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Curiesches Gesetz Das curiesche Gesetz auch Curie Gesetz genannt beschreibt die Abhängigkeit der magnetischen Suszeptibi

Curiesches Gesetz

Das curiesche Gesetz (auch Curie-Gesetz genannt) beschreibt die Abhängigkeit der magnetischen Suszeptibilität einer Substanz von der absoluten Temperatur , sofern idealer Spin-Paramagnetismus vorliegt. Es wurde von Pierre Curie im Jahre 1896 erstmals in dieser Form aufgestellt. 1907 entwickelte der französische Physiker Pierre-Ernest Weiss Curies Gesetz zum Curie-Weiss-Gesetz weiter, indem er kooperative Effekte in die Gleichung mit einbezog.

Man erhält das Gesetz, wenn man ein ideales System aus Teilchen mit Spin ½ betrachtet (: Teilchenzahl). Ideal bedeutet, dass

Beschreibung Bearbeiten

Als Modell nimmt man die Ausrichtung eines Spin-½-Teilchens in einem äußeren Magnetfeld. Das Elektron hat ein magnetisches Moment und verhält sich als magnetischer Dipol. Legt man ein äußeres Magnetfeld an, so übt dieses eine richtende Kraft auf den Spin des Elektrons aus. Es ist eine Ausrichtung des Spins in Richtung des Magnetfeldes möglich, die energetisch günstig ist, und eine zum Magnetfeld entgegengesetzte Ausrichtung, die energetisch ungünstig ist. Zunächst würde man erwarten, dass sich in einer Substanz alle Spins parallel zum äußeren Magnetfeld ausrichten. Tatsächlich besteht jedoch eine Temperaturabhängigkeit, die zurückzuführen ist auf:

Die magnetische Suszeptibilität ist eine physikalische Größe, die davon abhängt, wie viele Spins im Magnetfeld in Feldrichtung ausgerichtet und wie viele entgegengerichtet sind. Zur Berechnung der Suszeptibilität müssen daher der richtende Effekt des äußeren Magnetfelds und die entgegenwirkenden thermischen Effekte berücksichtigt werden. Die quantenmechanisch korrekte Funktion für diese Aufgabe ist die Brillouin-Funktion. Das curiesches Gesetz ist ein Spezialfall dieser Funktion für schwache Magnetfelder und nicht zu tiefe Temperaturen:

mit der Curie-Konstanten

Darin ist

Oft werden magnetische Suszeptibilität und Curie-Konstante statt auf das Volumen auf die Stoffmenge bezogen:

mit

wobei die Avogadro-Konstante bezeichnet.

Herleitung Bearbeiten

Das magnetische Moment eines Elektrons hängt direkt ab von seinem Spin und damit von der Spinquantenzahl

Hierin ist

Im äußeren Magnetfeld (Betrag der magnetischen Flussdichte) gibt es für ein Teilchen mit nur zwei Ausrichtungsmöglichkeiten (vgl. Zeeman-Effekt):

  • zur energetisch günstigen Ausrichtung in Feldrichtung gehört die magnetische Spinquantenzahl
  • zur energetisch ungünstigen entgegengerichteten Ausrichtung gehört die magnetische Spinquantenzahl .

Die jeweils zugehörige Energie ist gegeben durch:

Die Energiedifferenz zwischen den beiden Zuständen beträgt:

Im kanonischen Ensemble, d. h. bei konstanter Temperatur und konstanter Teilchenzahl, ergibt sich aus der Boltzmann-Statistik die Besetzungswahrscheinlichkeit des jeweiligen Zustandes:

mit der Energienormierung , d. h. dem Kehrwert der thermischen Energie. bezeichnet die Boltzmannkonstante und die Temperatur.

