–884, doi:10.1063/1.1740207 (englisch, aip.org [abgerufen am 4. Juli 2023]). 
12. Marshall N. Rosenbluth, Arianna W. Rosenbluth: Monte Carlo Calculation of the Average Extension of Molecular Chains. In: The Journal of Chemical Physics. Band 23, Nr. 2, 1. Februar 1955, ISSN 0021-9606, S. 356–359, doi:10.1063/1.1741967 (englisch, aip.org [abgerufen am 4. Juli 2023]). 
13. N Metropolis: BEGINNING of the MONTE CARLO METHOD. Hrsg.: Los Alamos Science Special Issue. 1987, S. 125–130 (englisch, fas.org [PDF]). 
14. H. L. Anderson: Metropolis, Monte Carlo and the MANIAC. (PDF, 829 kB) Los Alamos Science, Nr. 14, 1986, S. 96–108, 1986.
15. Prof. A. Bachem in Interview, c’t 12/2010, S. 18: So lassen sich probabilistische Lösungsverfahren zumeist weitaus besser parallelisieren als die heute üblichen deterministischen.
16. Gleißner; W.: Risikoanalyse, Risikoquantifizierung und Risikoaggregation, in: WiSt, 9/2017, S. 4–11
17. S. Jayraman: A Review of Monte Carlo Methods in Real Estate. (PDF) 2. Mai 2013, abgerufen am 20. Mai 2017 (englisch, und Quellen darin). 
18. Klaus Bernhard Gablenz: Monte Carlo hilft bei Unsicherheiten. In: Immobilienzeitung. Ausgabe 29, 26. Juli 2007, S. 6 (svgablenz.de [PDF]). 
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27. Paul K. Romano, Nicholas E. Horelik, Bryan R. Herman, Adam G. Nelson, Benoit Forget, Kord Smith: OpenMC: A state-of-the-art Monte Carlo code for research and development. In: Annals of Nuclear Energy (= Joint International Conference on Supercomputing in Nuclear Applications and Monte Carlo 2013, SNA + MC 2013. Pluri- and Trans-disciplinarity, Towards New Modeling and Numerical Simulation Paradigms). Band 82, 1. August 2015, ISSN 0306-4549, S. 90–97, doi:10.1016/j.anucene.2014.07.048 (englisch, sciencedirect.com [abgerufen am 4. Juli 2023]). 
28. Jaakko Leppänen et al.: The Serpent Monte Carlo code: Status, development and applications in 2013. In: Annals of Nuclear Energy. Band 82, 1. August 2015, ISSN 0306-4549, S. 142–150, doi:10.1016/j.anucene.2014.08.024 (englisch, sciencedirect.com [abgerufen am 21. August 2023]). 

Normdaten (Sachbegriff): GND: 4240945-7 (lobid, OGND)