Aus den Besetzungswahrscheinlichkeiten ergibt sich die Formel für die Magnetisierung bei reinem Spin-1/2-Paramagnetismus:

Dabei bezeichnet die Komponente des elektronischen (spin-)magnetischen Moments in Feldrichtung:

Die magnetische Suszeptibilität hängt mit der Magnetisierung wie folgt zusammen:

Das curiesche Gesetz erhält man als Näherung unter der Annahme, dass der magnetische Einfluss klein gegenüber dem Temperatureinfluss ist, also bei relativ schwachen Magnetfeldern und relativ hohen Temperaturen:

Hierin ist die stoffspezifische Curie-Konstante.

Mehrelektronen-Systeme Bearbeiten

Für Mehrelektronen-Systeme kann das Curie-Gesetz nur begrenzt angewendet werden, da interelektronische Wechselwirkung und Spin-Bahn-Kopplung zu Komplikationen führen. Für den Fall einer reinen LS-Kopplung, bei der der elektronische Grundzustand thermisch isoliert ist, kann die Curie-Konstante wie folgt formuliert werden:

mit

  • dem Gesamtdrehimpuls , die sich durch die LS-Kopplung für den Grundzustand ergibt
  • dem Landé-Faktor bei LS-Kopplung:

Die Quantenzahlen und gehören zum Grundzustand der LS-Kopplung.

Die Quantenzahlen , und können mit Hilfe der Hundschen Regeln bestimmt werden.

Spin-Only-Systeme Bearbeiten

Bei Mehrelektronen-Systemen, die zusätzlich zur LS-Kopplung und thermischen Isolierung des Grundzustandes auch eine Halbbesetzung einer Unterschale aufweisen, spricht man von Spin-Only-Systemen. Der Name stammt daher, dass bei Halbbesetzung die Gesamtbahndrehimpuls-Quantenzahl ist. Dadurch wird das magnetische Verhalten des Atoms allein von seinem Gesamt-Spin bestimmt.

Der Landé-Faktor lautet dann bei :

Die Curie-Konstante ergibt sich zu:

Stoffe mit Curie-Paramagnetismus Bearbeiten

Das ideale Curie-paramagnetische Verhalten tritt relativ selten auf, da zahlreiche Faktoren (Interelektronische Wechselwirkung, Spin-Bahn-Kopplung, Anisotropie, Ligandenfeld-Effekte, kollektive Effekte) das magnetische Verhalten eines Stoffes stark beeinflussen. Bei den Hauptgruppenelementen zeigen Radikale spin-paramagnetisches Verhalten, z. B. das Sauerstoff-Molekül mit zwei ungepaarten Elektronen. Bei den Nebengruppenelementen findet man Curie-Paramagnetismus nur bei Atomen mit LS-Kopplung und thermisch isoliertem Grundzustand.

Spin-Only-Paramagnetismus findet man bei einigen Verbindungen mit schwachem Ligandenfeld von Mn oder Fe (beide: 3d-Elektronenkonfiguration) oder Gd (4f-Elektronenkonfiguration). Der Ligandenfeld-Effekt muss schwach genug sein, dass eine high-spin-Konfiguration vorliegt.

Curie-Weiss-Gesetz Bearbeiten

Bei Auftreten kollektiver magnetischer Effekte, also bei Ferromagnetismus, Antiferromagnetismus oder Ferrimagnetismus, gilt statt des curieschen Gesetzes das Curie-Weiss-Gesetz:

Hierin ist

  • C die Curie-Weiss-Konstante
  • die Curie-Temperatur. Ist sie positiv, überwiegen die ferromagnetische Effekte; ist sie negativ, überwiegen antiferromagnetische oder ferrimagnetische Effekte (vgl. Néel-Temperatur).

Literatur Bearbeiten

  • Heiko Lueken: Magnetochemie. B. G. Teubner, Stuttgart/Leipzig 1999, ISBN 3-519-03530-8.
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Veröffentlichungsdatum:
Das curiesche Gesetz auch Curie Gesetz genannt beschreibt die Abhangigkeit der magnetischen Suszeptibilitat x m displaystyle chi mathrm m einer Substanz von der absoluten Temperatur T displaystyle T sofern idealer Spin Paramagnetismus vorliegt Es wurde von Pierre Curie im Jahre 1896 erstmals in dieser Form aufgestellt 1907 entwickelte der franzosische Physiker Pierre Ernest Weiss Curies Gesetz zum Curie Weiss Gesetz weiter indem er kooperative Effekte in die Gleichung mit einbezog Man erhalt das Gesetz wenn man ein ideales System aus N displaystyle N Teilchen mit Spin betrachtet N displaystyle N Teilchenzahl Ideal bedeutet dass der Grundzustand der Teilchen thermisch isoliert ist keine Spin Bahn Kopplung vorliegt kein Ligandenfeld Effekt vorliegt keine magnetische Anisotropie vorliegt und keine kollektiven magnetischen Effekte vorliegen d h keine magnetische Wechselwirkung zwischen den Teilchen besteht Inhaltsverzeichnis 1 Beschreibung 2 Herleitung 3 Mehrelektronen Systeme 3 1 Spin Only Systeme 4 Stoffe mit Curie Paramagnetismus 5 Curie Weiss Gesetz 6 LiteraturBeschreibung BearbeitenAls Modell nimmt man die Ausrichtung eines Spin Teilchens in einem ausseren Magnetfeld Das Elektron hat ein magnetisches Moment und verhalt sich als magnetischer Dipol Legt man ein ausseres Magnetfeld an so ubt dieses eine richtende Kraft auf den Spin des Elektrons aus Es ist eine Ausrichtung des Spins in Richtung des Magnetfeldes moglich die energetisch gunstig ist und eine zum Magnetfeld entgegengesetzte Ausrichtung die energetisch ungunstig ist Zunachst wurde man erwarten dass sich in einer Substanz alle Spins parallel zum ausseren Magnetfeld ausrichten Tatsachlich besteht jedoch eine Temperaturabhangigkeit die zuruckzufuhren ist auf die Boltzmann Statistik mit steigender Temperatur steigt die Wahrscheinlichkeit dass Spins die ungunstige antiparallele Ausrichtung einnehmen und die Thermische Bewegung mit steigender Temperatur wirkt die Eigenbewegung der Teilchen einer Ausrichtung im Magnetfeld entgegen Die magnetische Suszeptibilitat x m displaystyle chi mathrm m nbsp ist eine physikalische Grosse die davon abhangt wie viele Spins im Magnetfeld in Feldrichtung ausgerichtet und wie viele entgegengerichtet sind Zur Berechnung der Suszeptibilitat mussen daher der richtende Effekt des ausseren Magnetfelds und die entgegenwirkenden thermischen Effekte berucksichtigt werden Die quantenmechanisch korrekte Funktion fur diese Aufgabe ist die Brillouin Funktion Das curiesches Gesetz ist ein Spezialfall dieser Funktion fur schwache Magnetfelder und nicht zu tiefe Temperaturen x m C T displaystyle chi mathrm m frac C T nbsp mit der Curie Konstanten C m 0 n m 2 3 k B displaystyle C mu 0 n frac mu 2 3 k mathrm B nbsp Darin ist m 0 displaystyle mu 0 nbsp die magnetische Feldkonstante n N V displaystyle n frac N V nbsp die Teilchendichte k B displaystyle k mathrm B nbsp die Boltzmann Konstante m displaystyle mu nbsp der Betrag des permanenten magnetischen Dipolmoments beim curieschen Gesetz wird angenommen dass es temperaturunabhangig ist m m T displaystyle mu neq mu T nbsp Oft werden magnetische Suszeptibilitat und Curie Konstante statt auf das Volumen V displaystyle V nbsp auf die Stoffmenge n displaystyle n nbsp bezogen x m m o l C m o l T displaystyle chi mathrm m mol frac C mathrm mol T nbsp mit C m o l m 0 N A m 2 3 k B displaystyle C mathrm mol mu 0 N mathrm A frac mu 2 3 k mathrm B nbsp wobei N A N n displaystyle N mathrm A frac N n nbsp die Avogadro Konstante bezeichnet Herleitung BearbeitenDas magnetische Moment m displaystyle vec mu nbsp eines Elektrons hangt direkt ab von seinem Spin s displaystyle vec s nbsp und damit von der Spinquantenzahl s 1 2 displaystyle s frac 1 2 nbsp m g s s s 1 m B displaystyle vec mu g s sqrt s s 1 mu mathrm B nbsp Hierin ist g s 2 displaystyle g s approx 2 nbsp der Lande Faktor fur den Spin des Elektrons m B displaystyle mu mathrm B nbsp das Bohrsche Magneton Im ausseren Magnetfeld B displaystyle B nbsp Betrag der magnetischen Flussdichte gibt es fur ein Teilchen mit s 1 2 displaystyle s tfrac 1 2 nbsp nur zwei Ausrichtungsmoglichkeiten vgl Zeeman Effekt zur energetisch gunstigen Ausrichtung in Feldrichtung gehort die magnetische Spinquantenzahl m S 1 2 displaystyle m S tfrac 1 2 nbsp zur energetisch ungunstigen entgegengerichteten Ausrichtung gehort die magnetische Spinquantenzahl m S 1 2 displaystyle m S tfrac 1 2 nbsp Die jeweils zugehorige Energie ist gegeben durch E m s g s m s m B B displaystyle E m s g s m s mu mathrm B B nbsp Die Energiedifferenz zwischen den beiden Zustanden betragt D E E m s 1 2 E m s 1 2 g s m B B displaystyle Delta E E m s frac 1 2 E m s frac 1 2 g s mu mathrm B B nbsp dd Im kanonischen Ensemble d h bei konstanter Temperatur und konstanter Teilchenzahl ergibt sich aus der Boltzmann Statistik die Besetzungswahrscheinlichkeit p m s displaystyle p m s nbsp des jeweiligen Zustandes p m s 1 2 exp b E m s 1 2 exp b E m s 1 2 exp b E m s 1 2 displaystyle p m s pm frac 1 2 frac exp left beta E m s pm frac 1 2 right exp left beta E m s frac 1 2 right exp left beta E m s frac 1 2 right nbsp mit der Energienormierung b 1 k B T displaystyle beta frac 1 k rm B T nbsp d h dem Kehrwert der thermischen Energie k B displaystyle k rm B nbsp bezeichnet die Boltzmannkonstante und T displaystyle T nbsp die Temperatur Aus den Besetzungswahrscheinlichkeiten ergibt sich die Formel fur die Magnetisierung M displaystyle M nbsp bei reinem Spin 1 2 Paramagnetismus M n m s 1 2 m s 1 2 m z m s p m s displaystyle M n sum m s frac 1 2 m s frac 1 2 mu z m s p m s nbsp Dabei bezeichnet m z m s displaystyle mu z m s nbsp die Komponente des elektronischen spin magnetischen Moments in Feldrichtung m z m s g s m B m s displaystyle mu z m s g s mu mathrm B m s nbsp dd Die magnetische Suszeptibilitat hangt mit der Magnetisierung wie folgt zusammen x m M B displaystyle chi mathrm m frac partial M partial B nbsp Das curiesche Gesetz erhalt man als Naherung unter der Annahme dass der magnetische Einfluss klein gegenuber dem Temperatureinfluss ist also bei relativ schwachen Magnetfeldern und relativ hohen Temperaturen D E k B T 1 displaystyle frac Delta E k mathrm B T ll 1 nbsp x m C T displaystyle Rightarrow chi mathrm m frac C T nbsp Hierin ist C displaystyle C nbsp die stoffspezifische Curie Konstante Mehrelektronen Systeme BearbeitenFur Mehrelektronen Systeme kann das Curie Gesetz nur begrenzt angewendet werden da interelektronische Wechselwirkung und Spin Bahn Kopplung zu Komplikationen fuhren Fur den Fall einer reinen LS Kopplung bei der der elektronische Grundzustand thermisch isoliert ist kann die Curie Konstante wie folgt formuliert werden C m 0 n 3 k B m 2 m 0 n 3 k B g J 2 J J 1 m B 2 displaystyle C frac mu 0 n 3 k mathrm B mu 2 frac mu 0 n 3 k mathrm B g J 2 J J 1 mu mathrm B 2 nbsp mit dem Gesamtdrehimpuls J displaystyle J nbsp die sich durch die LS Kopplung fur den Grundzustand ergibt dem Lande Faktor g J displaystyle g J nbsp bei LS Kopplung g J 1 J J 1 S S 1 L L 1 2 J J 1 displaystyle g J 1 frac J J 1 S S 1 L L 1 2 J J 1 nbsp dd der Gesamtspin Quantenzahl S displaystyle S nbsp der Gesamtbahndrehimpuls Quantenzahl L displaystyle L nbsp Die Quantenzahlen L displaystyle L nbsp und S displaystyle S nbsp gehoren zum Grundzustand der LS Kopplung Die Quantenzahlen S displaystyle S nbsp L displaystyle L nbsp und J displaystyle J nbsp konnen mit Hilfe der Hundschen Regeln bestimmt werden Spin Only Systeme Bearbeiten Bei Mehrelektronen Systemen die zusatzlich zur LS Kopplung und thermischen Isolierung des Grundzustandes auch eine Halbbesetzung einer Unterschale aufweisen spricht man von Spin Only Systemen Der Name stammt daher dass bei Halbbesetzung die Gesamtbahndrehimpuls Quantenzahl L 0 displaystyle L 0 nbsp ist Dadurch wird das magnetische Verhalten des Atoms allein von seinem Gesamt Spin bestimmt Der Lande Faktor lautet dann bei J S displaystyle J S nbsp g S 2 displaystyle g S 2 nbsp Die Curie Konstante ergibt sich zu C m 0 n 3 k B 2 2 S S 1 m B 2 displaystyle C frac mu 0 n 3 k mathrm B 2 2 S S 1 mu mathrm B 2 nbsp Stoffe mit Curie Paramagnetismus BearbeitenDas ideale Curie paramagnetische Verhalten tritt relativ selten auf da zahlreiche Faktoren Interelektronische Wechselwirkung Spin Bahn Kopplung Anisotropie Ligandenfeld Effekte kollektive Effekte das magnetische Verhalten eines Stoffes stark beeinflussen Bei den Hauptgruppenelementen zeigen Radikale spin paramagnetisches Verhalten z B das Sauerstoff Molekul mit zwei ungepaarten Elektronen Bei den Nebengruppenelementen findet man Curie Paramagnetismus nur bei Atomen mit LS Kopplung und thermisch isoliertem Grundzustand Spin Only Paramagnetismus findet man bei einigen Verbindungen mit schwachem Ligandenfeld von Mn2 displaystyle 2 nbsp oder Fe3 displaystyle 3 nbsp beide 3d5 displaystyle 5 nbsp Elektronenkonfiguration oder Gd3 displaystyle 3 nbsp 4f7 displaystyle 7 nbsp Elektronenkonfiguration Der Ligandenfeld Effekt muss schwach genug sein dass eine high spin Konfiguration vorliegt Curie Weiss Gesetz BearbeitenBei Auftreten kollektiver magnetischer Effekte also bei Ferromagnetismus Antiferromagnetismus oder Ferrimagnetismus gilt statt des curieschen Gesetzes das Curie Weiss Gesetz x m C T 8 displaystyle chi mathrm m frac C T Theta nbsp Hierin ist C die Curie Weiss Konstante 8 displaystyle Theta nbsp die Curie Temperatur Ist sie positiv uberwiegen die ferromagnetische Effekte ist sie negativ uberwiegen antiferromagnetische oder ferrimagnetische Effekte vgl Neel Temperatur Literatur BearbeitenHeiko Lueken Magnetochemie B G Teubner Stuttgart Leipzig 1999 ISBN 3 519 03530 8 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Curiesches Gesetz amp oldid 176449349